Tangent halvvinkelformel

Inom trigonometri relaterar tangenthalvvinkelformler tangenten för halva en vinkel till trigonometriska funktioner för hela vinkeln . Tangensen för en halv vinkel är den stereografiska projektionen av cirkeln på en linje. Bland dessa formler finns följande:

${\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}(\eta \pm \theta )&={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\eta \pm \tan {\tfrac {1}{2}}\theta }{1\mp \tan {\tfrac {1} {2}}\eta \,\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }}={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}=-{\frac {\cos \eta -\cos \theta }{\sin \eta \mp \sin \theta }},\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}\ theta &={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {\tan \theta }{\sec \theta +1}}={\frac {1}{\csc \theta +\cot \theta }},&&(\eta =0)\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}\theta &={\frac {1-\cos \theta }{ \sin \theta }}={\frac {\sec \theta -1}{\tan \theta }}=\csc \theta -\cot \theta ,&&(\eta =0)\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}{\big (}\theta \pm {\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}&={\frac {1\pm \sin \theta } {\cos \theta }}=\sec \theta \pm \tan \theta ={\frac {\csc \theta \pm 1}{\cot \theta }},&&{\big (}\eta ={\ tfrac {1}{2}}\pi {\big )}\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}{\big (}\theta \pm {\tfrac {1}{2} }\pi {\big )}&={\frac {\cos \theta }{1\mp \sin \theta }}={\frac {1}{\sec \theta \mp \tan \theta }}= {\frac {\cot \theta }{\csc \theta \mp 1}},&&{\big (}\eta ={\tfrac {1}{2}}\pi {\big )}\\[10pt ]{\frac {1-\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }{1+\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }}&=\pm {\sqrt {\ frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}\\[10pt]\tan {\tfrac {1}{2}}\theta &=\pm {\sqrt {\frac {1 -\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\\[10pt]\end{aligned}}$

Från dessa kan man härleda identiteter som uttrycker sinus, cosinus och tangent som funktioner av tangenter av halvvinklar:

${\begin{aligned}\sin \alpha &={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2} {\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\[7pt]\cos \alpha &={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha } {1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\\[7pt]\tan \alpha &={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2} }\alpha }{1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\end{aligned}}$

Bevis

Algebraiska bevis

Använda dubbelvinkelformler och den pytagoreiska identiteten $1+\tan ^{2}\alpha =1{\big /}\cos ^{2}\alpha$ ger

$\sin \alpha =2\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha \cos {\tfrac {1}{2}}\alpha ={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\cos {\tfrac {1}{2}}\alpha {\Big /}\cos ^{2}{\tfrac {1}{ 2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha } {1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }},\quad {\text{and}}$

$\cos \alpha =\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha -\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha ={\frac {\left(\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha -\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha \right){\Big /}\ cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }}={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }{1+\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha }},\quad {\text{and}}$

Att ta kvoten av formlerna för sinus- och cosinusavkastning

$\tan \alpha ={\frac {2\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha }{1-\tan ^{2}{\tfrac {1}{2}}\alpha } }.$

Genom att kombinera den pytagoreiska identiteten med dubbelvinkelformeln för cosinus, $\cos 2 \alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1$ ,

ordna om och ta kvadratrötterna ger

$|\sin \alpha |={\sqrt {\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}}$ och $|\cos \alpha |={\sqrt {\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}}$

som vid delning ger

$|\tan \alpha |={\frac {\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}={\frac {{\sqrt {1 -\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}{1+\cos 2\alpha }}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}2\ alpha }}{1+\cos 2\alpha }}={\frac {|\sin 2\alpha |}{1+\cos 2\alpha }}.$

Alternativt

$|\tan \alpha |={\frac {\sqrt {1-\cos 2\alpha }}{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}}={\frac {1-\cos 2 \alpha }{{\sqrt {1+\cos 2\alpha }}{\sqrt {1-\cos 2\alpha }}}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{\sqrt {1 -\cos ^{2}2\alpha }}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{|\sin 2\alpha |}}.$

Det visar sig att absolutvärdetecknen i dessa två sista formler kan tas bort, oavsett vilken kvadrant α är i. Med eller utan absolutvärdesstaplarna gäller dessa formler inte när både täljaren och nämnaren på höger sida är noll.

Genom att använda vinkeladditions- och subtraktionsformlerna för både sinus och cosinus får man:

$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

$\cos(ab)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

$\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$

$\sin(ab)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$

Parvis tillägg av ovanstående fyra formler ger:

${\begin{aligned}&\sin(a+b)+\sin(ab)\\[5mu]&\quad =\sin a\cos b+\cos a\sin b+\sin a\ cos b-\cos a\sin b\\[5mu]&\quad =2\sin a\cos b\\[15mu]&\cos(a+b)+\cos(ab)\\[5mu]& \quad =\cos a\cos b-\sin a\sin b+\cos a\cos b+\sin a\sin b\\[5mu]&\quad =2\cos a\cos b\end{aligned}}$

Inställning av $a={\tfrac {1}{2}}(p+q)$ och $b={\tfrac { 1}{2}}(pq)$ och ersättande avkastning:

${\begin{aligned}&\sin p+\sin q \\[5mu]&\quad =\sin \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)+{\tfrac {1}{2}}(pq)\right)+\sin \ vänster({\tfrac {1}{2}}(p+q)-{\tfrac {1}{2}}(pq)\right)\\[5mu]&\quad =2\sin {\tfrac { 1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(pq)\\[15mu]&\cos p+\cos q\\[5mu]&\quad =\ cos \left({\tfrac {1}{2}}(p+q)+{\tfrac {1}{2}}(pq)\right)+\cos \left({\tfrac {1}{2 }}(p+q)-{\tfrac {1}{2}}(pq)\right)\\[5mu]&\quad =2\cos {\tfrac {1}{2}}(p+q )\,\cos {\tfrac {1}{2}}(pq)\end{aligned}}$

Att dividera summan av sinus med summan av cosinus kommer man fram till:

${\frac {\sin p+\sin q}{\cos p+\cos q}}={\frac {2\sin {\tfrac {1} {2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(pq)}{2\cos {\tfrac {1}{2}}(p+q)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(pq)}}=\tan {\tfrac {1}{2}}(p+q)$

Geometriska bevis

1/2 längden . ( a + b ) 1. Vinkeln mellan den horisontella linjen och den visade diagonalen är Detta är ett geometriskt sätt att bevisa den speciella tangenthalvvinkelformeln som säger tan 1 / 2 ( a + b ) = (sin a + sin b ) / (cos a + cos b ) . Formlerna sin 1 / 2 ( a + b ) och cos 1 / 2 ( a + b ) är förhållandena mellan de faktiska avstånden och längden på diagonalen.

Genom att tillämpa formlerna härledda ovan på rombfiguren till höger, visas det lätt att

$\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\cos {\tfrac { 1}{2}}(a+b)}}={\frac {\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}}.$

I enhetscirkeln visar tillämpningen av ovanstående att $t=\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi$ . Genom likheten mellan trianglar ,

${\frac {t}{\sin \varphi }}={\frac {1}{1+\cos \varphi }}$ .

Det följer att

$t={\frac {\sin \varphi }{1+\cos \varphi }}={\frac {\sin \varphi (1-\cos \varphi )}{(1+\cos \varphi ) (1-\cos \varphi )}}={\frac {1-\cos \varphi }{\sin \varphi }}.$

Tangenthalvvinkelsubstitutionen i integralkalkyl

Huvudartikel: Weierstrass-byte

Ett geometriskt bevis på Weierstrass-substitutionen

I olika tillämpningar av trigonometri är det användbart att skriva om de trigonometriska funktionerna (som sinus och cosinus ) i termer av rationella funktioner för en ny variabel $t$ . Dessa identiteter är kända kollektivt som tangenthalvvinkelformlerna på grund av definitionen av $t$ . Dessa identiteter kan vara användbara i kalkyl för att konvertera rationella funktioner i sinus och cosinus till funktioner av t för att hitta deras antiderivator .

Geometriskt ser konstruktionen ut så här: för valfri punkt (cos φ , sin φ ) på enhetscirkeln , rita linjen som går genom den och punkten (−1, 0) . Denna punkt korsar y -axeln vid någon punkt y = t . Man kan visa med enkel geometri att t = tan(φ/2) . Ekvationen för den ritade linjen är y = (1 + x ) t . Ekvationen för skärningspunkten mellan linjen och cirkeln är då en andragradsekvation som involverar t . De två lösningarna till denna ekvation är (−1, 0) och (cos φ , sin φ ) . Detta gör att vi kan skriva det senare som rationella funktioner av t (lösningar ges nedan).

Parametern t representerar den stereografiska projektionen av punkten (cos φ , sin φ ) på y -axeln med projektionscentrum vid (−1, 0) . Således ger tangenthalvvinkelformlerna omvandlingar mellan den stereografiska koordinaten t på enhetscirkeln och standardvinkelkoordinaten φ .

Då har vi

${\begin{aligned}&\sin \varphi ={\frac {2t}{1+t^{2}}} ,&&\cos \varphi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[8pt]&\tan \varphi ={\frac {2t}{1- t^{2}}}&&\cot \varphi ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\sec \varphi ={\frac {1+t^{ 2}}{1-t^{2}}},&&\csc \varphi ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\end{aligned}}$

och

$e^{i\varphi }={\frac {1+it}{1-it}},\qquad e^{-i\varphi }={\frac {1-it}{1+it} }.$

Genom att eliminera phi mellan direkt ovan och den initiala definitionen av $t$ kommer man fram till följande användbara samband för arctangensen i termer av den naturliga logaritmen

$2\arctan t=-i\ln {\frac {1+it}{1-it}}.$

I kalkyl används Weierstrass-substitutionen för att hitta antiderivator av rationella funktioner av sin φ och cos φ . Efter inställning

$t=\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi .$

Detta betyder att

$\varphi =2\arctan(t)+2\pi n,$

för något heltal n och därför

$d\varphi ={{2\,dt} \över {1+t^{2}}}.$

Hyperboliska identiteter

Man kan spela ett helt analogt spel med hyperboliska funktioner . En punkt på (höger gren av) en hyperbel ges av (cosh ψ , sinh ψ ) . Att projicera detta på y -axeln från mitten (−1, 0) ger följande:

$t=\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi ={\frac {\ sinh \psi }{\cosh \psi +1}}={\frac {\cosh \psi -1}{\sinh \psi }}$

med identiteterna

${\begin{aligned}&\sinh \psi ={\frac {2t}{1-t^{2}}}, &&\cosh \psi ={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\\[8pt]&\tanh \psi ={\frac {2t}{1+t ^{2}}},&&\coth \psi ={\frac {1+t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\operatörsnamn {sech} \,\psi ={\frac { 1-t^{2}}{1+t^{2}}},&&\operatörsnamn {csch} \,\psi ={\frac {1-t^{2}}{2t}},\end{ Justerat}}$

och

$e^{\psi }={\frac {1+t}{1-t}},\qquad e^{-\psi }={\frac {1-t}{1+t}}.$

Att hitta ψ i termer av t leder till följande samband mellan den inversa hyperboliska tangenten $\operatornamn {artanh}$ och den naturliga logaritmen:

$2\operatörsnamn {artanh} t=\ln {\frac {1+t}{1-t}}.$

Den Gudermannska funktionen

Huvudartikel: Gudermannsk funktion

När man jämför de hyperboliska identiteterna med de cirkulära, märker man att de involverar samma funktioner som t , bara permuterade. Om vi ​​identifierar parametern t i båda fallen kommer vi fram till ett samband mellan de cirkulära funktionerna och de hyperboliska. Det vill säga om

$t=\tan {\tfrac {1}{2}}\varphi =\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi$

sedan

$\varphi =2\arctan {\bigl (}\tanh {\tfrac {1}{2}}\psi \,{\bigr )}\equiv \operatörsnamn {gd} \psi .$

där gd( ψ ) är den Gudermannska funktionen . Den Gudermannska funktionen ger ett direkt samband mellan de cirkulära funktionerna och de hyperboliska som inte involverar komplexa tal. Ovanstående beskrivningar av tangenthalvvinkelformlerna (projicera enhetscirkeln och standardhyperbolen på y -axeln) ger en geometrisk tolkning av denna funktion.

Rationella värden och Pythagoras trippel

Huvudartikel: Pythagoras trippel

Om tan φ /2 är ett rationellt tal kommer var och en av sin φ , cos φ , tan φ , sec φ , csc φ , och cot φ att vara ett rationellt tal (eller vara oändligt). På samma sätt om tanh ψ /2 är ett rationellt tal kommer var och en av sinh ψ , cosh ψ , tanh ψ , sech ψ , csch ψ och coth ψ att vara ett rationellt tal (eller vara oändligt). Detta är användbart med pythagoras trippel; varje inre vinkel har en rationell sinus på grund av SAS areaformel för en triangel och har en rationell cosinus på grund av Cosinuslagen . Dessa antyder att halvvinkeltangensen nödvändigtvis är rationell. Vice versa, när en halvvinkeltangens är ett rationellt tal i intervallet (0, 1) så kommer helvinkelsinus och cosinus båda att vara rationella, och det finns en rätvinklig triangel som har hela vinkeln och som har sidlängder som är en Pythagoras trippel.

I allmänhet, om K är ett delfält av de komplexa talen så innebär tan φ /2 ∈ K att {sin φ , cos φ , tan φ , sec φ , csc φ , cot φ } ⊆ K ∪ {∞ }. Ett liknande uttalande kan göras om tanh ψ /2 .

Se även

• Lista över trigonometriska identiteter
• Halvsidesformel

externa länkar

• Tangent av halverad vinkel på Planetmath