Virial teorem

Inom mekanik tillhandahåller virialsatsen en allmän ekvation som relaterar medelvärdet över tiden av den totala kinetiska energin för ett stabilt system av diskreta partiklar, bundna av potentiella krafter (krafter som uteslutande kännetecknas av potentialskillnad), [ det för systemets totala potentiella energi . Matematiskt säger satsen

$$\left\langle T\right\rangle =-{\frac {1}{2}}\,\summa _{k =1}^{N}{\bigl \langle }\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}{\bigr \rangle }$$

där T är den totala kinetiska energin för de N partiklarna, rk _Fk representerar _. kraften på den k: te partikeln, som är belägen vid positionen , och vinkelparenteser representerar medelvärdet över tiden av den inneslutna kvantiteten Ordet virial för den högra sidan av ekvationen kommer från vis , det latinska ordet för "kraft" eller "energi", och fick sin tekniska definition av Rudolf Clausius 1870.

Betydelsen av virialsatsen är att den tillåter att den genomsnittliga totala kinetiska energin beräknas även för mycket komplicerade system som trotsar en exakt lösning, såsom de som anses i statistisk mekanik ; denna genomsnittliga totala kinetiska energi är relaterad till systemets temperatur genom ekvipartitionssatsen . Virialsatsen beror dock inte på begreppet temperatur och gäller även för system som inte är i termisk jämvikt . Virialsatsen har generaliserats på olika sätt, framför allt till en tensorform .

Om kraften mellan två valfria partiklar i systemet härrör från en potentiell energi V ( r ) = αrn ⁿ som är proportionell mot någon potens av interpartikelavståndet r , tar virialsatsen den enkla formen

$$2\langle T\rangle =n\langle V_{\text{TOT}}\rangle .$$

Således är två gånger den genomsnittliga totala kinetiska energin ⟨ T ⟩ lika med n gånger den genomsnittliga totala potentiella energin ⟨ V _TOT ⟩ . Medan V ( r ) representerar den potentiella energin mellan två partiklar av avstånd r , representerar VTOT _V systemets totala potentiella energi, dvs summan av den potentiella energin ( r ) över alla partikelpar i systemet. Ett vanligt exempel på ett sådant system är en stjärna som hålls samman av sin egen gravitation, där n är lika med −1.

Historia

År 1870 höll Rudolf Clausius föreläsningen "On a Mechanical Theorem Applicable to Heat" till Association for Natural and Medical Sciences of the Lower Rhen, efter en 20-årig studie av termodynamik. Föreläsningen 1/2 . angav att medelvärdet vis viva för systemet är lika med dess virial, eller att den genomsnittliga kinetiska energin är lika med av den genomsnittliga potentiella energin Virialsatsen kan erhållas direkt från Lagranges identitet som tillämpas i klassisk gravitationsdynamik, vars ursprungliga form ingick i Lagranges "Essay on the Problem of Three Bodies" publicerad 1772. Karl Jacobis generalisering av identiteten till N kroppar och till den nuvarande formen av Laplaces identitet liknar den klassiska virialsatsen. Men tolkningarna som ledde till utvecklingen av ekvationerna var mycket olika, eftersom statistisk dynamik ännu inte hade förenat de separata studierna av termodynamik och klassisk dynamik vid utvecklingstillfället. Teoremet användes senare, populariserades, generaliserades och vidareutvecklades av James Clerk Maxwell , Lord Rayleigh , Henri Poincaré , Subrahmanyan Chandrasekhar , Enrico Fermi , Paul Ledoux , Richard Bader och Eugene Parker . Fritz Zwicky var den första som använde virialsatsen för att härleda existensen av osynlig materia, som nu kallas mörk materia . Richard Bader visade att laddningsfördelningen av ett totalt system kan delas in i dess kinetiska och potentiella energier som lyder den viriala teoremet. Som ett annat exempel på dess många tillämpningar har virialsatsen använts för att härleda Chandrasekhar-gränsen för stabiliteten hos vita dvärgstjärnor .

Illustrativt specialfall

Betrakta N = 2 partiklar med samma massa m , påverkade av ömsesidigt attraherande krafter. Antag att partiklarna befinner sig vid diametralt motsatta punkter i en cirkulär bana med radien r . Hastigheterna är v ₁ ( t ) och v ₂ ( t ) = − v ₁ ( t ) , vilka är normala mot krafterna F ₁ ( t ) och F ₂ ( t ) = − F ₁ ( t ) . De respektive magnituderna är fixerade vid v och F . Systemets genomsnittliga kinetiska energi är

$$\langle T\rangle =\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{k}\left|\mathbf {v} _{k}\right| ^{2}={\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{1}|^{2}+{\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _ {2}|^{2}=mv^{2}.$$

Med massacentrum som ursprung har partiklarna positionerna r ₁ ( t ) och r ₂ ( t ) = − r ₁ ( t ) med fast storlek r . Attraktionskrafterna verkar i motsatta riktningar som positioner, så F ₁ ( t ) ⋅ r ₁ ( t ) = F ₂ ( t ) ⋅ r ₂ ( t ) = − Fr . Att tillämpa centripetalkraftformeln F = mv ² / r resulterar i :

$$- {\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{\bigl \langle }\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}{\ bigr \rangle }=-{\frac {1}{2}}(-Fr-Fr)=Fr={\frac {mv^{2}}{r}}\cdot r=mv^{2}=\ langle T\rangle ,$$

såsom krävs. Obs: Om ursprunget förskjuts får vi samma resultat. Detta beror på att punktprodukten av förskjutningen med lika och motsatta krafter Fi ( t ₎ resulterar _i ( t ) , F2 nettoutsläckning.

Påstående och härledning

Även om virialsatsen är beroende av att medelvärdet beräknas av de totala kinetiska och potentiella energierna, skjuter presentationen här upp medelvärdet till det sista steget.

För en samling av N- punktspartiklar definieras det skalära tröghetsmomentet I kring ursprunget av ekvationen

$$I=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left|\mathbf {r} _{k}\right|^{ 2}=\summa _{k=1}^{N}m_{k}r_{k}^{2}$$

där m _k och r _k representerar massan och positionen för den k: te partikeln. r _k = | r _k | är positionsvektorns storlek. Det skalära G definieras av ekvationen

$$G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}$$

där p _k är momentumvektorn för den k: te partikeln. Om vi ​​antar att massorna är konstanta G hälften av tidsderivatan av detta tröghetsmoment

$${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\frac {dI}{dt}}&={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt} }\summa _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\summa _{k=1}^ {N}m_{k}\,{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\summa _{k=1 }^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=G\,.\end{aligned}}$$

I sin tur kan tidsderivatan av G skrivas

$${\begin{aligned}{\frac {dG}{dt}}&=\sum _ {k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\summa _{k=1}^{ N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\summa _{k=1}^{N}m_{ k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\summa _{k=1 }^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=2T+\summa _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k }\cdot \mathbf {r} _{k}\end{aligned}}$$

där m _k är massan av den k: te partikeln, F _k = d p _k / dt är nettokraften på den partikeln, och T är den totala kinetiska energin för systemet enligt v _k = d r _k / dt hastighet av varje partikel

$$T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}} \sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k }}{dt}}.$$

Samband med potentiell energi mellan partiklar

Den totala kraften Fk _j på partikel k är summan av alla krafter från de andra partiklarna i systemet

$$\mathbf {F} _{k}=\summa _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}$$

där F _jk är kraften som appliceras av partikel j på partikel k . Därför kan virialen skrivas

$$-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=- {\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf { r} _{k}\,.$$

Eftersom ingen partikel verkar på sig själv (dvs F _jj = 0 för 1 ≤ j ≤ N ), delar vi summan i termer under och över denna diagonal och vi adderar dem i par:

$${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&= \sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}=\summa _{k =2}^{N}\summa _{j=1}^{k-1}\left(\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\mathbf {F} _{kj}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\\&=\summa _{k=2}^{N}\summa _{j=1}^{k-1}\left (\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}-\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)=\summa _{ k=2}^{N}\summa _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r } _{j}\right)\end{aligned}}$$

där vi har antagit att Newtons tredje rörelselag gäller, dvs F _jk = − F _kj (lik och motsatt reaktion).

Det händer ofta att krafterna kan härledas från en potentiell energi V _jk som är en funktion endast av avståndet r _jk mellan punktpartiklarna j och k . Eftersom kraften är den negativa gradienten för den potentiella energin har vi i detta fall

$$\mathbf {F} _{jk}=-\nabla _{ \mathbf {r} _{k}}V_{jk}=-{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}\left({\frac {\mathbf {r} _{k}-\ mathbf {r} _{j}}{r_{jk}}}\right),$$

som är lika med och motsatt F _kj = −∇ _{r j} V _kj = −∇ _{r j} V _jk , kraften som appliceras av partikel k på partikel j , vilket kan bekräftas genom explicit beräkning. Därav,

$${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&=\sum _{k=2 }^{N}\summa _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{ j}\right)\\&=-\summa _{k=2}^{N}\summa _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk} }}{\frac {|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}|^{2}}{r_{jk}}}\\&=-\summa _{k= 2}^{N}\summa _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}.\end{aligned}}$$

Det har vi alltså

$${\frac {dG}{dt}}=2T+\summa _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T- \sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}.$$

Särskilt fall av maktlagskrafter

I ett vanligt specialfall är den potentiella energin V mellan två partiklar proportionell mot en potens n av deras avstånd r _ij

$$V_{jk}=\alpha r_{jk}^{n},$$

där koefficienten α och exponenten n är konstanter. I sådana fall ges virialen av ekvationen

$${\begin{aligned}-{\frac {1}{2}} \,\summa _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&={\frac {1}{2}}\,\summa _{k=1}^{N}\summa _{j<k}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}\\&={\frac {1}{2 }}\,\summa _{k=1}^{N}\summa _{j<k}n\alpha r_{jk}^{n-1}r_{jk}\\&={\frac {1 }{2}}\,\summa _{k=1}^{N}\summa _{j<k}nV_{jk}={\frac {n}{2}}\,V_{\text{TOT }}\end{aligned}}$$

där V _TOT är den totala potentiella energin i systemet

$$V_{\text{TOT}}=\summa _{k=1}^{N}\summa _{j<k}V_{jk}\,.$$

Det har vi alltså

$${\frac {dG}{dt}}=2T+\summa _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T- nV_{\text{TOT}}\,.$$

För graviterande system är exponenten n lika med −1, vilket ger Lagranges identitet

$${\frac {dG}{dt}}={\frac {1}{2}}{\frac {d^{ 2}I}{dt^{2}}}=2T+V_{\text{TOT}}$$

som härleddes av Joseph-Louis Lagrange och utökades av Carl Jacobi .

Tidsgenomsnitt

Medelvärdet av denna derivata över en tidsperiod, τ , definieras som

$$\left\langle { \frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }{\frac {dG}{dt} }\,dt={\frac {1}{\tau }}\int _{G(0)}^{G(\tau )}\,dG={\frac {G(\tau)-G(0 )}{\tau }},$$

från vilken vi får den exakta ekvationen

$$\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=2\left\langle T\right\rangle _{\tau }+\summa _{k=1 }^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.$$

Virialsatsen säger att om ⟨ dG / dt ⟩ _τ = 0 , då

$$2\left\langle T\right\rangle _{\tau }=-\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf { r} _{k}\right\rangle _{\tau }.$$

Det finns många anledningar till att medelvärdet av tidsderivatan kan försvinna, ⟨ dG / dt ⟩ _τ = 0 . Ett ofta anfört skäl gäller stabilt bundna system, det vill säga system som hänger ihop för alltid och vars parametrar är ändliga. I det fallet har hastigheter och koordinater för partiklarna i systemet övre och nedre gränser så att G ^bound , begränsas mellan två extremer, G _min och G _max , och medelvärdet går till noll i gränsen för oändligt τ :

$$\lim _{\tau \to \infty }\left|\left\langle {\frac {dG^{\mathrm {bound} }}{ dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{\tau \to \infty }\left|{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }} \right|\leq \lim _{\tau \to \infty }{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.$$

Även om medelvärdet av tidsderivatan av G bara är ungefär noll, håller virialsatsen samma grad av approximation.

För kraftlagskrafter med en exponent n gäller den allmänna ekvationen:

$$\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }={\frac {n}{2}}\langle V_{\text{TOT}}\rangle _{\tau }.$$

För gravitationsattraktion är n lika med −1 och den genomsnittliga kinetiska energin är lika med hälften av den genomsnittliga negativa potentiella energin

$$\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle V_{\text{TOT}}\rangle _{\tau }.$$

Detta allmänna resultat är användbart för komplexa gravitationssystem som solsystem eller galaxer .

En enkel tillämpning av virialsatsen gäller galaxhopar . Om ett område i rymden är ovanligt fullt av galaxer är det säkert att anta att de har varit tillsammans länge, och virialsatsen kan tillämpas. Dopplereffektmätningar ger lägre gränser för deras relativa hastigheter, och virialsatsen ger en nedre gräns för klustrets totala massa, inklusive eventuell mörk materia.

Om den ergodiska hypotesen gäller för det aktuella systemet, behöver medelvärdesberäkningen inte tas över tid; ett ensemblegenomsnitt kan också tas med motsvarande resultat.

I kvantmekaniken

Även om den ursprungligen härleddes för klassisk mekanik, gäller virialsatsen också för kvantmekanik, som först visades av Fock med Ehrenfest-satsen .

Utvärdera kommutatorn för Hamiltonian

$$H=V{\bigl (}\{X_{i}\}{\bigr )}+\summa _{n}{\ frac {P_{n}^{2}}{2m}}$$

med positionsoperatorn X _n och momentumoperatorn

$$P_{n}=-i\hbar {\frac {d}{dX_{n}}}$$

av partikel n ,

$$[H,X_{n}P_{n}]=X_{n}[H,P_{n}]+[H,X_{n}]P_{n}=i\hbar X_{n}{ \frac {dV}{dX_{n}}}-i\hbar {\frac {P_{n}^{2}}{m}}~.$$

Summering över alla partiklar, finner man för

$$Q=\summa _{n}X_{n}P_{n}$$

kommutatorn uppgår till

$${\frac {i}{\hbar }}[H,Q]=2T-\summa _{n}X_{ n}{\frac {dV}{dX_{n}}}$$

där ${\textstyle T=\summa _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m}}}$ är den kinetiska energin. Den vänstra sidan av denna ekvation är bara dQ / dt , enligt Heisenbergs rörelseekvation . Förväntningsvärdet ⟨ dQ / dt ⟩ för denna tidsderivata försvinner i ett stationärt tillstånd, vilket leder till kvantvirialsatsen ,

$$2\langle T\rangle =\sum _{n}\left\langle X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}\right\rangle ~.$$

Pokhozhaevs identitet

Inom kvantmekanikens område finns det en annan form av virialsatsen, tillämplig på lokaliserade lösningar på den stationära olinjära Schrödinger-ekvationen eller Klein–Gordon-ekvationen , är Pokhozhaevs identitet , även känd som Derricks teorem .

Låt $g(s)$ vara kontinuerlig och realvärderad, med $g(0)=0$ .

Beteckna ${\textstyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$ . Låta

$$u\in L_{\ mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\qquad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad G( u(\cdot ))\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad n\in \mathbb {N} ,$$

vara en lösning på ekvationen

$$-\nabla ^{2}u=g(u),$$

i betydelsen distributioner . Då $u$ relationen

$$(n-2)\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u(x)|^{2}\,dx=n\int _{\mathbb {R} ^{ n}}G(u(x))\,dx.$$

I speciell relativitet

För en enskild partikel i speciell relativitet är det inte så att T = 1 / 2 p · v . Istället är det sant att T = ( γ − 1) mc ² , där γ är Lorentz-faktorn

$$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$$

och p = v / c . Vi har,

$${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} &={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\beta } }\gamma mc\cdot {\boldsymbol {\beta }}c\\[5pt]&={\frac {1}{2}}\gamma \beta ^{2}mc^{2}\\[5pt] &=\left({\frac {\gamma \beta ^{2}}{2(\gamma -1)}}\right)T\,.\end{aligned}}$$

Det sista uttrycket kan förenklas till

$$\left({\frac {1+{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{2}} \right)T\qquad {\text{eller}}\qquad \left({\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right)T$$

.

Under de förhållanden som beskrivits i tidigare avsnitt (inklusive Newtons tredje rörelselag , F _jk = − F _kj , trots relativitet) är alltså tidsgenomsnittet för N partiklar med en potenslagspotential

$${\frac {n}{2}}\left\langle V_{\mathrm {TOT} }\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N }\left({\frac {1+{\sqrt {1-\beta _{k}^{2}}}}{2}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }= \left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\gamma _{k}+1}{2\gamma _{k}}}\right)T_{k}\ höger\rangle _{\tau }\,.$$

I synnerhet är förhållandet mellan kinetisk energi och potentiell energi inte längre fast, utan faller nödvändigtvis in i ett intervall:

$${\frac {2\langle T_{\mathrm {TOT} }\rangle }{n\langle V_{\mathrm {TOT} }\rangle }}\in \left[1,2\right]\,,$$

där de mer relativistiska systemen uppvisar de större förhållandena.

Generaliseringar

Lord Rayleigh publicerade en generalisering av virialsatsen 1903. Henri Poincaré bevisade och tillämpade en form av virialsatsen 1911 på problemet med bildandet av solsystemet från ett proto-stellärt moln (då känt som kosmogoni). En variationsform av virialsatsen utvecklades 1945 av Ledoux. En tensorform av virialsatsen utvecklades av Parker, Chandrasekhar och Fermi. Följande generalisering av virialsatsen har fastställts av Pollard 1964 för fallet med den omvända kvadratlagen:

$$2\lim _{\tau \to +\infty }\langle T\rangle _{\tau }=\lim _{\tau \to +\infty }\langle U\rangle _{\tau }\ qquad {\text{if and only if}}\quad \lim _{\tau \to +\infty }{\tau }^{-2}I(\tau )=0\,.$$

En gränsterm i övrigt måste läggas till.

Inkludering av elektromagnetiska fält

Virialsatsen kan utökas till att omfatta elektriska och magnetiska fält. Resultatet är

$${\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+\int _{V}x_{k}{\frac {\partial G_{k}}{\partial t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{\mathrm {E} }+W^{\mathrm {M} }-\int x_ {k}(p_{ik}+T_{ik})\,dS_{i},$$

där I är tröghetsmomentet , G är det elektromagnetiska fältets rörelsemängdstäthet , T är den kinetiska energin för "vätskan", U är den slumpmässiga "termiska" energin för partiklarna, W ^E och W ^M är den elektriska och magnetiskt energiinnehåll i volymen i fråga. Slutligen p _ik vätsketryckstensorn uttryckt i det lokala rörliga koordinatsystemet

$$p_{ik}=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\ langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m^{\sigma }n^{\sigma },$$

och T _ik är den elektromagnetiska spänningstensorn ,

$$T_{ik}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0} }}\right)\delta _{ik}-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0} }}\höger).$$

En plasmoid är en ändlig konfiguration av magnetfält och plasma. Med virialsatsen är det lätt att se att en sådan konfiguration kommer att expandera om den inte innesluts av yttre krafter. I en ändlig konfiguration utan tryckbärande väggar eller magnetspolar kommer ytintegralen att försvinna. Eftersom alla andra termer på höger sida är positiva, kommer accelerationen av tröghetsmomentet också att vara positiv. Det är också lätt att uppskatta expansionstiden τ . Om en total massa M är begränsad inom en radie R , är tröghetsmomentet ungefär MR ² och den vänstra sidan av virialsatsen är MR ² / τ ² . Termerna på höger sida summerar till ungefär pR3 ^av , där p är det största plasmatrycket eller det magnetiska trycket. Genom att likställa dessa två termer och lösa för τ , finner vi

$$\tau \,\sim {\frac {R}{c_{\mathrm {s} }}},$$

där c _s är hastigheten för den akustiska jonvågen (eller Alfvén-vågen , om det magnetiska trycket är högre än plasmatrycket). Således förväntas livslängden för en plasmoid vara i storleksordningen av den akustiska (eller Alfvén) transittiden.

Relativistiskt enhetligt system

Om i det fysiska systemet tryckfältet, de elektromagnetiska och gravitationsfälten tas med i beräkningen, såväl som fältet för partiklarnas acceleration, skrivs virialsatsen i den relativistiska formen enligt följande:

$$\left\langle W_{k}\right\rangle \approx -0.6\sum _{k=1}^{N }\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,$$

där värdet W _k ≈ γ _c T överstiger den kinetiska energin för partiklarna T med en faktor lika med Lorentzfaktorn γ _c för partiklarna i systemets centrum. Under normala förhållanden kan vi anta att γ _c ≈ 1 , då kan vi se att i virialsatsen är den kinetiska energin relaterad till den potentiella energin inte med koefficienten 1 / 2 , utan snarare med koefficienten nära 0,6. Skillnaden från det klassiska fallet uppstår på grund av att man beaktar tryckfältet och fältet för partiklarnas acceleration inuti systemet, medan derivatan av skalär G inte är lika med noll och bör betraktas som materialderivatan .

En analys av integralsatsen för generaliserad virial gör det möjligt att, på basis av fältteori, hitta en formel för rot-medelkvadrathastigheten för typiska partiklar i ett system utan att använda begreppet temperatur:

$$v_{\mathrm {rms} }=c{\sqrt {1- {\frac {4\pi \eta \rho _{0}r^{2}}{c^{2}\gamma _{c}^{2}\sin ^{2}\left({\frac { r}{c}}{\sqrt {4\pi \eta \rho _{0}}}\right)}}}},$$

där $~c$ är ljusets hastighet, $~\eta$ är accelerationsfältskonstanten, $~\rho _{0}$ är massdensiteten för partiklar, ${\ displaystyle ~r}$ är den aktuella radien.

Till skillnad från virialsatsen för partiklar skrivs virialsatsen för det elektromagnetiska fältet på följande sätt:

$$~E_{kf}+2W_{f}=0,$$

där energin $~E_{kf}=\int A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {- g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}$ betraktad som den kinetiska fältenergin associerad med fyrströms $~j^{\alpha }$ , och

$$~W_{f}={\frac {1}{4\mu _{0}}}\ int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}$$

ställer in den potentiella fältenergin som hittas genom komponenterna i den elektromagnetiska tensorn.

I astrofysik

Den viriala satsen appliceras ofta i astrofysik, särskilt när det gäller gravitationspotentialenergin i ett system till dess kinetiska eller termiska energi . Några vanliga viriala relationer är

$${\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}={\frac {3}{2 }}{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m_{\mathrm {p} }}}={\frac {1}{2}}v^{2}$$

för en massa M , radie R , hastighet v och temperatur T . Konstanterna är Newtons konstant G , Boltzmann-konstanten k _B , och protonmassa m _p . 1/2 ) helt. Observera att dessa relationer endast 3/5 är ungefärliga , och ofta försummas de ledande numeriska faktorerna (t.ex. eller

Galaxer och kosmologi (virial massa och radie)

Huvudartikel: Virial massa

Inom astronomi definieras massan och storleken av en galax (eller allmän överdensitet) ofta i termer av " virial massa" respektive " virial radie ". Eftersom galaxer och överdensiteter i kontinuerliga vätskor kan förlängas kraftigt (även till oändlighet i vissa modeller, såsom en isotermisk sfär ), kan det vara svårt att definiera specifika, ändliga mått på deras massa och storlek. Den viriala satsen och relaterade begrepp ger ett ofta bekvämt sätt att kvantifiera dessa egenskaper.

I galaxdynamik utläser man ofta massan av en galax genom att mäta rotationshastigheten för dess gas och stjärnor, med cirkulära Kepleriska banor . Med hjälp av virialsatsen hastighetsspridningen σ användas på liknande sätt. Om vi ​​tar systemets kinetiska energi (per partikel) som T = 1 / 2 v ² ~ 3 / 2 σ ² och den potentiella energin (per partikel) som U ~ 3 / 5 GM / R kan vi skriva

$${\frac {GM}{R}}\approx \sigma ^{2}.$$

Här är $R$ radien vid vilken hastighetsspridningen mäts, och M är massan inom den radien. Virialmassan och radien definieras generellt för den radie vid vilken hastighetsspridningen är maximal, dvs.

$${\frac {GM_{\text{vir}}}{R_{\text{vir}}}}\approx \sigma _{\max }^{2}.$$

Eftersom många approximationer har gjorts, utöver den ungefärliga karaktären hos dessa definitioner, utelämnas ofta proportionalitetskonstanter för ordningsenhet (som i ovanstående ekvationer). Dessa relationer är alltså endast korrekta i en storleksordning eller när de används på ett konsekvent sätt.

En alternativ definition av den viriala massan och radien används ofta i kosmologi där den används för att hänvisa till radien av en sfär, centrerad på en galax eller en galaxkluster , inom vilken virial jämvikt råder. Eftersom denna radie är svår att bestämma observationsmässigt, approximeras den ofta som den radie inom vilken medeldensiteten är större, med en specificerad faktor, än den kritiska densiteten

$$\rho _{\text{crit}}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}$$

där H är Hubble - parametern och G är gravitationskonstanten . Ett vanligt val för faktorn är 200, vilket ungefär motsvarar den typiska överdensiteten vid sfärisk topphattskollaps (se Virial massa ), i vilket fall den viriala radien approximeras som

$$r_{\text{vir}}\approx r_{200}=r,\qquad \rho =200\cdot \rho _{\text{crit}}.$$

Virialmassan definieras sedan relativt denna radie som

$$M_{\text{vir}}\approx M_{200}={\frac {4}{3}}\pi r_{200}^{3}\cdot 200\rho _{\text{crit} }.$$

Stjärnor

Virialsatsen är applicerbar på stjärnornas kärnor, genom att etablera ett samband mellan gravitationell potentiell energi och termisk kinetisk energi (dvs. temperatur). När stjärnor i huvudsekvensen omvandlar väte till helium i sina kärnor, ökar kärnans medelmolekylvikt och den måste dra ihop sig för att upprätthålla tillräckligt tryck för att bära upp sin egen vikt. Denna sammandragning minskar dess potentiella energi och, enligt virialsatsen, ökar dess termiska energi. Kärntemperaturen ökar även när energi går förlorad, i praktiken en negativ specifik värme . Detta fortsätter bortom huvudsekvensen, såvida inte kärnan blir degenererad eftersom det gör att trycket blir oberoende av temperatur och den viriala relationen med n är lika med −1 inte längre håller.

Se även

• Viriell koefficient
• Viriell stress
• Viriell massa
• Chandrasekhar tensor
• Chandrasekhar virial ekvationer
• Derricks teorem
• Ekvidelningssats
• Ehrenfest-satsen
• Pokhozhaevs identitet

Vidare läsning

•   Goldstein, H. (1980). Klassisk mekanik (2:a uppl.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-02918-5 .
•   Collins, GW (1978). The Virial Theorem in Stellar Astrophysics . Pachart Press. Bibcode : 1978vtsa.book.....C . ISBN 978-0-912918-13-6 .

externa länkar

• The Virial Theorem på MathPages
• Gravitationssammandragning och stjärnbildning, Georgia State University