Multiplikitet (statistisk mekanik)

Inom statistisk mekanik hänvisar multiplicitet (även kallad statistisk vikt ) till antalet mikrotillstånd som motsvarar ett visst makrotillstånd i ett termodynamiskt system . Vanligtvis betecknad $\Omega$ , det är relaterat till konfigurationsentropin för ett isolerat system via Boltzmanns entropiformel

$$S=k_{\text{B}}\log \Omega ,$$

där $S$ är entropin och $k_{\text{B}}=1,38\cdot 10^{-23}\,\mathrm {J/ K}$ är Boltzmanns konstant .

Exempel: paramagneten med två tillstånd

En förenklad modell av tvåtillståndsparamagneten ger ett exempel på processen att beräkna mångfalden av ett visst makrotillstånd . Denna modell består av ett system av $N$ mikroskopiska dipoler $\mu$ som antingen kan vara inriktade eller anti-inriktade med ett externt applicerat magnetfält $B$ . Låt $N_{\uparrow }$ representera antalet dipoler som är inriktade med det externa fältet och $N_{\downarrow }$ representerar antalet antijusterade dipoler. Energin för en enkel inriktad dipol är $U_{\uparrow }=-\mu B$ , medan energin för en anti-inriktad dipol är $U_{\ nedåtpil }=\mu B$ ; sålunda är systemets totala energi

$$U=(N_{\downarrow }-N_{\uparrow })\mu B.$$

Målet är att bestämma multipliciteten som en funktion av $U$ ; därifrån kan entropin och andra termodynamiska egenskaper hos systemet bestämmas. Det är dock användbart som ett mellansteg för att beräkna multiplicitet som en funktion av $N_{\uparrow }$ och $N_{\downarrow }$ . Detta tillvägagångssätt visar att antalet tillgängliga makrotillstånd är $N+1$ . Till exempel, i ett mycket litet system med $N=2}$$N_{\uparrow }=0,1\, \mathrm {eller} \,2$ dipoler, finns det tre makrotillstånd, motsvarande . Eftersom $N_{\uparrow }=0$ och $N_{\uparrow }=2$ makrotillstånden kräver att båda dipolerna är antingen anti-inriktade respektive inriktade, är multipliciteten av endera av dessa tillstånd är 1. I $N_{\uparrow }=1$ kan dock endera dipolen väljas för den inriktade dipolen, så multipliciteten är 2. I det allmänna fallet är multipliciteten av ett tillstånd, eller antalet mikrotillstånd, med $N_{\uparrow }$ inriktade dipoler följer av kombinatorik , vilket resulterar i

$$\Omega ={\frac {N!}{N_{\uparrow }!(N-N_{\uparrow })!}}={\frac {N!}{N_{\uparrow }!N_{ \nedåtpil }!}},$$

där det andra steget följer av att $N_{\uparrow }+N_{\downarrow }=N$ .

Eftersom ${\displaystyle N_{\uparrow }-N_{\downarrow }=-U/\mu B} kan$ energin $U$ relateras till ${ \displaystyle N_{\uparrow }}$ och $N_{\downarrow }$ enligt följande:

$${\begin{aligned}N_{\uparrow }&={\frac {N}{2}}-{\frac {U}{2\mu B}}\\N_{\downarrow }&={ \frac {N}{2}}+{\frac {U}{2\mu B}}.\end{aligned}}$$

Sålunda är det slutliga uttrycket för mångfald som funktion av inre energi

$$\Omega ={\frac {N!}{(N/2-U/2\mu B)!(N/2+U/2\mu B)!}}.$$

Detta kan användas för att beräkna entropi i enlighet med Boltzmanns entropiformel; därifrån kan man beräkna andra användbara egenskaper som temperatur och värmekapacitet.