Potenssumma symmetriskt polynom

Inom matematiken , särskilt i kommutativ algebra , är de symmetriska polynomen för potenssumman en typ av grundläggande byggstenar för symmetriska polynom , i den meningen att varje symmetriskt polynom med rationella koefficienter kan uttryckas som en summa och skillnad av produkter av symmetriska polynom med kraftsumma med rationella koefficienter. Emellertid genereras inte varje symmetriskt polynom med integralkoefficienter av integralkombinationer av produkter av effektsummapolynom: de är en genereringsmängd över rationalerna, men inte över heltalen.

Definition

Potenssummans symmetriska polynom av grad k i $n$ variabler x ₁ , ..., x _n , skrivet p _k för k = 0, 1, 2, ..., är summan av alla k: te potenser av variablerna. Formellt,

$p_{k}(x_{1},x_{2},\dots,x_{n})=\summa _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\,.$

De första av dessa polynom är

$p_{0}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}) =1+1+\cdots +1=n\,,$

$p_{1}(x_ {1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\,,$

$p_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}^ {2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\,,$

$p_{3}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\cdots +x_{ n}^{3}\,.$

Sålunda, för varje icke-negativt heltal $k$ , finns det exakt ett symmetriskt polynom i potenssumma av graden $k$ i $n$ variabler.

Polynomringen som bildas genom att ta alla integral linjära kombinationer av produkter av kraftsummans symmetriska polynom är en kommutativ ring .

Exempel

Följande listar $n$ potenssumma symmetriska polynom med positiva grader upp till n för de tre första positiva värdena på $n.$ I alla fall är $p_{0}=n$ ett av polynomen. Listan går upp till grad n eftersom potenssummans symmetriska polynom av grader 1 till n är grundläggande i den mening som anges nedan.

För n = 1:

$p_{1}=x_{1}\,.$

För n = 2:

$p_{1}=x_{1}+x_{2}\,,$

$p_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\,.$

För n = 3:

$p_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}\,,$

$p_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\,,$

$p_{3}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}\,,$

Egenskaper

Uppsättningen av symmetriska polynom med potenssumma med grader 1, 2, ..., n i n variabler genererar ringen av symmetriska polynom i n variabler. Mer specifikt:

Sats . Ringen av symmetriska polynom med rationella koefficienter är lika med den rationella polynomringen $\mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n}].$ Detsamma gäller om koefficienterna tas i något fält med karakteristik 0.

Detta är dock inte sant om koefficienterna måste vara heltal. Till exempel, för n = 2, det symmetriska polynomet

$P(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}x_ {2}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}$

har uttrycket

$P(x_{1},x_{2})={\frac {p_{1 }^{3}-p_{1}p_{2}}{2}}+{\frac {p_{1}^{2}-p_{2}}{2}}\,,$

som involverar fraktioner. Enligt satsen är detta det enda sättet att representera $P(x_{1},x_{2})$ i termer av p ₁ och p ₂ . Därför P inte till den integrerade polynomringen $\mathbb {Z} [p_{1},\ldots ,p_{n}].$ Som ett annat exempel har inte de elementära symmetriska polynomen e _k , uttryckta som polynom i potenssummapolynomen, alla integralkoefficienter . Till exempel,

$e_{2}:=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}={\frac {p_{1}^{2}-p_{2}} {2}}\,.$

Satsen är också osann om fältet har en karaktäristik som skiljer sig från 0. Till exempel, om fältet F har karakteristik 2, då $p_{2}=p_{1}^{2}$ , så p ₁ och p ₂ kan inte generera e ₂ = x ₁ x ₂ .

Skiss av ett partiellt bevis för satsen : Med Newtons identiteter är potenssummorna funktioner av de elementära symmetriska polynomen; detta antyds av följande återkommande relation , även om den explicita funktionen som ger potenssummorna i termer av e _j är komplicerad:

$p_{n}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}e_{j}p_{nj}\,.$

Om man skriver om samma upprepning har man de elementära symmetriska polynomen i termer av potenssummor (också implicit, den explicita formeln är komplicerad):

$e_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}e_{nj}p_{j}\, .$

Detta innebär att de elementära polynomen är rationella, men inte integrala, linjära kombinationer av potenssummapolynomen av grader 1, ..., n . Eftersom de elementära symmetriska polynomen är en algebraisk bas för alla symmetriska polynom med koefficienter i ett fält, följer det att varje symmetriskt polynom i n variabler är en polynomfunktion $f(p_{1 },\ldots ,p_{n})$ av potenssummans symmetriska polynom p ₁ , ..., p _n . Det vill säga ringen av symmetriska polynom finns i ringen som genereras av effektsummorna $\mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n}].$ Eftersom varje potenssummapolynom är symmetrisk, är de två ringarna lika.

(Detta visar inte hur man kan bevisa att polynomet f är unikt.)

För ett annat system av symmetriska polynom med liknande egenskaper se fullständiga homogena symmetriska polynom .

Se även

• Representationsteori
• Newtons identiteter

• Ian G. Macdonald (1979), Symmetric Functions and Hall Polynomials . Oxford matematiska monografier. Oxford: Clarendon Press.
•   Ian G. Macdonald (1995), Symmetric Functions and Hall Polynomials , andra upplagan. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0 (pocketbok, 1998).
•   Richard P. Stanley (1999), Enumerative Combinatorics , vol. 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1