Kraftfull p -grupp

Inom matematiken , inom gruppteorin , särskilt i studiet av p -grupper och pro- p -grupper , spelar begreppet kraftfulla p -grupper en viktig roll. De introducerades i ( Lubotzky & Mann 1987 ), där ett antal tillämpningar ges, inklusive resultat på Schur-multiplikatorer . Kraftfulla p -grupper används i studiet av automorfismer av p -grupper ( Khukhro 1998 ), lösningen av det begränsade Burnside-problemet ( Vaughan-Lee 1993) , klassificeringen av finita p -grupper via samklassförmodningarna ( Leedham-Green & McKay 2002 ), och gav en utmärkt metod för att förstå analytiska pro- p -grupper ( Dixon et al. 1991) .

Formell definition

En finit p -grupp $G$ kallas kraftfull om kommutatorundergruppen $[G,G]$ ingår i undergruppen $G^{p}=\langle g^{p}|g\in G\rangle$ för udda $p$ , eller om $[G, G]$ ingår i undergruppen $G^{4}$ för $p=2$ .

Egenskaper för kraftfulla p -grupper

Kraftfulla p -grupper har många egenskaper som liknar abelska grupper , och ger därmed en bra grund för att studera p -grupper. Varje finit p -grupp kan uttryckas som en sektion av en kraftfull p -grupp.

Kraftfulla p -grupper är också användbara vid studiet av prop - grupper eftersom det ger ett enkelt sätt att karakterisera p -adiska analytiska grupper (grupper som är mångfaldiga över p -adictalen): En ändligt genererad propgrupp är p -adic analytic om och bara om den innehåller en öppen normal undergrupp som är kraftfull: detta är ett specialfall av ett djupt resultat av Michel Lazard (1965).

Några egenskaper som liknar abelska p -grupper är: om $G$ är en kraftfull p -grupp då:

• Frattini -undergruppen $\Phi (G)$ av $G$ har egenskapen $\Phi (G)=G^{p}.$
• $G^{p^{k}}=\{g^{p^{k}}|g\in G\}$ för alla $k\geq 1.$ Det vill säga, gruppen som genereras av ${\displaystyle p}:$ te potenser är exakt uppsättningen av ${\displaystyle p}:$ te potenser.
• Om $G=\langle g_{1},\ldots ,g_{d}\rangle$ så är ${\displaystyle G^{p^{k}}=\langle g_{1}^{p^{k}},\ldots ,g_{d}^{p^{k}}\rangle } för$ alla $k\geq 1.$
• K ${\displaystyle k}:$ e posten i den nedre centrala serien av $G$ har egenskapen $\leq G ^{p^{k-1}}}$ för alla $k\geq 1.$
• Varje kvotgrupp i en kraftfull p -grupp är kraftfull.
• Prüfer -rankningen för $G$ är lika med det minimala antalet generatorer för $G.$

Några mindre abeliska egenskaper är: om $G$ är en kraftfull p -grupp då:

• $G^{p^{k}}$ är kraftfull.
• Undergrupper av $G$ är inte nödvändigtvis kraftfulla.

• Lazard, Michel (1965), Groupes analytiques p-adiques, Publ. Matematik. IHES 26 (1965), 389–603.
•    Dixon, JD; du Sautoy, MPF ; Mann, A.; Segal, D. (1991), Analytic pro-p-groups , Cambridge University Press , ISBN 0-521-39580-1 , MR 1152800
•    Khukhro, EI (1998), p-automorphisms of finite p-groups , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511526008 , ISBN 0-521-59717-X , MR 1615819
•    Leedham-Green, CR ; McKay, Susan (2002), The structure of groups of prime power order , London Mathematical Society Monographs. Ny serie, vol. 27, Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853548-5 , MR 1918951
•   Lubotzky, Alexander ; Mann, Avinoam (1987), "Powerful p-groups. I. Finite Groups", J. Algebra , 105 (2): 484-505, doi : 10.1016/0021-8693(87)90211-0 , MR 0873681
•    Vaughan-Lee, Michael (1993), The restricted Burnside problem (2nd ed.), Oxford University Press , ISBN 0-19-853786-7 , MR 1364414