Transfer-matris-metod

Inom statistisk mekanik är överföringsmatrismetoden en matematisk teknik som används för att skriva partitionsfunktionen till en enklare form . Den introducerades 1941 av Hans Kramers och Gregory Wannier . I många endimensionella gittermodeller skrivs partitionsfunktionen först som en n -faldig summering över varje möjlig mikrotillstånd och innehåller även en extra summering av varje komponents bidrag till systemets energi inom varje mikrotillstånd.

Översikt

Modeller med högre dimensioner innehåller ännu fler summeringar. För system med fler än ett fåtal partiklar kan sådana uttryck snabbt bli för komplexa för att kunna räknas ut direkt, även med dator.

Istället kan partitionsfunktionen skrivas om på motsvarande sätt. Grundidén är att skriva partitionsfunktionen i formuläret

{\mathcal {Z}}=\mathbf {v} _{0}\cdot \left\{\prod _{k= 1}^{N}\mathbf {W} _{k}\right\}\cdot \mathbf {v} _{N+1}

₀ där v och vN _{. +1}_är vektorer med dimensionen p och p × p - matriserna Wk är de så kallade överföringsmatriserna I vissa fall, särskilt för system med periodiska randvillkor, kan partitionsfunktionen skrivas enklare som

{\mathcal {Z}}=\operatörsnamn {tr} \left\{\prod _{k=1}^{N}\mathbf {W} _{k}\right\}

där "tr" betecknar matrisspåret . I båda fallen kan partitionsfunktionen lösas exakt med hjälp av egenanalys . Om matriserna alla är samma matris W , kan partitionsfunktionen approximeras som den N : ^te potensen av det största egenvärdet av W , eftersom spåret är summan av egenvärdena och egenvärdena för produkten av två diagonala matriser är lika med produkten av deras individuella egenvärden.

Överföringsmatrismetoden används när det totala systemet kan delas upp i en sekvens av delsystem som endast interagerar med angränsande delsystem. Till exempel kan ett tredimensionellt kubiskt gitter av spinn i en Ising-modell brytas upp i en sekvens av tvådimensionella plana gitter av spinn som endast interagerar intill varandra. Dimensionen p för p × p -överföringsmatrisen är lika med antalet tillstånd som delsystemet kan ha; själva överföringsmatrisen Wk kodar den statistiska vikten som är associerad med att ett visst tillstånd av delsystem k -1 ligger bredvid ett annat tillstånd av _delsystem k .

Viktigt är att överföringsmatrismetoder tillåter att tackla probabilistiska gittermodeller ur ett algebraiskt perspektiv, vilket till exempel tillåter användning av resultat från representationsteori.

Som ett exempel på observerbara värden som kan beräknas från denna metod, ges sannolikheten för att ett visst tillstånd $\displaystyle m}$ inträffar vid position x av:

\mathrm {Pr} _{m}(x)={\frac {\operatörsnamn {tr} \left[\prod _{k=1}^{x}\mathbf {W} _{k}\mathbf {Pj} \prod _{ k'=x+1}^{N}\mathbf {W} _{k'}\right]}{\operatörsnamn {tr} \left[\prod _{k=1}^{N}\mathbf {W } _{k}\right]}}

Där $Pj$ är projektionsmatrisen för tillstånd $m$ , med elementen $Pj_{\mu \nu }=\delta _{\ mu \nu }\delta _{\mu m}$

Transfer-matris-metoder har varit avgörande för många exakta lösningar på problem inom statistisk mekanik , inklusive Zimm-Bragg- och Lifson-Roig-modellerna av helix-coil-övergången , överföringsmatrismodeller för protein-DNA-bindning, såväl som den berömda exakta lösningen av den tvådimensionella Ising-modellen av Lars Onsager .

Se även

Transferoperatör

Anteckningar

Rodney J. Baxter (1982). Exakt lösta modeller inom statistisk mekanik . Akademisk press. ISBN 978-0-12-083182-1 .
Teif VB (2007). "Allmän överföringsmatrisformalism för att beräkna DNA-protein-läkemedelsbindning i genreglering" . Nucleic Acids Res . 35 (11): e80. doi : 10.1093/nar/gkm268 . PMC 1920246 . PMID 17526526 .
Efremov AK, Winardhi RS, Yan J (2016). "Överföringsmatrisberäkningar av DNA-polymermikromekanik under spännings- och vridmomentbegränsningar" . Phys. Rev. E. 94 (3): 032404. Bibcode : 2016PhRvE..94c2404E . doi : 10.1103/PhysRevE.94.032404 . PMID 27739846 .
Efremov AK, Yan J (2018). "Transfer-matrisberäkningar av effekterna av spännings- och vridmomentbegränsningar på DNA-proteininteraktioner" . Nucleic Acids Res . 46 (13): 6504–6527. doi : 10.1093/nar/gky478 . PMC 6061897 . PMID 29878241 .