Olikhet mellan aritmetiska och geometriska medel

Bevis utan ord på olikheten mellan aritmetiska och geometriska medel : $PR$ är diametern på en cirkel centrerad på $O$ ; dess radie $AO$ är det aritmetiska medelvärdet av $a$ och $b$ . Med hjälp av geometriska medelsatsen är displaystyle triangeln $PGR$ s höjd $GQ}$ det geometriska medelvärdet . För vilket förhållande som helst $a:b$ , $AO\geq GQ$ .

Visuellt bevis på att ( x + y ) ² ≥ 4 xy . Att ta kvadratrötter och dividera med två ger AM–GM-ojämlikheten.

I matematik anger olikheten mellan aritmetiska och geometriska medel , eller mer kortfattat AM–GM-olikheten , att det aritmetiska medelvärdet av en lista med icke-negativa reella tal är större än eller lika med det geometriska medelvärdet av samma lista; och vidare att de två medelvärdena är lika om och endast om varje nummer i listan är lika (i vilket fall de båda är det numret).

Det enklaste icke-triviala fallet – dvs med mer än en variabel – för två icke-negativa tal x och y , är påståendet att

${\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}$

med likhet om och endast om x = y . Detta fall kan ses från det faktum att kvadraten på ett reellt tal alltid är icke-negativ (större än eller lika med noll) och från det elementära fallet ( a ± b ) 2 ⁼ a 2 ^± 2 ab + b ² av binomial formel :

${\begin{aligned}0&\leq (xy)^{2}\\&=x^{2}-2xy+y^{2}\\&=x^{2}+2xy+y^ {2}-4xy\\&=(x+y)^{2}-4xy.\end{aligned}}$

Därför ( x + y ) ² ≥ 4 xy , med likhet precis när ( x − y ) ² = 0 , dvs. x = y . AM–GM-olikheten följer sedan av att ta den positiva kvadratroten från båda sidorna och sedan dividera båda sidorna med 2 .

  För en geometrisk tolkning, överväga en rektangel med sidor av längden x och y , därför har den omkretsen 2 x + 2 y och arean xy . På liknande sätt har en kvadrat med alla sidor av längden √ xy omkretsen 4 √ xy och samma area som rektangeln. Det enklaste icke-triviala fallet av AM–GM-olikheten innebär för omkretsarna att 2 x + 2 y ≥ 4 √ xy och att endast kvadraten har den minsta omkretsen av alla rektanglar med lika stor yta.

Förlängningar av AM–GM-ojämlikheten är tillgängliga för att inkludera vikter eller generaliserade medel .

Bakgrund

Det aritmetiska medelvärdet , eller mindre exakt medelvärdet , av en lista med n tal x ₁ , x ₂ , . . . , x _n är summan av talen dividerat med n :

${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}.$

Det geometriska medelvärdet är liknande, förutom att det bara definieras för en lista med icke-negativa reella tal, och använder multiplikation och en rot i stället för addition och division:

${\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}.$

Om x ₁ , x ₂ ,. . . , x _n > 0 , detta är lika med exponentialen för det aritmetiska medelvärdet av de naturliga logaritmerna för talen:

$\exp \left({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}\höger).$

Ojämlikheten

Om vi ​​återställer olikheten med matematisk notation, har vi det för varje lista med n icke-negativa reella tal x ₁ , x ₂ , . . . , x _n ,

${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n} }\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}\,,$

och att likhet gäller om och endast om x ₁ = x ₂ = · · · = x _n .

Geometrisk tolkning

I två dimensioner är 2 x ₁ + 2 x ₂ omkretsen av en rektangel med sidor av längden x ₁ och x ₂ . På samma sätt 4 √ x ₁ x ₂ omkretsen av en kvadrat med samma area , x ₁ x ₂ , som den rektangeln. Så för n = 2 anger AM–GM-olikheten att en rektangel av en given area har den minsta omkretsen om den rektangeln också är en kvadrat.

Den fullständiga ojämlikheten är en förlängning av denna idé till n dimensioner. Varje vertex i en n -dimensionell låda är ansluten till n kanter. Om dessa kanters längder är x ₁ , x ₂ , . . . , x _n , då är x ₁ + x ₂ + · · · + x _n den totala längden av kanter som faller in mot spetsen. Det finns 2 ⁿ hörn, så vi multiplicerar detta med 2 ⁿ ; eftersom varje kant dock möter två hörn, räknas varje kant två gånger. Därför dividerar vi med 2 och drar slutsatsen att det finns 2 ^{n −1} n kanter. Det finns lika många kanter av varje längd och n längder; därför finns det 2 ^{n −1} kanter av varje längd och summan av alla kantlängder är 2 ^{n −1} ( x ₁ + x ₂ + · · · + x _n ) . Å andra sidan,

$2^{n-1}(x_{1}+\ldots +x_{n} )=2^{n-1}n{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}$

är den totala längden av kanter anslutna till en vertex på en n -dimensionell kub med lika volym, eftersom i detta fall x ₁ =...= x _n . Sedan ojämlikheten säger

${x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n} \över n}\geq {\ sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}},$

den kan räknas om genom att multiplicera genom med n 2 ^{n –1} för att få

$2^{n-1}(x_{1}+x_{2} +\cdots +x_{n})\geq 2^{n-1}n{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}$

med likhet om och endast om x ₁ = x ₂ = · · · = x _n .

Således anger AM–GM-olikheten att endast n -kuben har den minsta summan av längder av kanter kopplade till varje vertex bland alla n -dimensionella rutor med samma volym.

Exempel

Exempel 1

Om $a,b,c>0$ , då berättar AM-GM att

$(1+a)(1+b)(1+c)\geq 8{\sqrt {abc}}$

Exempel 2

En enkel övre gräns för $n!$ kan hittas. AM-GM berättar

$1+2+\dots +n\geq n{\sqrt[{n}]{n!}}$

${\frac {n(n+1)}{2}}\geq n{\sqrt[{n}]{n!}}$

och så

$\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{n}\geq n!$

med likhet vid $n=1$ .

På motsvarande sätt,

$(n+1)^{n}\geq 2^{n}n!$

Exempel 3

Tänk på funktionen

$f(x,y,z)={\frac {x}{y}}+{\sqrt {\frac {y} {z}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}$

för alla positiva reella tal x , y och z . Anta att vi vill hitta det minimala värdet av denna funktion. Det kan skrivas om som:

${\begin{aligned}f(x,y,z)&=6\cdot {\frac {{\frac {x}{y}}+ {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+ {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\ frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}{6}}\\&=6\ cdot {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}}{6}}\end{aligned}}$

med

$x_{1}={\frac {x}{y}},\qquad x_{2}=x_{3}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y} {z}}},\qquad x_{4}=x_{5}=x_{6}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x} }}.$

Genom att tillämpa AM–GM-olikheten för n = 6 får vi

${\begin{aligned}f(x,y,z)&\geq 6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {x}{y}}\cdot {\frac {1} {2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac { 1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z }{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}}\\&=6\cdot {\sqrt[ {6}]{{\frac {1}{2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}{\frac {x}{y}}{\frac {y}{z}}{\frac {z}{x}}}}\\&=2^{2/3}\cdot 3^{1/2}.\end{aligned}}$

Vidare vet vi att de två sidorna är lika exakt när alla termer av medelvärdet är lika:

$f(x,y,z)=2^{2/3}\cdot 3^{1/2}\quad {\mbox{när}}\quad {\frac {x}{y}}= {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{ x}}}.$

Alla punkter ( x , y , z ) som uppfyller dessa villkor ligger på en halvlinje som börjar vid origo och ges av

$(x,y,z)={\biggr (}t,{\sqrt[{3 }]{2}}{\sqrt {3}}\,t,{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\,t{\biggr )}\quad {\mbox{with} }\quad t>0.$

Praktiska tillämpningar

En viktig praktisk tillämpning inom finansiell matematik är att beräkna avkastningen : den årliga avkastningen , beräknad via det geometriska medelvärdet, är mindre än den genomsnittliga årliga avkastningen, beräknad med det aritmetiska medelvärdet (eller lika om alla avkastningar är lika). Detta är viktigt för att analysera investeringar , eftersom den genomsnittliga avkastningen överskattar den kumulativa effekten.

Bevis på AM–GM-ojämlikheten

Bevis som använder Jensens ojämlikhet

Jensens olikhet säger att värdet av en konkav funktion av ett aritmetiskt medelvärde är större än eller lika med det aritmetiska medelvärdet av funktionens värden. Eftersom logaritmfunktionen är konkav har vi

$\log \left({\frac {\sum _{i}x_{i}}{n}}\right)\geq \sum {\frac {1}{n}}\log x_{i} =\summa \left(\log x_{i}^{1/n}\right)=\log \left(\prod x_{i}^{1/n}\right).$

Om vi ​​tar antiloger från yttersta vänster och längst höger sida har vi AM–GM-ojämlikheten.

Bevis genom successivt utbyte av element

Det måste vi visa

$\alpha ={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n }}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}=\beta$

med likhet endast när alla tal är lika.

Om inte alla tal är lika, så finns det $x_{i},x_{j}$ så att $x_{i}<\alpha <x_{ j}$ . Om du ersätter x _i med $\alpha$ och x _j med $(x_{i}+x_{j}-\alpha )$ lämnas det aritmetiska medelvärdet av talen oförändrad, men kommer att öka det geometriska medelvärdet pga

$\alpha (x_{j}+x_{i}-\alpha )-x_ {i}x_{j}=(\alpha -x_{i})(x_{j}-\alpha )>0$

Om siffrorna fortfarande inte är lika fortsätter vi att ersätta siffror enligt ovan. Efter högst $(n-1)$ sådana ersättningssteg kommer alla siffror att ha ersatts med $\alpha$ medan det geometriska medelvärdet ökar strikt för varje steg. Efter det sista steget kommer det geometriska medelvärdet att vara ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\alpha \alpha \cdots \alpha }}=\alpha } , vilket$ bevisar olikheten.

Det kan noteras att ersättningsstrategin fungerar lika bra från höger sida. Om något av talen är 0 så kommer det geometriska medelvärdet att bevisa ojämlikheten trivialt. Därför kan vi anta att alla siffror är positiva. Om de inte alla är lika, så finns det $x_{i},x_{j}$ så att $0<x_{i}<\beta <x_{j}$ . Ersätt $x_{i}$ med $\beta$ och $x_{j}$ med ${\frac {x_{i}x_{j }}{\beta }}$ lämnar det geometriska medelvärdet oförändrat men minskar det aritmetiska medelvärdet strikt eftersom

$x_{i}+x_{j}-\beta -{\frac {x_{ i}x_{j}}{\beta }}={\frac {(\beta -x_{i})(x_{j}-\beta )}{\beta }}>0$ . Beviset följer sedan på liknande sätt som i den tidigare ersättningen.

Induktionsbevis

Bevis genom induktion #1

Av de icke-negativa reella talen x ₁ , . . . , x _n , AM–GM-satsen motsvarar

$\alpha ^{n}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n}$

med likhet om och endast om α = x _i för alla i ∈ {1, . . . , n } .

För följande bevis tillämpar vi matematisk induktion och endast välkända aritmetiska regler.

Induktionsbas: För n = 1 är påståendet sant med likhet.

Induktionshypotes: Antag att AM–GM-satsen gäller för alla val av n icke-negativa reella tal.

Induktionssteg: Betrakta n + 1 icke-negativa reella tal x ₁ , . . . , xn _{+ 1} , . Deras aritmetiska medelvärde α uppfyller

$(n+1)\alpha =\ x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}.$

Om alla x _i är lika med α , så har vi likhet i AM–GM-satsen och vi är klara. I det fall där vissa inte är lika med α måste det finnas ett tal som är större än det aritmetiska medelvärdet α , och ett som är mindre än α . Utan förlust av generalitet kan vi ordna om vårt x _i för att placera dessa två speciella element i slutet: x _n > α och x _{n +1} < α . Sedan

$x_{n}-\alpha >0\qquad \alpha -x_{n+1}>0$

$\implies (x_{n}-\alpha )(\alpha -x_{n+1})>0\,.\qquad (*)$

Definiera nu y med

$y:=x_{n}+x_{n+1}-\alpha \geq x_{n}-\alpha >0 \,,$

och betrakta de n talen x ₁ , . . . , x _{n –1} , y som alla är icke-negativa. Eftersom

$(n+1)\alpha =x_{1}+\cdots +x_{n-1}+ x_{n}+x_{n+1}$

$n\alpha =x_{1}+ \cdots +x_{n-1}+\underbrace {x_{n}+x_{n+1}-\alpha } _{=\,y},$

Således är α också det aritmetiska medelvärdet av n tal x ₁ , . . . , x _{n –1} , y och induktionshypotesen innebär

$\alpha ^{n+1}=\alpha ^{n}\cdot \alpha \geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}y\cdot \alpha . \qquad (**)$

På grund av (*) vet vi det

$(\underbrace {x_{n} +x_{n+1}-\alpha } _{=\,y})\alpha -x_{n}x_{n+1}=(x_{n}-\alpha )(\alpha -x_{n+ 1})>0,$

därav

$y\alpha >x_{n}x_{n+1}\,,\qquad ({*}{*}{*})$

i synnerhet α > 0 . Därför, om minst ett av talen x ₁ , . . . , x _{n –1} är noll, då har vi redan strikt olikhet i (**). Annars är den högra sidan av (**) positiv och strikt olikhet erhålls genom att använda skattningen (***) för att få en nedre gräns för den högra sidan av (**). I båda fallen kan vi alltså ersätta (***) med (**) för att få

$\alpha ^{n+1}>x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}x_ {n}x_{n+1}\,,$

vilket kompletterar beviset.

Bevis genom induktion #2

Först och främst ska vi bevisa att för reella tal x ₁ < 1 och x ₂ > 1 följer

$x_{1}+x_{2}>x_{1}x_{2}+1.$

Att multiplicera båda sidor av olikheten x ₂ > 1 med 1 – x ₁ ger faktiskt

$x_{2}-x_{1}x_{2}>1-x_{1},$

varifrån den erforderliga ojämlikheten erhålls omedelbart.

Nu ska vi bevisa att för positiva reella tal x ₁ , . . . , x _n uppfyller x ₁ . . . x _n = 1 , det gäller

$x_{1}+\cdots +x_{n}\geq n.$

Likheten gäller endast om x ₁ = ... = x _n = 1 .

Induktionsbas: För n = 2 är påståendet sant på grund av ovanstående egenskap.

Induktionshypotes: Antag att påståendet är sant för alla naturliga tal upp till n – 1 .

Induktionssteg: Betrakta naturligt tal n , dvs för positiva reella tal x ₁ , . . . , x _n , där rymmer x ₁ . . . xn ₌ 1 . Det finns minst en x _k < 1 , så det måste finnas minst en x _j > 1 . Utan förlust av generalitet låter vi k = n – 1 och j = n .

Vidare är likheten x ₁ . . . x _n = 1 ska vi skriva i form av ( x ₁ . . . x _{n –2} ) ( x _{n –1} x _n ) = 1 . Då antyder induktionshypotesen

$(x_{1}+\cdots +x_{n-2})+(x_{n- 1}x_{n})>n-1.$

Men med hänsyn till induktionsunderlaget har vi

${\begin{aligned}x_{1}+\cdots +x_{n-2}+x_{n-1}+x_{n}&= (x_{1}+\cdots +x_{n-2})+(x_{n-1}+x_{n})\\&>(x_{1}+\cdots +x_{n-2}) +x_{n-1}x_{n}+1\\&>n,\end{aligned}}$

vilket kompletterar beviset.

För positiva reella tal a ₁ , . . . , a _n , låt oss beteckna

$x_{1}={\frac {a_{1}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}},...,x_{n}={ \frac {a_{n}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}.$

Siffrorna x ₁ , . . . , x _n uppfyller villkoret x ₁ . . . xn ₌ 1 . Så vi har

${\frac {a_{1}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_ {n}}}}+\cdots +{\frac {a_{n}}{\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}\geq n,$

varifrån vi får

${\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}] {a_{1}\cdots a_{n}}},$

med jämställdheten endast för a ₁ = ... = a _n .

Bevis av Cauchy med induktion framåt–bakåt

Följande bevis för fall bygger direkt på välkända aritmetiska regler men använder den sällan använda tekniken framåt-bakåt-induktion. Det är i huvudsak från Augustin Louis Cauchy och kan hittas i hans Cours d'analyse .

Det fall där alla termer är lika

Om alla termer är lika:

$x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n},$

då är deras summa nx ₁ , så deras aritmetiska medelvärde är x ₁ ; och deras produkt är x ₁ ⁿ , så deras geometriska medelvärde är x ₁ ; därför är det aritmetiska medelvärdet och det geometriska medelvärdet lika, efter önskemål.

Det fall då inte alla termer är lika

Det återstår att visa att om inte alla termer är lika, så är det aritmetiska medelvärdet större än det geometriska medelvärdet. Uppenbarligen är detta endast möjligt när n > 1 .

Det här fallet är betydligt mer komplext och vi delar upp det i underfall.

Underfallet där n = 2

Om n = 2 , så har vi två termer, x ₁ och x ₂ , och eftersom (enligt vårt antagande) inte alla termer är lika, har vi:

${\begin{aligned}{\Bigl (}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}{ \Bigr )}^{2}-x_{1}x_{2}&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{ 2}^{2})-x_{1}x_{2}\\&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_ {2}^{2})\\&={\Bigl (}{\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}{\Bigr )}^{2}>0,\end{ Justerat}}$

därav

${\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\geq {\sqrt {x_{1}x_{2}}}$

som önskat.

Underfallet där n = 2 ^k

Betrakta fallet där n = 2 ^k , där k är ett positivt heltal. Vi fortsätter med matematisk induktion.

I basfallet är k = 1 , så n = 2 . Vi har redan visat att ojämlikheten gäller när n = 2 , så vi är klara.

Antag nu att för en given k > 1 har vi redan visat att olikheten gäller för n = 2 ^{k −1} , och vi vill visa att den gäller för n = 2 ^k . För att göra det använder vi olikheten två gånger för 2 ^{k -1} tal och en gång för 2 tal för att få:

${\ börja{aligned}{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}&{}={\frac {{\frac { x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}}}+{\frac {x_{2^{k-1}+1 }+x_{2^{k-1}+2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k-1}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\frac {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}+{\sqrt[{2^{ k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}{2}}\\ [7pt]&\geq {\sqrt {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}{\sqrt [{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}} \\[7pt]&={\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}\end{aligned}}$

där i den första olikheten är de två sidorna lika endast om

$x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{k-1}}$

och

$x_{2^{k-1}+1}=x_{2^{k-1}+2}= \cdots =x_{2^{k}}$

(i vilket fall det första aritmetiska medelvärdet och det första geometriska medelvärdet båda är lika med x ₁ och på samma sätt med det andra aritmetiska medelvärdet och det andra geometriska medelvärdet); och i den andra olikheten är de två sidorna bara lika om de två geometriska medelvärdena är lika. Eftersom inte alla 2 ^k tal är lika, är det inte möjligt för båda olikheterna att vara lika, så vi vet att:

${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k }}}{2^{k}}}\geq {\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}$

som önskat.

Underfallet där n < 2 ^k

Om n inte är en naturlig potens av 2 , så är det säkerligen mindre än någon naturlig potens av 2, eftersom sekvensen 2, 4, 8, . . . , 2 ^k , . . . är obegränsad ovan. Låt därför m vara någon naturlig styrka av 2 som är större än n utan förlust av generalitet .

Så, om vi har n termer, låt oss beteckna deras aritmetiska medelvärde med α , och utöka vår lista med termer så här:

$x_{n+1}=x_{n+2}=\cdots =x_{m}=\alpha .$

Vi har då:

${\begin{aligned}\alpha &={\frac {x_{ 1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\\[6pt]&={\frac {{\frac {m}{n}}\left(x_{1}+x_ {2}+\cdots +x_{n}\right)}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+{\ frac {(mn)}{n}}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\right)}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_ {1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+\left(mn\right)\alpha }{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2 }+\cdots +x_{n}+x_{n+1}+\cdots +x_{m}}{m}}\\[6pt]&\geq {\sqrt[{m}]{x_{1} x_{2}\cdots x_{n}x_{n+1}\cdots x_{m}}}\\[6pt]&={\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\alpha ^{mn}}}\,,\end{aligned}}$

så

$\alpha ^{m}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\alpha ^{mn}$

och

$\alpha \geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}$

som önskat.

Bevis genom induktion med grundläggande kalkyl

Följande bevis använder matematisk induktion och några grundläggande differentialkalkyler .

Induktionsbas : För n = 1 är påståendet sant med likhet.

Induktionshypotes : Antag att AM–GM-satsen gäller för alla val av n icke-negativa reella tal.

Induktionssteg : För att bevisa påståendet för n + 1 icke-negativa reella tal x ₁ , . . . , x _n , x _{n +1} , vi måste bevisa det

${\frac {x_{1}+\cdots +x_{n }+x_{n+1}}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}x_{n+1}})^{\frac {1}{n+1}}\ geq 0$

med likhet endast om alla n + 1 tal är lika.

Om alla tal är noll, gäller olikheten med likhet. Om några men inte alla tal är noll har vi strikt ojämlikhet. Därför kan vi i det följande anta att alla n + 1 tal är positiva.

Vi betraktar det sista talet x _{n +1} som en variabel och definierar funktionen

$f(t)={\frac {x_{1 }+\cdots +x_{n}+t}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}t})^{\frac {1}{n+1}},\qquad t>0.$

Att bevisa induktionssteget är ekvivalent med att visa att f ( t ) ≥ 0 för alla t > 0 , med f ( t ) = 0 endast om x ₁ , . . . , x _n och t är alla lika. Detta kan göras genom att analysera de kritiska punkterna för f med hjälp av någon grundläggande kalkyl.

Den första derivatan av f ges av

$f'(t)={\frac { 1}{n+1}}-{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}t^ {-{\frac {n}{n+1}}},\qquad t>0.$

En kritisk punkt t ₀ måste uppfylla ₀ f′ ( t ) = 0 , vilket betyder

$({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}} t_{0}^{-{\frac {n}{n+1}}}=1.$

Efter en liten omläggning får vi

$t_{0}^{\frac {n}{n+1}}=({x_{1}\cdots x_{n }})^{\frac {1}{n+1}},$

och slutligen

$t_{0}=({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}},$

vilket är det geometriska medelvärdet av x ₁ , . . . , xn _{_} . Detta är den enda kritiska punkten i f . Eftersom f′′ ( t ) > 0 för alla t > 0 , är funktionen f strikt konvex och har ett strikt globalt minimum vid t ₀ . Därefter beräknar vi värdet på funktionen vid detta globala minimum:

${\begin{aligned}f( t_{0})&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+({x_{1}\cdots x_{n}})^{1/n}}{n+1} }-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1} {n(n+1)}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}+{\frac {1}{n+1}}( {x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}} \\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}-{\frac {n}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{ n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {n}{n+1}}{\Bigl (}{\frac {x_{1}+\cdots +x_{ n}}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}{\Bigr )}\\&\geq 0,\end{aligned} }$

där den slutliga ojämlikheten gäller på grund av induktionshypotesen. Hypotesen säger också att vi kan ha likhet först när x ₁ , . . . , x _n är alla lika. I detta fall har deras geometriska medelvärde t ₀ samma värde, såvida inte x ₁ , . . . , x _n , x _{n +1} är alla lika, vi har f ( x _{n +1} ) > 0 . Detta fullbordar beviset.

Denna teknik kan användas på samma sätt för att bevisa den generaliserade AM-GM-ojämlikheten och Rn ^Cauchy -Schwarz-ojämlikheten i det euklidiska rymden .

Bevis av Pólya med hjälp av exponentialfunktionen

George Pólya gav ett bevis liknande det som följer. Låt f ( x ) = e ^{x –1} – x för alla reella x , med förstaderivatan f ′ ( x ) = e ^{x –1} – 1 och andraderivatan f′′ ( x ) = e ^{x –1} . Observera att f (1) = 0 , f′ (1) = 0 och f′′ ( x ) > 0 för alla reella x , därför är f strikt konvex med det absoluta minimum vid x = 1 . Därför x ≤ e ^{x –1} för alla reella x med likhet endast för x = 1 .

Betrakta en lista över icke-negativa reella tal x ₁ , x ₂ , . . . , xn _{_} . Om de alla är noll, så gäller AM–GM-ojämlikheten med jämlikhet. Därför kan vi i det följande anta för deras aritmetiska medelvärde α > 0 . Genom n -faldig tillämpning av ovanstående ojämlikhet får vi det

${\begin{aligned}{{\frac {x_{1}}{\alpha }}{\frac {x_{2}}{\alpha }}\cdots {\ frac {x_{n}}{\alpha }}}&\leq {e^{{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1}e^{{\frac {x_{2}}{ \alpha }}-1}\cdots e^{{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1}}\\&=\exp {\Bigl (}{\frac {x_{1}} {\alpha }}-1+{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1+\cdots +{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1{\Bigr )}, \qquad (*)\end{aligned}}$

med likhet om och endast om x _i = α för varje i ∈ {1, . . . , n } . Argumentet för den exponentiella funktionen kan förenklas:

${\begin{aligned }{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1+{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1+\cdots +{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{\alpha }}-n\\&={\frac {n\alpha }{\alpha } }-n\\&=0.\end{aligned}}$

Återgå till (*) ,

${\frac {x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}{\alpha ^{n}}}\leq e^{ 0}=1,$

som ger x ₁ x ₂ · · · x _n ≤ α ⁿ , därav resultatet

${\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq \alpha .$

Bevis med lagrangiska multiplikatorer

Om någon av $x_{i}$ är $0$ , så finns det inget att bevisa. Så vi kan anta att alla $x_{i}$ är strikt positiva.

Eftersom de aritmetiska och geometriska medelvärdena är homogena av grad 1, utan förlust av generalitet antag att $\prod _{i=1}^{n}x_{i}=1$ . Set $G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\prod _{ i=1}^{n}x_{i}$ och $F(x_{1},x_{ 2},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n}}\summa _{i=1}^{n}x_{i}$ . Olikheten kommer att bevisas (tillsammans med likhetsfallet) om vi kan visa att minimum av $F(x_{1},x_{2} ,...,x_{n}),$ omfattas av begränsningen $G(x_{1},x_{2},\ldots , x_{n})=1,$ är lika med $1$ , och minimum uppnås endast när $x_{1}=x_{2} =\cdots =x_{n}=1$ . Låt oss först visa att det begränsade minimeringsproblemet har ett globalt minimum.

Set $K=\{(x_{1},x_{2},\ ldots ,x_{n})\colon 0\leq x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\leq n\}$ . Eftersom skärningspunkten $K\cap \{G=1\}$ är kompakt, garanterar extremvärdessatsen att minimum av $F(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ med förbehåll för begränsningarna $G( x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1$ och $(x_{1},x_{2}, \ldots ,x_{n})\in K$ uppnås någon gång inuti $K$ . Å andra sidan, observera att om någon av $x_{i}>n$ så $F(x_{1 },x_{2},\ldots ,x_{n})>1$ , medan $F(1,1,\ldots ,1)=1$ , och $(1,1,\ldots ,1)\in K\cap \{G=1\}$ . Detta betyder att minimumet inuti $K\cap \{G=1\}$ i själva verket är ett globalt minimum, eftersom värdet på $F$ vid vilken punkt som helst inuti $K\cap \{G=1\}$ är verkligen inte mindre än minimum, och värdet på $F$ vid någon punkt $(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$ inte inuti $K$ är strikt större än värdet vid ${ \displaystyle (1,1,\ldots ,1)} ,$ vilket inte är mindre än minimum.

Metoden för Lagrange-multiplikatorer säger att det globala minimumet uppnås vid en punkt $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ där gradienten för $F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ är $\lambda$ gånger gradienten för ${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})} ,$ för vissa $\lambda$ . Vi kommer att visa att den enda punkt där detta händer är när $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1$ och $F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=1.$

Beräkna ${\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}={\frac {1}{n}}$ och

${\frac {\partial G}{\partial x_{i} }}=\prod _{j\neq i}x_{j}={\frac {G(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})}{x_{i}}}= {\frac {1}{x_{i}}}$

längs begränsningen. Att ställa in gradienterna proportionella mot varandra ger därför för varje $i$ att ${\frac {1}{n}}={\frac {\lambda }{x_{i }}},$ och så $n\lambda =x_{i}.$ Eftersom den vänstra sidan inte är beroende av $i$ , följer det att $x_{1} =x_{2}=\cdots =x_{n}$ och eftersom $G(x_{1},x_{2},\ldots , x_{n})=1$ , det följer att $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1$ och ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1} ,$ enligt önskemål.

Generaliseringar

Viktad AM–GM-ojämlikhet

Det finns en liknande olikhet för det vägda aritmetiska medelvärdet och det viktade geometriska medelvärdet . Närmare bestämt, låt de icke-negativa talen x ₁ , x ₂ , . . . , x _n och de icke-negativa vikterna w ₁ , w ₂ , . . . , w _n ges. Ställ in w = w ₁ + w ₂ + · · · + w _n . Om w > 0 så är olikheten

${\frac {w_{1}x_{1}+w_{ 2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}\geq {\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^ {w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}$

gäller med lika om och bara om alla x _k med w _k > 0 är lika. Här används konventionen 0⁰ = 1 .

Om alla w _k = 1 minskar detta till ovanstående olikhet mellan aritmetiska och geometriska medelvärden.

En starkare version av denna, som också ger en förstärkt version av den oviktade versionen, är tack vare Aldaz. I synnerhet finns det en liknande olikhet för det viktade aritmetiska medelvärdet och det viktade geometriska medelvärdet . Närmare bestämt, låt de icke-negativa talen x ₁ , x ₂ , . . . , x _n och de icke-negativa vikterna w ₁ , w ₂ , . . . , w _n ges. Antag vidare att summan av vikterna är 1. Då är $\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\geq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^ {w_{i}}+\summa _{i=1}^{n}w_{i}\left(x_{i}^{\frac {1}{2}}-\summa _{i=1} ^{n}w_{i}x_{i}^{\frac {1}{2}}\right)^{2}$ .

Bevis som använder Jensens ojämlikhet

Genom att använda den finita formen av Jensens olikhet för den naturliga logaritmen kan vi bevisa olikheten mellan det vägda aritmetiska medelvärdet och det viktade geometriska medelvärdet som anges ovan.

Eftersom ett x _k med vikten w _k = 0 inte har någon inverkan på olikheten kan vi i det följande anta att alla vikter är positiva. Om alla x _k är lika, så gäller likhet. Därför återstår det att bevisa strikt ojämlikhet om de inte alla är lika, vilket vi också kommer att anta i det följande. Om minst en x _k är noll (men inte alla), så är det vägda geometriska medelvärdet noll, medan det viktade aritmetiska medelvärdet är positivt, och därför gäller strikt olikhet. Därför kan vi också anta att alla xk _. är positiva

Eftersom den naturliga logaritmen är strikt konkav , innebär den finita formen av Jensens ojämlikhet och de funktionella ekvationerna för den naturliga logaritmen

${\begin{aligned}\ln {\Bigl (}{\frac {w_{1}x_{1}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}{\Bigr )} &>{\frac {w_{1}}{w}}\ln x_{1}+\cdots +{\frac {w_{n}}{w}}\ln x_{n}\\&=\ln {\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}.\end{ Justerat}}$

Eftersom den naturliga logaritmen ökar strikt ,

${\frac {w_{1}x_{1}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}>{\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{ 1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}.$

Matrisaritmetik–geometrisk medelolikhet

De flesta matrisgeneraliseringar av den aritmetiska geometriska medelolikheten gäller på nivån av enhetligt invarianta normer, på grund av det faktum att även om matriserna $A$ och $B$ är positiva semidefinita matrisen ${ \displaystyle AB}$ kanske inte är positiv semidefinitiv och får därför inte ha en kanonisk kvadratrot. I Bhatia och Kittaneh bevisade att för varje enhetligt invariant norm $|||\cdot |||$ och positiva semidefinita matriser $A$ och $B$ är det så att

$|||AB|||\leq {\frac {1}{2}}|||A^{2}+B^{2}|||$

Senare, i samma författare visade den starkare ojämlikheten att

$|||AB|||\leq {\frac {1}{4}}|||(A+B)^{2}|||$

Slutligen är det känt för dimensionen $n=2$ att följande starkast möjliga matrisgeneralisering av den aritmetisk-geometriska medelolikheten gäller, och den antas gälla för alla $n$

$|||(AB)^{\frac {1}{2}}|||\leq {\frac {1}{2}}|||A+B|||$

Denna förmodade ojämlikhet visades av Stephen Drury 2012. Han bevisade faktiskt

${\sqrt {\sigma _{j}(AB)}}\leq {\frac {1}{2}}\lambda _{j}(A+B),\ j=1,\ldots , n.$

Andra generaliseringar

Geometriskt bevis utan ord som max ( a , b ) > rotmedelvärde ( RMS ) eller kvadratiskt medelvärde ( QM ) > aritmetiskt medelvärde ( AM ) > geometriskt medelvärde ( GM ) > harmoniskt medelvärde ( HM ) > min ( a , b ) av två distinkta positiva tal a och b

Andra generaliseringar av olikheten mellan aritmetiska och geometriska medel inkluderar:

• Muirheads ojämlikhet ,
• Maclaurins ojämlikhet ,
• Generaliserad medelojämlikhet ,
• Medel för komplexa tal.

Se även

• Hoffmans packningspussel
• Ky Fan ojämlikhet
• Youngs ojämlikhet för produkter

externa länkar

• Arthur Lohwater (1982). "Introduktion till ojämlikheter" . Online e-bok i PDF-format.