Reinhardt kardinal

I mängdlära , en gren av matematiken, är en Reinhardt-kardinal en sorts stor kardinal . Reinhardt-kardinaler anses under ZF ( Zermelo–Fraenkel-mängdläran utan valets axiom ), eftersom de är oförenliga med ZFC (ZF med valets axiom). De föreslogs (Reinhardt 1967 , 1974 ) av den amerikanske matematikern William Nelson Reinhardt (1939–1998).

Definition

En Reinhardt-kardinal är den kritiska punkten för en icke-trivial elementär inbäddning av $j:V\to V$ av $V$ i sig själv.

Denna definition hänvisar uttryckligen till den korrekta klassen $j$ . I standard ZF har klasserna formen $\{x|\phi (x,a)\}$ för vissa ange $a$ och formeln $\phi$ . Men det visades i Suzuki ( 1999 ) att ingen sådan klass är en elementär inbäddning $j:V\to V$ . Så Reinhardts kardinaler är oförenliga med denna uppfattning om klass.

Det finns andra formuleringar av Reinhardt-kardinaler som inte är kända för att vara inkonsekventa. En är att lägga till en ny funktionssymbol $j$ till ZF-språket, tillsammans med axiom som anger att $j$ är en elementär inbäddning av $V$ , och Separation and Collection axiom för alla formler som involverar $j$ . En annan är att använda en klassteori som NBG eller KM , som tillåter klasser som inte behöver vara definierbara enligt ovan.

Kunens inkonsekvenssats

Kunen ( 1971 ) bevisade sin inkonsekvenssats och visade att förekomsten av en elementär inbäddning $j:V\to V$ motsäger NBG med valets axiom (och ZFC utökat med $j$ ). Hans bevis använder valets axiom, och det är fortfarande en öppen fråga om en sådan inbäddning är förenlig med NBG utan valets axiom (eller med ZF plus den extra symbolen j {\displaystyle j} och dess åtföljande $)$ .

Kunens teorem är inte bara en konsekvens av Suzuki ( 1999 ), eftersom den är en konsekvens av NBG, och kräver därför inte antagandet att $j$ är en definierbar klass. Om vi ​​antar att $0^{\#}$ existerar, så finns det en elementär inbäddning av en transitiv modell $M$ av ZFC (i själva verket Goedels konstruerbara universum ${\displaystyle L} )$ i sig själv. Men sådana inbäddningar är inte klasser av $M$ .

Starkare axiom

Det finns några varianter av Reinhardts kardinaler, som bildar en hierarki av hypoteser som hävdar existensen av elementära inbäddningar $V\to V$ .

En super Reinhardt-kardinal är $\kappa$ så att för varje ordinär $\alpha$ finns en elementär inbäddning $j:V\to V$ med $j(\kappa )>\alpha$ och har kritisk punkt $\kappa$ .

J3: Det finns en icke-trivial elementär inbäddning $j:V\to V$ J2: Det finns en icke-trivial elementär inbäddning $j:V\to V$ och DC _{${ \displaystyle \lambda }$} gäller, där $\lambda$ är den minsta fasta punkten ovanför den kritiska punkten. J1: För varje ordinal $\alpha$ finns en elementär inbäddning $j:V\to V$ med $j(\kappa )>\ alpha$ och har kritisk punkt $\kappa$ .

Var och en av J1 och J2 innebär omedelbart J3. En kardinal $\kappa$ som i J1 är känd som en super Reinhardt kardinal.

Berkeley-kardinaler är starkare stora kardinaler som Woodin föreslagit .

Se även

• Lista över stora kardinalegenskaper

•     Jensen, Ronald (1995), "Inre modeller och stora kardinaler", The Bulletin of Symbolic Logic , The Bulletin of Symbolic Logic, Vol. 1, nr 4, 1 (4): 393–407, CiteSeerX 10.1.1.28.1790 , doi : 10.2307/421129 , JSTOR 421129 , S2CID 15714648
•   Kanamori, Akihiro (2003), The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (2nd ed.), Springer, ISBN 3-540-00384-3
•     Kunen, Kenneth (1971), "Elementary inbäddningar och infinitary combinatorics", Journal of Symbolic Logic , The Journal of Symbolic Logic, Vol. 36, nr 3, 36 (3): 407–413, doi : 10.2307/2269948 , JSTOR 2269948 , MR 0311478 , S2CID 38948969
• Reinhardt, WN (1967), Ämnen i mängdlärans metamathematics , Doktorsavhandling, University of California, Berkeley
•   Reinhardt, WN (1974), "Anmärkningar om reflektionsprinciper, stora kardinaler och elementära inbäddningar.", Axiomatic set theory , Proc. Sympos. Pure Math., vol. XIII, del II, Providence, RI: Amer. Matematik. Soc., s. 189–205, MR 0401475
•     Suzuki, Akira (1999), "Ingen elementär inbäddning från V till V är definierbar från parametrar", Journal of Symbolic Logic , 64 (4): 1591–1594, doi : 10.2307/2586799 , JSTOR 2586799 , MR 7 69 , S20C 178 , 607 178 , S207 179

externa länkar

• Koellner, Peter (2014), The Search for Deep Inconsistency (PDF)