Tschirnhaus förvandling

Ehrenfried Walther von Tschirnhaus

Inom matematiken är en Tschirnhaus-transformation , även känd som Tschirnhausen-transformation , en typ av kartläggning av polynom som utvecklades av Ehrenfried Walther von Tschirnhaus 1683.

Det är helt enkelt en metod för att transformera en polynomekvation av grad $n\geq 2$ med några mellanliggande koefficienter som inte är noll, $a_{1},...,a_{n-1}$ , så att några eller alla av de transformerade mellankoefficienterna, ${\displaystyle a'_{1},...,a'_{n-1}} ,$ är exakt noll.

Till exempel att hitta ett substitut

y(x)=k_{1}x^{2}+k_{2}x+k_{3}

för en kubisk ekvation av grad

n=3

,

f(x)=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{ 0}

så att substituering av

x=x(y)

ger en ny ekvation

f'(y)=y^{3}+a'_{2}y^{2}+a '_{1}y+a'_{0}

så att

a'_{1}=0

,

a'_{2}=0

, eller båda.

Mer allmänt kan det definieras bekvämt med hjälp av fältteori , som omvandlingen på minimala polynom som antyds av ett annat val av primitivt element . Detta är den mest allmänna omvandlingen av ett irreducerbart polynom som tar rot till någon rationell funktion applicerad på den roten.

Definition

För en generisk $n^{th}$ grads reducerbar monisk polynomekvation $f(x)=0$ av formen $f(x)=g(x)/h(x)$ , där $g(x)$ och $h(x)$ är polynom och $h(x)$ försvinner inte vid $f(x)=0$ ,

f(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+.. .+a_{n-1}x+a_{n}=0

Tschirnhaus-transformationen är funktionen:

y=k_{1}x^{n-1}+k_{2}x^{n-2}+...+k_{n-1}x+ k_{n}

Sådan att den nya ekvationen i

y

,

f'(y)

, har vissa speciella egenskaper, oftast sådana att vissa koefficienter,

{\displaystyle a'_{1},...,a'_{n-1}} ,

är identiskt noll .

Exempel: Tschirnhaus metod för kubiska ekvationer

I Tschirnhaus tidning från 1683 löste han ekvationen

f(x)=x^{3}-px^{2}+qx-r=0

med hjälp av Tschirnhaus-transformationen

y(x;a)=xa\longleftrightarrow x(y;a)=x=y+a.

Substituering ger den transformerade ekvationen

f'(y;a)=y^{3}+(3a-p)y^{2}+(3a^{2}-2pa+q)y+(a^{3}-pa^{2}+ qa-r)=0

eller

{\begin{cases}a'_{1}=3a-p\\a'_{2}=3a^{2}-2pa+q\\a'_{3}=a^{3 }-pa^{2}+qa-r\end{cases}}.

Att ställa in

a'_{1}=0

ger,

3a-p=0\högerpil a={\frac {p}{3}}

och slutligen Tschirnhaus-förvandlingen

y=x+{\frac {p}{3}},

Som kan ersättas med

f'(y;a)

för att ge en ekvation av formen:

f'(y)=y^{3}-q'y-r'.

Tschirnhaus fortsatte med att beskriva hur en Tschirnhaus-transformation av formen:

x^{2}(y;a,b)=x^{2}=bx+y+a

kan användas för att eliminera två koefficienter på liknande sätt.

Generalisering

I detalj, låt $K$ vara ett fält och $P(t)$ ett polynom över $K$ . Om $P$ är irreducerbar, då kvotringen för polynomringen $K[t]$ av huvudidealet genererat av $P$ ,

K[t]/(P(t))=L

,

är en fältförlängning av $K$ . Vi har

L=K(\alpha )

där $\alpha$ är $t$ modulo $(P)$ . Det vill säga, vilket element som helst av $L$ är ett polynom i $\alpha$ , som alltså är ett primitivt element av $L$ . Det kommer att finnas andra val $\beta$ av primitiva element i $L$ : för varje sådant val av $\beta$ kommer vi att ha per definition:

\beta =F(\alpha ),\alpha =G(\beta )

,

med polynom $F$ och $G$ över $K$ . Om nu $Q$ är det minimala polynomet för $\beta$ över $K$ , kan vi kalla $Q$ en Tschirnhaus-transformation av $P$ .

Därför ska mängden av alla Tschirnhaus-transformationer av ett irreducerbart polynom beskrivas som att det går över alla sätt att ändra ${\displaystyle P} ,$ men lämnar $L$ detsamma. Detta koncept används för att reducera quintics till Bring-Jerrard-form , till exempel. Det finns ett samband med Galois teori , när $L$ är en Galois förlängning av $K$ . Galois -gruppen kan då betraktas som alla Tschirnhaus-transformationer av $P$ till sig själv.

Historia

År 1683 publicerade Ehrenfried Walther von Tschirnhaus en metod för att skriva om ett polynom av grad $n>2$ så att $x^{n-1}$ och $x^{n-2}$ termer har nollkoefficienter.

I sin artikel hänvisade Tschirnhaus till en metod av Descartes för att reducera ett kvadratiskt polynom $(n=2)$ så att termen $x$ har nollkoefficient.

År 1786 utökades detta arbete av ES Bring som visade att vilket generiskt kvintpolynom som helst kunde reduceras på liknande sätt.

År 1834 utökade GB Jerrard Tschirnhaus arbete ytterligare genom att visa att en Tschirnhaus-transformation kan användas för att eliminera ${\displaystyle x^{n-1}} ,$ x $\displaystyle x^{n-2 }}$ , och $x^{n-3}$ för ett allmänt polynom med grad $n>3$ .

Se även