Malgrange förberedelsesats

Inom matematik är Malgrange-förberedelsesatsen en analog till Weierstrass-förberedelsesatsen för smidiga funktioner . Det antogs av René Thom och bevisades av B. Malgrange ( 1962–1963 , 1964 , 1967 ).

Uttalande av Malgranges förberedelsesats

Antag att f ( t , x ) är en jämn komplex funktion av t ∈ R och x ∈ R ⁿ nära origo, och låt k vara det minsta heltal så att

$f(0) ,0)=0,{\partial f \over \partial t}(0,0)=0,\dots ,{\partial ^{k-1}f \over \partial t^{k-1}}( 0,0)=0,{\partial ^{k}f \over \partial t^{k}}(0,0)\neq 0.$

Sedan säger en form av förberedelsesatsen att nära origo f kan skrivas som produkten av en jämn funktion c som inte är noll vid origo och en slät funktion som som funktion av t är ett polynom av grad k . Med andra ord,

$f(t,x)=c(t, x)\left(t^{k}+a_{k-1}(x)t^{k-1}+\cdots +a_{0}(x)\right)$

där funktionerna c och a är jämna och c är icke-noll vid origo.

En andra form av satsen, ibland kallad Mather divisionssatsen , är en sorts "division med rest"-sats: den säger att om f och k uppfyller villkoren ovan och g är en jämn funktion nära origo, så kan vi skriva

$g=qf+r$

där q och r är jämna och som en funktion av t är r ett polynom med grad mindre än k . Detta innebär att

$r(x)=\summa _{0\leq j<k}t^{j}r_{j}(x)$

för vissa smidiga funktioner r _j ( x ).

De två formerna av satsen antyder lätt varandra: den första formen är specialfallet av formen "delning med rest" där g är t ^k , och divisionen med restform följer av den första formen av satsen som vi kan anta att f som funktion av t är ett polynom av grad k .

Om funktionerna f och g är reella, så kan funktionerna c , a , q och r också tas som reella. När det gäller Weierstrass-förberedelsesatsen bestäms dessa funktioner unikt av f och g , men unikhet gäller inte längre för Malgrange-förberedelsesatsen.

Bevis på Malgranges förberedelsesats

Malgranges förberedelsesats kan härledas från Weierstrass förberedelsesats. Det uppenbara sättet att göra detta fungerar inte: även om jämna funktioner har en formell potensserieexpansion vid origo, och Weierstrass förberedelsesats gäller formell potensserie, kommer den formella potensserien vanligtvis inte att konvergera till jämna funktioner nära origo. Istället kan man använda idén att sönderdela en jämn funktion som en summa av analytiska funktioner genom att tillämpa en partition av enhet på dess Fouriertransform. För ett bevis längs dessa linjer se ( Mather 1968 ) eller ( Hörmander 1983a , avsnitt 7.5)

Algebraisk version av Malgranges förberedelsesats

Malgrange-förberedelsesatsen kan omformuleras som ett teorem om moduler över ringar av släta, verkligt värdefulla bakterier . Om X är ett mångfaldigt , med p ∈ X , låt C ^∞ _p ( X ) beteckna ringen av verkliga bakterier med jämna funktioner vid p på X . Låt M _p ( X ) beteckna det unika maximalidealet för C ^∞ _p ( X ), bestående av bakterier som försvinner vid p. Låt A vara en C ^∞ _p ( X )-modul, och låt f : X → Y vara en jämn funktion mellan grenrör. Låt q = f ( p ). f inducerar en ringhomomorfism f ^* : C ^∞ _q (Y) → C ^∞ _p ( X ) genom sammansättning till höger med f . Således kan vi se A som en C ^∞ _q ( Y )-modul. Då säger Malgrange-förberedelsesatsen att om A är en ändligt genererad C ^∞ _p ( X )-modul, så är A en ändligt genererad C ^∞ _q ( Y )-modul om och endast om A / M _q ( Y )A är ett ändligt dimensionellt reellt vektorrum.

•   Golubitsky, Martin ; Guillemin, Victor (1973), Stall Mappings and Their Singularities , Graduate Texts in Mathematics 14, Springer-Verlag , ISBN 0-387-90073-X
•   Hörmander, L. (1983a), Analysen av linjära partiella differentialoperatorer I , Grundl. Matematik. Wissenschaft., vol. 256, Springer, ISBN 978-3-540-00662-6
•   Malgrange, Bernard (1962–1963), Le théorème de péparation en géométrie différentiable I–IV , Séminaire Henri Cartan , 1962/63, vol. 11–14, Secrétariat mathématique, Paris, MR 0160234
•   Malgrange, Bernard (1964), Förberedelsesatsen för differentierbara funktioner. 1964 Differential Analysis, Bombay Colloq. , London: Oxford Univ. Press, s. 203–208, MR 0182695
•   Malgrange, Bernard (1967), Ideals of differentiable functions , Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, vol. 3, London: Oxford University Press, sid. vii+106, MR 0212575
•    Mather, John N. (1968), "Stabilitet av C ^∞ mappningar. I. The division theorem.", Ann. av matte. , 2, The Annals of Mathematics, vol. 87, nr 1, 87 (1): 89–104, doi : 10.2307/1970595 , JSTOR 1970595 , MR 0232401