Weierstrass förberedelsesats

Inom matematiken är Weierstrass förberedelsesats ett verktyg för att hantera analytiska funktioner för flera komplexa variabler , vid en given punkt P. Den säger att en sådan funktion är, upp till multiplikation med en funktion som inte är noll vid P , ett polynom i en fast variabel z , som är monisk , och vars koefficienter för lägre gradtermer är analytiska funktioner i de återstående variablerna och noll vid P .

Det finns också ett antal varianter av satsen, som utvidgar idén om faktorisering i någon ring R som u · w , där u är en enhet och w är något slags distingerat Weierstrass-polynom . Carl Siegel har bestridit tillskrivningen av satsen till Weierstrass , och säger att den inträffade under det nuvarande namnet i några av det sena artonhundratalets Traités d'analyse utan motivering.

Komplexa analytiska funktioner

För en variabel är den lokala formen av en analytisk funktion f ( z ) nära 0 z ^k h ( z ) där h (0) inte är 0, och k är ordningen för nollpunkten för f vid 0. Detta är resultatet att förberedelsesatsen generaliserar. Vi plockar ut en variabel z , som vi kan anta är först, och skriver våra komplexa variabler som ( z , z ₂ , ..., z _n ). Ett Weierstrass-polynom W ( z ) är

z ^k + g _{k −1} z ^{k −1} + ... + g ₀

₂_i där gi ( z2 , ..., _zn ) är analytisk och gi (0, ... _, 0) =

Sedan säger satsen att för analytiska funktioner f , if

f (0, ...,0) = 0,

och

f ( z , z ₂ , ..., z _n )

eftersom en potensserie har en term som bara involverar z , kan vi skriva (lokalt nära (0, ..., 0))

f ( z , z2 _, ..., zn _, ) = W ( z ) h ( z z2 _, ... _, zn )

med h analytisk och h (0, ..., 0) inte 0, och W ett Weierstrass-polynom.

Detta har den omedelbara konsekvensen att nolluppsättningen av f , nära (0, ..., 0), kan hittas genom att fixera alla små värden på z ₂ , ..., z _n och sedan lösa ekvationen W(z )=0 . Motsvarande värden på z bildar ett antal kontinuerligt varierande grenar , i antal lika med graden av W i z . I synnerhet f inte ha en isolerad nolla.

Divisionssats

Ett relaterat resultat är Weierstrass divisionssats , som säger att om f och g är analytiska funktioner, och g är ett Weierstrass polynom av grad N , så finns det ett unikt par h och j så att f = gh + j , där j är ett polynom med grad mindre än N . Faktum är att många författare bevisar Weierstrass-förberedelsen som en följd av divisionsteoremet. Det är också möjligt att bevisa divisionssatsen från förberedelsesatsen så att de två satserna faktiskt är ekvivalenta.

Ansökningar

Weierstrass-förberedelsesatsen kan användas för att visa att ringen av bakterier för analytiska funktioner i n variabler är en Noether-ring, som också kallas Rückerts bassats .

Smidiga funktioner

Det finns en djupare förberedelsesats för släta funktioner , på grund av Bernard Malgrange , kallad Malgranges förberedelsesats . Den har också en associerad divisionssats, uppkallad efter John Mather .

Formell kraftserie i kompletta lokala ringar

Det finns ett analogt resultat, även kallat Weierstrass-förberedelsesatsen, för ringen av formella potensserier över kompletta lokala ringar A : för alla potensserier ${ \displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}\i A[[t]]} så att inte alla a n {\displaystyle a_$ { $}$ är i det maximala idealet ${\mathfrak {m}}$ av A , finns det en unik enhet u i $A[[t]]$ och ett polynom F av formen $F=t^{s}+b_{s-1}t^{s-1}+\dots +b_{0}$ med $b_{i}\in {\mathfrak {m}}$ (ett så kallat distinguished polynom) så att

f=uF.

Eftersom $A[[t]]$ återigen är en komplett lokal ring, kan resultatet itereras och ger därför liknande faktoriseringsresultat för formella potensserier i flera variabler.

Detta gäller till exempel ringen av heltal i ett p-adiskt fält. I detta fall säger satsen att en potensserie f ( z ) alltid kan faktoriseras unikt som π ⁿ · u ( z )· p ( z ), där u ( z ) är en enhet i ringen av potensserier, p ( z ) är ett särskiljt polynom (moniskt, med koefficienterna för de icke-ledande termerna var och en i det maximala idealet), och π är en fixerad uniformisator .

En tillämpning av Weierstrass förberedelse- och divisionssats för ringen $\mathbf {Z} _{p}[[t]]$ (även kallad Iwasawa-algebra ) förekommer i Iwasawa-teorin i beskrivningen av ändligt genererade moduler över denna ring.

Det finns en icke-kommutativ version av Weierstrass division och förberedelse, där A är en inte nödvändigtvis kommutativ ring, och med formell skev potensserie i stället för formell potensserie.

Tate algebror

Det finns också en Weiertrass-förberedelsesats för Tate-algebror

T_{n}(k)=\left\{\sum _{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}\geq 0 }a_{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}},| a_{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}}|\till 0{\text{ för }}\nu _{1}+\dots +\nu _{n}\till \infty \höger\}

över ett fullständigt icke-arkimediskt fält k . Dessa algebror är de grundläggande byggstenarna för stel geometri . En tillämpning av denna form av Weierstrass förberedelsesats är det faktum att ringarna $T_{n}(k)$ är Noetherian .

Se även

Oka koherenssats

Lewis, Andrew, Anteckningar om global analys
Siegel, CL (1969), "Zu den Beweisen des Vorbereitungssatzes von Weierstrass", Number Theory and Analysis (Papers in Honor of Edmund Landau) , New York: Plenum, s. 297–306, MR 0268402 , omtryckt i Siegel, Carl Ludwig (1979), Chandrasekharan, K.; Maass., H. (red.), Gesammelte Abhandlungen. Band IV , Berlin-New York: Springer-Verlag, s. 1–8, ISBN 0-387-09374-5 , MR 0543842
Solomentsev, ED (2001) [1994], "Weierstrass theorem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Stickelberger, L. (1887), "Ueber einen Satz des Herrn Noether" , Mathematische Annalen , 30 (3): 401–409, doi : 10.1007/BF01443952 , S2CID 121360367
Weierstrass, K. (1895), Mathematische Werke. II. Abhandlungen 2 , Berlin: Mayer & Müller, s. 135–142 omtryckt av Johnson, New York, 1967.

externa länkar

Lebl, Jiří. "Weierstrass Preparation and Division Theorems. (2021, 5 september)" . LibreTexts .