Kritisk punkt (mängdlära)

I mängdteorin är den kritiska punkten för en elementär inbäddning av en transitiv klass i en annan transitiv klass den minsta ordinalen som inte är mappad till sig själv.

Antag att $j:N\to M$ är en elementär inbäddning där $N$ och $M$ är transitiva klasser och $j$ är definierbar i ${ \displaystyle N}$ med en formel för mängdteori med parametrar från $\displaystyle N}$ . Då $j$ ta ordinaler till ordinaler och $j$ måste vara strikt ökande. Även $j(\omega )=\omega$ . Om $j(\alpha )=\alpha$ för alla $\alpha <\kappa$ och $j(\kappa )>\ kappa$ , då sägs ${\displaystyle \kappa } vara den kritiska punkten för$$j$ .

Om $N$ är V , så är $\kappa$ (den kritiska punkten för $j$ ) alltid en mätbar kardinal , dvs ett oräkneligt kardinaltal κ ​​så att det finns en ${\ displaystyle \kappa }$ -komplett, icke-principiellt ultrafilter över $\kappa$ . Specifikt kan man ta filtret till att vara $\{A\mid A\subseteq \kappa \land \kappa \in j(A)\}$ . I allmänhet kommer det att finnas många andra < κ -kompletta, icke-principala ultrafilter över $\kappa$ . Däremot $j$ skilja sig från den eller de ultraeffekter som uppstår från sådana filter.

Om $N$ och $M$ är samma och $j$ är identitetsfunktionen på $N$ , då kallas ${\displaystyle j} "trivial".$ Om den transitiva klassen $N$ är en inre modell av ZFC och $j$ inte har någon kritisk punkt, dvs varje ordinal mappar till sig själv, så är $j$ trivial.