Vanlig p -grupp

I matematisk finita gruppteori fångar begreppet regelbunden p -grupp några av de viktigare egenskaperna hos abelska p -grupper , men är tillräckligt allmänt för att inkludera de flesta "små" p -grupper. Regelbundna p -grupper introducerades av Phillip Hall ( 1934) .

Definition

En finit p -grupp G sägs vara regelbunden om något av följande ekvivalenta ( Hall 1959 , kap. 12.4), ( Huppert 1967 , Kap. III §10) villkor är uppfyllda:

• För varje a , b i G finns det ett c i den härledda undergruppen H ′ av undergruppen H av G genererad av ^a och b , så att a ^p · b ^p = ( ab ) ^p · cp .
• För varje a , b i G , finns det element c _i i den härledda undergruppen av undergruppen som genereras av a och b , så att a ^p · b ^p = ( ab ) ^p · c ₁ ^p ⋯ c _k ^p .
• För varje a , b i G och varje positivt heltal n , finns det element ci _i den härledda undergruppen av undergruppen som genereras av a och b så att a ^q · b ^q = ( ab ) ^q · c ₁ ^q ⋯ c _k ^q där q = pn . ^_

Exempel

Många välbekanta p -grupper är regelbundna:

• Varje abelsk p -grupp är regelbunden.
• Varje p -grupp av nilpotensklass strikt mindre än p är regelbunden. Detta följer av Hall–Petresco-identiteten .
• Varje p -grupp av ordning högst p ^p är regelbunden.
• Varje finit grupp av exponent p är regelbunden.

Men många välbekanta p -grupper är inte vanliga:

• Varje icke-abelisk 2-grupp är oregelbunden.
• Sylow +1 p -undergruppen i den ^{p symmetriska} gruppen på p ² punkter är oregelbunden och av ordningen p .

Egenskaper

En p -grupp är regelbunden om och endast om varje undergrupp som genereras av två element är regelbunden.

Varje undergrupp och kvotgrupp i en vanlig grupp är regelbunden, men den direkta produkten av vanliga grupper behöver inte vara regelbunden.

En 2-grupp är regelbunden om och bara om den är abelsk. En 3-grupp med två generatorer är regelbunden om och endast om dess härledda undergrupp är cyklisk . Varje p -grupp av udda ordning med cykliskt härledd undergrupp är regelbunden.

Undergruppen av en p -grupp G som genereras av elementen för ordningsdelning pk betecknas _{ordningsdelning} Ωk ( G ) och reguljära grupper är väluppförda genom att Ωk ₍ G ) ^är exakt uppsättningen av element av pk ^. Undergruppen som genereras av alla pk ^- te potenser av element i G betecknas ℧ _k ( G ) . I en vanlig grupp indexet [G:℧ _k ( G )] lika med storleksordningen Ω _k ( G ). Faktum är att kommutatorer och krafter samverkar på särskilt enkla sätt ( Huppert 1967 , Kap III §10, Satz 10.8). Till exempel, givet normala undergrupper M och N i en vanlig p -grupp G och icke-negativa heltal m och n , har man [℧ _m ( M ),℧ _n ( N )] = ℧ _{m + n} ([ M , N ]) .

• Philip Halls kriterier för regelbundenhet för en p -grupp G : G är regelbunden, om något av följande gäller:
  1. [ G :℧ ₁ ( G )] < p ^sid
  2. [ G ′:℧ ₁ ( G′ )| < p ^{p -1}
  3. |Ω ₁ ( G )| < p ^{p -1}

Generaliseringar

• Kraftfull p-grupp
• effekt sluten p -grupp

•   Hall, Marshall (1959), Theory of groups , Macmillan, MR 0103215
• Hall, Philip (1934), "A bidrag till teorin om grupper av prime-power order", Proceedings of the London Mathematical Society , 36 : 29–95, doi : 10.1112/plms/s2-36.1.29
•     Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (på tyska), Berlin, New York: Springer-Verlag , s. 90–93, ISBN 978-3-540-03825-2 , MR 0224703 , OCLC 527050