Ta med radikal

Handling av Bring radikalen för riktiga argument

  I algebra är Bring -radikalen eller ultraradikalen av ett reellt tal a den unika reella roten av polynomet

$$x^{5}+x+a.$$

Bring-radikalen för ett komplext tal a är antingen någon av de fem rötterna i ovanstående polynom (det är alltså flervärdigt ), eller en specifik rot, som vanligtvis väljs så att Bring-radikalen är reellt värderad för reell a och är en analytisk funktion i närheten av den verkliga linjen. På grund av existensen av fyra grenpunkter kan Bring-radikalen inte definieras som en funktion som är kontinuerlig över hela det komplexa planet , och dess kontinuitetsdomän måste utesluta fyra grensnitt .

George Jerrard visade att vissa kvintiska ekvationer kan lösas i sluten form med hjälp av radikaler och Bring radikaler, som hade införts av Erland Bring .

betecknas Bring-radikalen för a $\operatorname {BR} (a).$ För verkligt argument är det udda, monotont minskande och obegränsat, med asymptotiskt beteende $\operatorname {BR} ( a)\sim -a^{1/5}$ för stor $a$ .

Normala former

Den kvintiska ekvationen är ganska svår att få lösningar för direkt, med fem oberoende koefficienter i sin mest allmänna form:

$$x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x ^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0.$$

De olika metoderna för att lösa quinticen som har utvecklats försöker generellt förenkla quinticen med hjälp av Tschirnhaus-transformationer för att minska antalet oberoende koefficienter.

Huvudsaklig kvintisk form

Den allmänna quinticen kan reduceras till vad som är känd som den huvudsakliga quintic-formen , med kvarts- och kubiska termer borttagna:

$$y^{5}+c_{2}y^{2}+c_{1}y+c_{0}=0\,$$

Om rötterna till en allmän kvintik och en huvudkvintik är relaterade genom en kvadratisk Tschirnhaus-transformation

$$y_{k}=x_{k}^{2}+\alpha x_{k}+\beta \,,$$

koefficienterna α och β kan bestämmas genom att använda resultanten , eller med hjälp av kraftsummorna av rötterna och Newtons identiteter . Detta leder till ett ekvationssystem i α och β som består av en kvadratisk och en linjär ekvation, och endera av de två uppsättningarna av lösningar kan användas för att erhålla motsvarande tre koefficienter för den huvudsakliga kvintformen.

Denna form används av Felix Kleins lösning på quintic.

Bring–Jerrard normal form

Det är möjligt att förenkla kvintiken ytterligare och eliminera den kvadratiska termen, vilket ger normalformen Bring–Jerrard :

$$v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0.$$

Att använda formlerna för potenssumma igen med en kubisk transformation som Tschirnhaus försökte fungerar inte, eftersom det resulterande ekvationssystemet resulterar i en sjättegradsekvation. Men 1796 Bring en väg runt detta genom att använda en kvarts Tschirnhaus-transformation för att relatera rötterna till en huvudsaklig kvintik till en Bring–Jerrard-kvintiker:

$$v_{k}=y_{k}^{4}+\alpha y_{k}^{3}+\beta y_{k}^{2}+\gamma y_{k}+\delta \, .$$

Den extra parametern som denna fjärde ordningens transformation ger tillät Bring att minska graderna för de andra parametrarna. Detta leder till ett system med fem ekvationer i sex okända, som sedan kräver lösningen av en kubik- och en andragradsekvation. Denna metod upptäcktes också av Jerrard 1852, men det är troligt att han inte var medveten om Brings tidigare arbete på detta område. Den fullständiga transformationen kan enkelt åstadkommas med hjälp av ett datoralgebrapaket som Mathematica eller Maple . Som man kan förvänta sig av komplexiteten i dessa transformationer, kan de resulterande uttrycken vara enorma, särskilt jämfört med lösningarna i radikaler för lägre gradsekvationer, som tar många megabyte lagringsutrymme för en allmän kvint med symboliska koefficienter.

Betraktas som en algebraisk funktion, lösningarna till

$$v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0$$

₀ involvera två variabler, d ₁ och d ; dock är reduktionen faktiskt till en algebraisk funktion av en variabel, mycket analog med en lösning i radikaler, eftersom vi kan reducera Bring-Jerrard-formen ytterligare. Om vi ​​till exempel ställer in

$$z={v \over {\sqrt[{4}]{-d_{1}}}}$$

sedan reducerar vi ekvationen till formen

$$z^{5}-z+a=0\,,$$

som involverar z som en algebraisk funktion av en enda variabel $a$ , där $a=d_{0}(-d_{1})^{- 5/4}$ . Denna form krävs av Hermite–Kronecker–Brioschi-metoden, Glassers metod och Cockle–Harley-metoden för differentiella upplösningsmedel som beskrivs nedan.

En alternativ form erhålls genom att ställa in $u={v \over {\sqrt[{4}]{d_{1}}}}$ så att ${ \displaystyle u^{5}+u+b=0\,,}$ där $b=d_{0}(d_{1})^{-5/4 }$ . Detta formulär används för att definiera Bring-radikalen nedan.

Brioschi normal form

Det finns en annan enparameters normalform för den kvintiska ekvationen, känd som Brioschi normalform

$$w^{5}-10Cw^{3}+45C^{2}wC^{2}=0,$$

som kan härledas genom att använda den rationella Tschirnhaus-transformationen

$$w_{k}={\frac {\lambda +\mu x_{k}}{{\frac {x_{k}^{2}} {C}}-3}}$$

att relatera rötterna till en allmän quintic till en Brioschi quintic. Värdena för parametrarna $\lambda$ och $\mu$ kan härledas genom att använda polyedriska funktioner på Riemann-sfären och är relaterade till uppdelningen av ett objekt med icosahedrisk symmetri i fem objekt med tetraedrisk symmetri .

Denna Tschirnhaus-förvandling är ganska enklare än den svåra som används för att förvandla en huvudsaklig quintic till Bring-Jerrard-form. Denna normala form används av Doyle–McMullen iterationsmetoden och Kiepert-metoden.

Serierepresentation

En Taylor-serie för Bring radikaler, såväl som en representation i termer av hypergeometriska funktioner kan härledas enligt följande. Ekvationen $x^{5}+x+a=0$ kan skrivas om till $x^{5}+x=-a.$ Genom att ställa in $f(x)=x^{5}+x,$ är den önskade lösningen $x=f^{-1}(-a)=-f^{-1}(a)$ eftersom $f(x)$ är udda.

Serien för $f^{-1}$ kan sedan erhållas genom reversion av Taylor-serien för $f(x)$ (som helt enkelt är $x+x^{5}$ ), ger

$$\operatorname {BR} (a)=-f^{-1}(a)=\summa _{k=0}^{\infty }{\binom { 5k}{k}}{\frac {(-1)^{k+1}a^{4k+1}}{4k+1}}=-a+a^{5}-5a^{9}+ 35a^{13}-285a^{17}+\cdots ,$$

där koefficienternas absoluta värden bildar sekvens A002294 i OEIS . Konvergensradien för serien är $4/(5\cdot {\sqrt[{4}]{5}})\approx 0,53499.$

I hypergeometrisk form kan Bring-radikalen skrivas som

$$\operatorname {BR} (a)=-a\,\,_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}} ,{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5 }{4}};-5\left({\frac {5a}{4}}\right)^{4}\right).$$

Det kan vara intressant att jämföra med de hypergeometriska funktioner som uppstår nedan i Glassers härledning och metoden för differentialupplösningsmedel.

Lösning av den allmänna quintic

Rötterna till polynomet

$$x^{5}+px+q$$

kan uttryckas i termer av Bring radikalen som

$${\sqrt[{4}]{p}}\,\operatörsnamn {BR} \left(p^{-{\frac {5}{4}} }q\right)$$

och dess fyra konjugat . Problemet är nu reducerat till Bring-Jerrard-formen i termer av lösbara polynomekvationer, och genom att använda transformationer som involverar polynomuttryck i rötterna endast upp till fjärde graden, vilket innebär att invertering av transformationen kan göras genom att hitta rötterna av ett polynom som är lösbart i radikaler. Denna procedur ger främmande lösningar, men när de korrekta har hittats med numeriska medel kan kvintikens rötter skrivas i termer av kvadratrötter, kubrötter och Bring radikalen, som därför är en algebraisk lösning i termer av algebraisk funktioner (definierade brett för att inkludera Bring radikaler) av en enda variabel — en algebraisk lösning av den allmänna quinticen.

Andra karaktäriseringar

Många andra karakteriseringar av Bring-radikalen har utvecklats, varav den första är i termer av "elliptiska transcendenter" (relaterade till elliptiska och modulära funktioner) av Charles Hermite 1858, och ytterligare metoder som senare utvecklades av andra matematiker.

Karakteriseringen Hermite–Kronecker–Brioschi

1858 publicerade Charles Hermite den första kända lösningen på den allmänna kvintiska ekvationen i termer av "elliptiska transcendenter", och ungefär samtidigt kom Francesco Brioschi och Leopold Kronecker på likvärdiga lösningar. Hermite kom fram till denna lösning genom att generalisera den välkända lösningen till kubikekvationen i termer av trigonometriska funktioner och hittar lösningen till en kvintik i Bring–Jerrard-form:

$$x^{5}-x+a=0$$

till vilken varje kvintisk ekvation kan reduceras med hjälp av Tschirnhaus-transformationer som har visats. Han observerade att elliptiska funktioner hade en analog roll att spela i lösningen av Bring-Jerrard-kvintiken som de trigonometriska funktionerna hade för kubiken. För $K$ och $K',$ skriv dem som de fullständiga elliptiska integralerna av det första slaget :

$$K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\ varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}$$

$$K'(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k'^{2}\sin ^{2}\varphi }}}$$

var

$$k^{2}+k'^{2}=1.$$

Definiera de två "elliptiska transcendenterna":

$$\varphi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty }\tanh {\frac {(2j-1)\pi i}{2 \tau }}={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {1+e^{2j\pi i\ tau }}{1+e^{(2j-1)\pi i\tau }}},\quad \operatörsnamn {Im} \tau >0$$

$$\psi (\tau )=\prod _{j=1}^{\infty } \tanh {\frac {(1-2j)\pi i\tau }{2}},\quad \operatörsnamn {Im} \tau >0$$

De kan definieras på samma sätt av oändliga serier:

$$\varphi (\tau )={\sqrt {2}}e^{\pi i\tau /8}{\frac {\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{(2j^{2}+j)\ pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} }e^{j^{2}\pi i\tau }}},\quad \operatorname {Im} \tau >0$$

$$\psi (\tau )={\frac { \sum _{j\in \mathbb {Z} }(-1)^{j}e^{2j^{2}\pi i\tau }}{\sum _{j\in \mathbb {Z} } e^{j^{2}\pi i\tau }}},\quad \operatörsnamn {Im} \tau >0$$

Om n är ett primtal kan vi definiera två värden $u$ och $v$ enligt följande:

$$u=\varphi (n\tau )$$

och

$$v=\varphi (\tau )$$

När n är ett udda primtal, är parametrarna $u$ och $v$ länkade med en ekvation av grad n + 1 i $u$ , ${\ displaystyle \Omega _{n}(u,v)=0}$ , känd som den modulära ekvationen , vars n + 1 rötter i $u$ ges av:

$$u=\varphi (n\tau )$$

och

$$u=\varepsilon (n)\varphi \left({\frac {\tau +16m}{n}}\right)$$

där $\varepsilon (n)$ är 1 eller −1 beroende på om 2 är en kvadratisk restmodulo n respektive inte, och $m\in \{0,1,\ldots ,n-1\}$ . För n = 5 har vi den modulära ekvationen:

$$\Omega _{5}( u,v)=0\iff u^{6}-v^{6}+5u^{2}v^{2}(u^{2}-v^{2})+4uv(1-u^ {4}v^{4})=0$$

med sex rötter i $u$ som visas ovan.

Modulekvationen med n = 5 kan relateras till Bring–Jerrard-kvintiken genom följande funktion av modulekvationens sex rötter (I Hermites Sur la théorie des equations modulaires et la résolution de l'équation du cinquième degré , den första faktorn är felaktigt angiven som ${\displaystyle [\varphi (5\tau )+\varphi (\tau /5)]} )$ :

$$\Phi (\tau )=\left[-\varphi (5\tau )-\varphi \left({\frac {\tau }{5}}\right)\right]\left[ \varphi \left({\frac {\tau +16}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +64}{5}}\right)\right]\left[\ varphi \left({\frac {\tau +32}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\tau +48}{5}}\right)\right]$$

Alternativt formeln

$$\Phi (\tau )=2{\sqrt {10}}e^{3\pi i \tau /40}(1+e^{\pi i\tau /5}-e^{2\pi i\tau /5}+e^{3\pi i\tau /5}-8e^{\ pi i\tau }-9e^{6\pi i\tau /5}+8e^{7\pi i\tau /5}-9e^{8\pi i\tau /5}+\cdots )$$

är användbar för numerisk utvärdering av $\Phi (\tau )$ . Enligt Hermite är koefficienten för $e^{n\pi i\tau /5}$ i expansionen noll för varje $n\ ekv. 4\,(\operatörsnamn {mod} 5)$ .

De fem kvantiteterna $\Phi (\tau )$ , $\Phi (\tau +16)$ , $\Phi (\ tau +32)$ , $\Phi (\tau +48)$ , $\Phi (\tau +64)$ är rötterna till en kvintisk ekvation med rationella koefficienter i $\varphi (\tau )$ :

$${\5displaystyle \-Phi ^{0} \varphi ^{4}(\tau )\psi ^{16}(\tau )\Phi -64{\sqrt {5^{5}}}\varphi ^{3}(\tau )\psi ^{16 }(\tau )\left[1+\varphi ^{8}(\tau )\right]=0}$$

som lätt kan omvandlas till Bring-Jerrard-formen genom substitution:

$$\Phi =2{\sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau ) x$$

leder till Bring-Jerrard-kvintiken:

$$x^{5}-x+a=0$$

var

$$a=-{\frac {2[1+\varphi ^{8}(\tau ) ]}{{\sqrt[{4}]{5^{5}}}\varphi ^{2}(\tau )\psi ^{4}(\tau )}}$$

 

 

 

 

()

Hermite–Kronecker–Brioschi-metoden går sedan ut på att hitta ett värde för $\tau$ som motsvarar värdet på ${\displaystyle a} ,$ och sedan använda värdet på $\tau$ för att få rötter av motsvarande modulära ekvation. Vi kan använda rotsökningsalgoritmer för att hitta $\tau$ från ekvationen (*) (dvs. beräkna en partiell invers av $a$ ).

Rötterna till Bring-Jerrard quintic ges sedan av:

$$x_{r}={\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{\sqrt[{ 4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}$$

för $r=0,\ldots ,4$ .

Ett alternativt, "integrerat", tillvägagångssätt är följande:

Betrakta $x^{5}-x+a=0$ där $a\in \mathbb {C} \setminus \{0\}.$ Sedan

$$\tau =i{\frac {K'(k)}{K(k)}}$$

är en lösning av

$$a=s{\frac {2[1+\varphi ^{8}(\tau ) ]}{{\sqrt[{4}]{5^{5}}}\varphi ^{2}(\tau )\psi ^{4}(\tau )}}$$

var

$$s={\begin{cases}-\operatörsnamn {sgn} \operatörsnamn {Im} a&{\ text{ if }}\operatörsnamn {Re} a=0\\\operatörsnamn {sgn} \operatörsnamn {Re} a&{\text{ if }}\operatörsnamn {Re} a\neq 0,\end{cases}}$$

$$k^{4}+A^{2}k^{3}+2k^{2}-A^{2} k+1=0,$$

 

 

 

 

()

$$A={\frac {a{\sqrt[{4}]{5^{5}}}}{2}}.$$

Rötterna till ekvationen (**) är:

$$k=\tan {\frac {\alpha }{4}},\tan {\frac {\alpha +2\pi }{4}},\tan {\frac {\pi -\alpha }{4}},\tan {\frac {3\pi -\alpha }{4}}$$

där $\sin \alpha =4/A^{2}$ (observera att vissa viktiga referenser felaktigt ger det som $\ sin \alpha =1/(4A^{2})$ ). En av dessa rötter kan användas som elliptisk modul $k$ .

Rötterna till Bring-Jerrard quintic ges sedan av:

$$x_{r}=-s{\frac {\Phi (\tau +16r)}{2{ \sqrt[{4}]{125}}\varphi (\tau )\psi ^{4}(\tau )}}$$

för $r=0,\ldots ,4$ .

Det kan ses att denna process använder en generalisering av den n:te roten , som kan uttryckas som:

$${\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({{\frac {1}{n}}\ln x}\right )$$

eller mer till punkt, som

$${\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t} }\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\exp ^{-1}x\right).$$

Hermite–Kronecker–Brioschi-metoden ersätter i huvudsak exponentialen med en "elliptisk transcendent", och integralen ${\textstyle \int _{1}^{x}dt/t}$ (eller inversen av $\exp$ på den reella linjen) av en elliptisk integral (eller av en partiell invers av en "elliptisk transcendent"). Kronecker trodde att denna generalisering var ett specialfall av en ännu mer allmän sats, som skulle kunna tillämpas på ekvationer av godtyckligt hög grad. Denna teorem, känd som Thomaes formel , uttrycktes fullt ut av Hiroshi Umemura 1984, som använde Siegel modulära former i stället för de exponentiella/elliptiska transcendenterna och ersatte integralen med en hyperelliptisk integral .

Glassers härledning

Denna härledning på grund av ML Glasser generaliserar seriemetoden som presenterades tidigare i den här artikeln för att hitta en lösning på varje trinomialekvation av formen:

$$x^{N}-x+t=0$$

I synnerhet kan den kvintiska ekvationen reduceras till denna form genom att använda Tschirnhaus-transformationer som visas ovan. Låt ${\displaystyle x=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,} ,$ den allmänna formen blir:

$$\zeta =e^{2\pi i}+t\phi (\zeta)$$

var

$$\phi (\zeta )=\zeta ^{\frac {N}{N-1}}$$

En formel som beror på Lagrange anger att för varje analytisk funktion $f\,$ , i närheten av en rot av den transformerade allmänna ekvationen i termer av $\zeta \,$ ovan kan uttryckas som en oändlig serie :

$$f(\zeta )=f(e^{2\pi i})+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n }}{n!}}{\frac {d^{n-1}}{da^{n-1}}}[f'(a)|\phi (a)|^{n}]_{a =e^{2\pi i}}$$

Om vi ​​låter $f(\zeta )=\zeta ^{-{\frac {1}{N-1}}}\,$ i denna formel kan vi kom på roten:

$$x_{k}=e^{-{\frac {2k\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{N-1}} \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(te^{\frac {2k\pi i}{N-1}})^{n}}{\Gamma (n+2)} }\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {Nn}{N-1}}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{N-1}}+1 \höger)}}$$

$$k=1,2,3,\dots ,N-1\,$$

Genom att använda Gauss multiplikationssats kan den oändliga serien ovan delas upp i en ändlig serie hypergeometriska funktioner :

$$\psi _{n}(q)=\left({\frac {e^{\frac {2n\pi i} {N-1}}t}{N-1}}\right)^{q}N^{\frac {qN}{N-1}}{\frac {\prod _{k=0}^{N -1}\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {1+k}{N}}\höger)}{\Gamma \left({\frac {q}{ N-1}}+1\höger)\prod _{k=0}^{N-2}\Gamma \left({\frac {q+k+2}{N-1}}\höger)}} =\left({\frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\höger)^{q}N^{\frac {qN}{N- 1}}\prod _{k=2}^{N}{\frac {\Gamma \left({\frac {q}{N-1}}+{\frac {k-1}{N}}\ höger)}{\Gamma \left({\frac {q+k}{N-1}}\höger)}}$$

$$x_{n}=e^{-{\frac { 2n\pi i}{N-1}}}-{\frac {t}{(N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)} }}\summa _{q=0}^{N-2}\psi _{n}(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N -1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q+N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N -1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1}},{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\ frac {te^{\frac {2n\pi i}{N-1}}}{N-1}}\right)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}},\quad n =1,2,3,\dots ,N-1$$

$$x_{N}=\summa _{m=1}^{N-1}{\frac {t}{( N-1)^{2}}}{\sqrt {\frac {N}{2\pi (N-1)}}}\summa _{q=0}^{N-2}\psi _{m }(q)_{(N+1)}F_{N}{\begin{bmatrix}{\frac {qN+N-1}{N(N-1)}},\ldots ,{\frac {q +N-1}{N-1}},1;\\[8pt]{\frac {q+2}{N-1}},\ldots ,{\frac {q+N}{N-1} },{\frac {q+N-1}{N-1}};\\[8pt]\left({\frac {te^{\frac {2m\pi i}{N-1}}}{ N-1}}\höger)^{N-1}N^{N}\end{bmatrix}}$$

och formens trinomial har rötter

$$ax^{N}+bx^{2}+c=0,N\equiv 1{\pmod {2}}$$

$$x_{N}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c }{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}},{ \frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1}{ N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\[8pt ]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{ \frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N -5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N} \left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_{N -2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{\frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N} },{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{ \frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N-2\ höger)^{N-2}}}\end{bmatrix}}$$

$$x_{N-1}=-{\frac {a}{2b}}{\sqrt {\left({\frac {c}{b}}\right)^{N-1}}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {N+1}{2N}} ,{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-2}{N}},{\frac {N-1}{N}},{\frac {N+1 }{N}},{\frac {N+2}{N}},\cdots ,{\frac {3N-3}{2N}},{\frac {3N-1}{2N}};\\ [8pt]{\frac {N+1}{2N-4}},{\frac {N+3}{2N-4}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}} ,{\frac {N-3}{N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {3N-5}{2N-4}},{\frac {3}{2}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{ N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}-{\sqrt {\frac {c}{b}}}i{}_{N-1}F_ {N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2N}},{\frac {3}{2N}},\cdots ,{\frac {N-4}{2N}},{ \frac {N-2}{2N}},{\frac {N+2}{2N}},{\frac {N+4}{2N}},\cdots ,{\frac {2N-3}{ 2N}},{\frac {2N-1}{2N}};\\[8pt]{\frac {3}{2N-4}},{\frac {5}{2N-4}},\cdots ,{\frac {2N-3}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N}\left(N- 2\höger)^{N-2}}}\end{bmatrix}}$$

$${\begin{aligned}x_{n}={}&-e ^{\frac {2n\pi i}{N-2}}{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}{}_{N-1}F_{N-2 }{\begin{bmatrix}-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{ \frac {1}{N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,-{\frac { 1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {N-5}{2N}},-{\frac {1}{N\ vänster(N-2\höger)}}+{\frac {N-3}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N +1}{2N}},-{\frac {1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+3}{2N}},\cdots ,-{\frac { 1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}},;\\[8pt]{\frac {1}{N-2}},{\ frac {2}{N-2}},\cdots ,{\frac {2N-5}{2N-4}},;\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N- 2}}{4b^{N}\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}}+\\&+{\sqrt[{N-2}]{\frac {b}{a}}}\summa _{q=1}^{N-3}{\frac {\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+q\right) }{\Gamma \left({\frac {2q-1}{N-2}}+1\höger)}}\cdot \left(-{\frac {c}{b}}{\sqrt[{N -2}]{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}\right)^{q}\cdot {\frac {e^{{\frac {2n\left(1-2q \right)}{N-2}}\pi i}}{q!}}{}_{N-1}F_{N-2}{\begin{bmatrix}{\frac {Nq-1}{N \left(N-2\right)}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {1}{N}},{\frac {Nq -1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {2}{N}},\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right) }}+{\frac {N-3}{2N}},{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N+1}{2N}} ,\cdots ,{\frac {Nq-1}{N\left(N-2\right)}}+{\frac {N-1}{N}};\\[8pt]{\frac {q+ 1}{N-2}},{\frac {q+2}{N-2}},\cdots ,{\frac {N-4}{N-2}},{\frac {N-3} {N-2}},{\frac {N-1}{N-2}},{\frac {N}{N-2}},\cdots ,{\frac {q+N-2}{N -2}},{\frac {2q+2N-5}{2N-4}};\\[8pt]-{\frac {a^{2}c^{N-2}}{4b^{N }\left(N-2\right)^{N-2}}}\end{bmatrix}},n=1,2,\cdots ,N-2\end{aligned}}$$

En rot av ekvationen kan alltså uttryckas som summan av högst N − 1 hypergeometriska funktioner. Genom att tillämpa den här metoden på den reducerade Bring–Jerrard quinticen, definiera följande funktioner:

$$\ display start{aligned}F_{1}(t)&=\,_{4}F_{3}\left(-{\frac {1}{20}},{\frac {3}{20}},{ \frac {7}{20}},{\frac {11}{20}};{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{ 4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{2}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\ frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2 }},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{3 }(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {9}{20}},{\frac {13}{20}},{\frac {17}{20} },{\frac {21}{20}};{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}};{\frac { 3125t^{4}}{256}}\right)\\[6pt]F_{4}(t)&=\,_{4}F_{3}\left({\frac {7}{10}} ,{\frac {9}{10}},{\frac {11}{10}},{\frac {13}{10}};{\frac {5}{4}},{\frac {3 }{2}},{\frac {7}{4}};{\frac {3125t^{4}}{256}}\right)\end{aligned}}}$$

vilka är de hypergeometriska funktionerna som förekommer i serieformeln ovan. Rötterna till quintic är således:

$${\begin{array}{rcrcccccc}x_{1}&=&{}-tF_{2}(t)\\[1ex]x_{ 2}&=&{}-F_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^ {2}F_{3}(t)&+&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{3}&=&F_{1} (t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{2}F_{3}(t)&+ &{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{4}&=&{}-iF_{1}(t)&+&{\ frac {1}{4}}tF_{2}(t)&-&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{ 32}}t^{3}F_{4}(t)\\[1ex]x_{5}&=&iF_{1}(t)&+&{\frac {1}{4}}tF_{2} (t)&+&{\frac {5}{32}}it^{2}F_{3}(t)&-&{\frac {5}{32}}t^{3}F_{4} (t)\\\end{array}}$$

Detta är i huvudsak samma resultat som det som erhålls med följande metod.

Metoden för differentiallösningsmedel

James Cockle och Robert Harley utvecklade 1860 en metod för att lösa kvintiken med hjälp av differentialekvationer. De betraktar rötterna som funktioner av koefficienterna och beräknar en differentialupplösning baserat på dessa ekvationer. Bring-Jerrard quintic uttrycks som en funktion:

$$f(x)=x^{5}-x+a$$

och en funktion $\,\phi (a)\,$ ska bestämmas så att:

$$f[\phi (a)]=0$$

Funktionen $\phi$ måste också uppfylla följande fyra differentialekvationer:

$${\begin{aligned}{\frac {df[\phi (a)]}{da}}=0\\[6pt]{\frac {d^{2}f[\phi (a)] }{da^{2}}}=0\\[6pt]{\frac {d^{3}f[\phi (a)]}{da^{3}}}=0\\[6pt]{ \frac {d^{4}f[\phi (a)]}{da^{4}}}=0\end{aligned}}$$

Att utöka dessa och kombinera dem tillsammans ger differentialupplösningsmedlet:

$$skärm$$

Lösningen av differentialupplösningsmedlet, som är en ordinarie differentialekvation av fjärde ordningen, beror på fyra integrationskonstanter, som bör väljas för att uppfylla den ursprungliga kvintiken. Detta är en Fuchsisk vanlig differentialekvation av hypergeometrisk typ, vars lösning visar sig vara identisk med serien av hypergeometriska funktioner som uppstod i Glassers härledning ovan.

Denna metod kan också generaliseras till ekvationer av godtyckligt hög grad, med differentialupplösningsmedel som är partiella differentialekvationer , vars lösningar involverar hypergeometriska funktioner av flera variabler. En generell formel för differentiella upplösningsmedel för godtyckliga univariata polynom ges av Nahays powersumformel.

Doyle–McMullen iteration

1989 härledde Peter Doyle och Curt McMullen en iterationsmetod som löser en quintic i Brioschi normal form:

$$x^{5}-10Cx^{3}+45C^{2}xC^{2}=0.$$

Iterationsalgoritmen fortsätter enligt följande:

1. Set $Z=1-1728C$
2. Beräkna den rationella funktionen
   $$T_{Z}(w)=w-12{\frac {g(Z,w)}{g' (Z,w)}}$$
   där ${\displaystyle g(Z,w)} är$$g(Z, w)$ polynomfunktion som anges nedan, och $g'$ är derivatan av med avseende på $w$
3. Iterera $T_{Z}[T_{Z}(w)]$ på en slumpmässig startgissning tills den konvergerar. Kalla gränspunkten $w_{1}$ och låt $w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,$ .
4. Beräkna
   $$\mu _{i}={\frac {100Z(Z-1)h(Z,w_{ i})}{g(Z,w_{i})}}$$
   där $h(Z,w)$ är en polynomfunktion som anges nedan. Gör detta för både $w_{1}\,$ och $w_{2}=T_{Z}(w_{1})\,$ .
5. Slutligen, beräkna
   $$x_{i}={\frac {(9+{\sqrt {15}}i)\mu _ {i}+(9-{\sqrt {15}}i)\mu _{3-i}}{90}}$$
   för i = 1, 2 . Dessa är två av rötterna till Brioschi quintic.

De två polynomfunktionerna $g(Z,w)\,$ och $h(Z,w)\,$ är följande:

$${\begin{aligned}g(Z,w)={}&91125Z^{6}\\&{}+(-133650w^{2}+61560w-193536)Z^{5}\\&{}+(-66825w^{4}+142560w^{3}+133056w^{2}-61140w+102400)Z^{4}\\&{}+(5940w^{6}+4752w^{5}+63360w^{4}-140800w^{3})Z^{3}\\&{}+(-1485w^{8}+3168w^{7}-10560w^{6})Z^{2}\\&{}+(-66w^{10}+440w^{9})Z\\&{}+w^{12}\\[8pt]h(Z,w)={}&(1215w-648)Z^{4}\\&{}+(-540w^{3}-216w^{2}-1152w+640)Z^{3}\\&{}+(378w^{5}-504w^{4}+960w^{3})Z^{2}\\&{}+(36w^{7}-168w^{6})Z\\&{}+w^{9}\end{aligned}}$$

Denna iterationsmetod producerar två rötter av quintic. De återstående tre rötterna kan erhållas genom att använda syntetisk division för att dela ut de två rötterna, vilket ger en kubikekvation. På grund av hur iterationen är formulerad, verkar denna metod alltid hitta två komplexa konjugerade rötter av kvintiken även när alla kvintiska koefficienter är verkliga och startgissningen är verklig. Denna iterationsmetod är härledd från symmetrierna i ikosaedern och är nära besläktad med den metod Felix Klein beskriver i sin bok.

Se även

• Ekvationsteori

Källor

• Mirzaei, Raoof (2012). Spinorer och specialfunktioner för att lösa ekvation av n:e graden . Internationellt Mathematica Symposium.
•   Klein, F. (1888). Föreläsningar om Icosahedron och lösningen av ekvationer av femte graden . Översatt av Morrice, George Gavin. Trübner & Co. ISBN 0-486-49528-0 .
•   King, R. Bruce (1996). Beyond the Quartic Equation . Birkhäuser. ISBN 3-7643-3776-1 .
•   Davis, Harold T. (1962). Introduktion till ickelinjära differentialekvationer och integralekvationer . Dover. 6 kap, särskilt §20 och §21. ISBN 0-486-60971-5 .

externa länkar

• Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Tschirnhausen transformation" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Weisstein, Eric W. "Bring–Jerrard Quintic Form" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Bring Quintic Form" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Ultraradical" . MathWorld .