Pedoes ojämlikhet

Inom geometri anger Pedoes ojämlikhet (även Neuberg–Pedoe ojämlikhet ), uppkallad efter Daniel Pedoe (1910–1998) och Joseph Jean Baptiste Neuberg (1840–1926), att om a , b och c är längderna på sidorna av en triangel med area ƒ , och A , B och C är längderna på sidorna i en triangel med area F , då

$A^{2 }(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2} }(a^{2}+b^{2}-c^{2})\geq 16Ff,\,$

med likhet om och endast om de två trianglarna är lika med par av motsvarande sidor ( A, a ), ( B, b ) och ( C, c ).

Uttrycket till vänster är inte bara symmetriskt under någon av de sex permutationerna i uppsättningen { ( A , a ), ( B , b ), ( C , c ) } av par, utan förblir också - kanske inte så uppenbart - samma sak om a byts ut mot A och b med B och c med C . Det är med andra ord en symmetrisk funktion av paret av trianglar.

Pedoes ojämlikhet är en generalisering av Weitzenböcks ojämlikhet , vilket är fallet där en av trianglarna är liksidig .

Pedoe upptäckte ojämlikheten 1941 och publicerade den därefter i flera artiklar. Senare fick han veta att ojämlikheten var känd redan på 1800-talet för Neuberg, som dock inte bevisade att jämlikheten innebär likheten mellan de två trianglarna.

Se även

• Lista över triangelojämlikheter

• Daniel Pedoe : En ojämlikhet som förbinder två trianglar . The Mathematical Gazette, vol. 25, nr 267 (dec., 1941), s. 310-311 ( JSTOR )
• Daniel Pedoe: A Two-Triangle Inequality . The American Mathematical Monthly , volym 70, nummer 9, sidan 1012, november 1963.
• Daniel Pedoe: En ojämlikhet för två trianglar . Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , volym 38, del 4, sid 397, 1943.
•   Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities . MAA, 2009, ISBN 978-0-88385-342-9 , sid. 108
• DS Mitrinović, Josip Pečarić: Om Neuberg-Pedoe och Oppenheim ojämlikheterna . Journal of Mathematical Analysis and Applications 129(1):196–210 · Januari 1988 ( onlinekopia )