Superselektion

Inom kvantmekaniken utvidgar superselektion begreppet urvalsregler .

Superselektionsregler är postulerade regler som förbjuder beredningen av kvanttillstånd som uppvisar koherens mellan egentillstånd för vissa observerbara objekt . Det introducerades ursprungligen av Wick, Wightman och Wigner för att införa ytterligare begränsningar för kvantteorin utöver urvalsreglerna .

Matematiskt sett är två kvanttillstånd $\psi _{1}$ och $\psi _{2}$ åtskilda av en urvalsregel om $\langle \psi _{1}|H|\psi _{2}\rangle =0$ för den givna Hamiltonian $H$ , medan de är åtskilda av en superselektionsregel om $\langle \psi _{1}|A|\psi _{2}\rangle =0$ för alla fysiska observerbara $A$ . Eftersom ingen observerbar ansluter $\langle \psi _{1}|$ och $|\psi _{2}\rangle$ de kan inte sättas i en kvantöverlagring ${\displaystyle \alpha |\psi _{1}\rangle +\beta |\psi _{2}\rangle } ,$ och/eller en kvantöverlagring kan inte särskiljas från en klassisk blandning av de två tillstånden. Det innebär också att det finns en klassiskt konserverad kvantitet som skiljer sig mellan de två staterna.

En superselektionssektor är ett begrepp som används inom kvantmekaniken när en representation av en *-algebra bryts ner i irreducerbara komponenter . Det formaliserar tanken att inte alla självanslutna operatorer är observerbara eftersom den relativa fasen av en superposition av icke-nolltillstånd från olika irreducerbara komponenter inte är observerbar (förväntningsvärdena för de observerbara kan inte skilja mellan dem).

Formulering

Antag att A är en enhetlig *-algebra och O är en enhetlig *- subalgebra vars självtillordnade element motsvarar observerbara. En enhetsrepresentation av O kan dekomponeras som den direkta summan av irreducerbara enhetsrepresentationer av O . Varje isotypisk komponent i denna nedbrytning kallas en superselektionssektor . Observerbara objekt bevarar superselektionssektorerna.

Förhållande till symmetri

Symmetrier ger ofta upphov till superselektionssektorer (även om det inte är det enda sättet de uppstår). Antag att en grupp G verkar på A och att H är en enhetlig representation av både A och G som är ekvivariant i den meningen att för alla g i G , a i A och ψ i H ,

$g(a\cdot \psi )=(ga)\cdot (g\psi )$

Antag att O är en invariant subalgebra av A under G (alla observerbara är invarianta under G , men inte varje självadjoint operatorinvariant under G är nödvändigtvis en observerbar). H sönderdelas i superselektionssektorer, som var och en är tensorprodukten av en irreducerbar representation av G med en representation av O .

Detta kan generaliseras genom att anta att H endast är en representation av en förlängning eller täckning K av G . (Till exempel G vara Lorentz-gruppen, och K motsvarande spin- dubbeltäckning .) Alternativt kan man ersätta G med en Lie-algebra , Lie-superalgebra eller en Hopf-algebra .

Exempel

Betrakta en kvantmekanisk partikel som är begränsad till en sluten slinga (dvs en periodisk linje av period L ). Superselektionssektorerna är märkta med en vinkel θ mellan 0 och 2π. Alla vågfunktioner inom en enda superselektionssektor uppfyller

$\psi (x+L)=e^{i\theta }\psi (x).$

Superselektionssektorer

Ett stort fysiskt system med oändligt många frihetsgrader besöker inte alltid alla möjliga tillstånd, även om det har tillräckligt med energi. Om en magnet magnetiseras i en viss riktning kommer varje snurr att fluktuera vid vilken temperatur som helst, men nettomagnetiseringen kommer aldrig att förändras. Anledningen är att det är oändligt osannolikt att alla oändligt många snurr på varje olika position alla kommer att fluktuera tillsammans på samma sätt.

Ett stort system har ofta superselektionssektorer . I en solid definierar olika rotationer och translationer som inte är gittersymmetrier superselektionssektorer. I allmänhet är en superselektionsregel en storhet som aldrig kan förändras genom lokala fluktuationer. Förutom ordningsparametrar som magnetiseringen av en magnet, finns det också topologiska storheter, som lindningsnumret. Om ett snöre lindas runt en cirkulär tråd, ändras aldrig det totala antalet gånger den lindas runt under lokala fluktuationer. Detta är en vanlig naturvårdslag. Om tråden är en oändlig linje, under förhållanden där vakuumet inte har fluktuationer i lindningens antal som är koherenta i hela systemet, är bevarandelagen en superselektionsregel --- sannolikheten att lindningen kommer att lindas upp är noll.

Det finns kvantfluktuationer, superpositioner som härrör från olika konfigurationer av en vägintegral av fastyp och statistiska fluktuationer från en vägintegral av Boltzmann-typ. Båda dessa vägintegraler har egenskapen att stora förändringar i ett effektivt oändligt system kräver en osannolik konspiration mellan fluktuationerna. Så det finns både statistiska mekaniska och kvantmekaniska superselektionsregler.

I en teori där vakuumet är invariant under en symmetri, leder den konserverade laddningen till superselektionssektorer i det fall att laddningen är bevarad. Elektrisk laddning är bevarad i vårt universum, så det verkar till en början som ett trivialt exempel. Men när en supraledare fyller utrymmet, eller motsvarande i en Higgs-fas, är elektrisk laddning fortfarande globalt bevarad men definierar inte längre superselektionssektorerna. Supraledarens svallning kan ge laddningar till vilken volym som helst till mycket låg kostnad. I detta fall är superselektionssektorerna i vakuumet märkta med Higgs-fältets riktning. Eftersom olika Higgs-riktningar är relaterade till en exakt symmetri, är de alla exakt likvärdiga. Detta antyder ett djupt samband mellan symmetribrytande riktningar och bevarade laddningar.

Diskret symmetri

I 2D Ising-modellen , vid låga temperaturer , finns det två distinkta rena tillstånd, ett med medelsnurret pekar uppåt och det andra med medelsnurrandet pekar nedåt. Detta är den ordnade fasen. Vid höga temperaturer finns det bara ett rent tillstånd med ett genomsnittligt spinn på noll. Detta är den oordnade fasen. Vid fasövergången mellan de två bryts symmetrin mellan spin upp och spin ner.

Under fasövergångstemperaturen kan en oändlig iserande modell vara i antingen mestadels-plus- eller mestadels-minus-konfigurationen. Om det börjar i mestadels-plus-fasen, kommer det aldrig att nå mestadels-minus, även om vändning av alla snurr ger samma energi. Genom att ändra temperaturen fick systemet en ny superselektionsregel --- det genomsnittliga snurret. Det finns två superselektionssektorer --- mestadels minus och mestadels plus.

Det finns även andra superselektionssektorer; anger till exempel där den vänstra halvan av planet är mestadels plus och den högra halvan av planet är mestadels minus.

När en ny övervalsregel dyker upp har systemet spontant beställt . Över den kritiska temperaturen är ising-modellen oordnad. Den kunde i princip besöka alla stater. Under övergången väljer systemet en av två möjligheter på måfå och ändrar sig aldrig.

För alla ändliga system är superselektionen ofullkomlig. En Ising-modell på ett ändligt gitter kommer så småningom att fluktuera från mestadels plus till mestadels minus vid valfri temperatur som inte är noll, men det tar väldigt lång tid. Tidsmängden är exponentiellt liten i storleken på systemet mätt i korrelationslängder , så för alla praktiska ändamål sker vändningen aldrig ens i system som bara är några gånger större än korrelationslängden.

Kontinuerliga symmetrier

Om ett statistiskt eller kvantfält har tre skalära fält med reellt värde $\phi _{1},\phi _{2},\phi _{3}$ och energin eller handlingen beror endast på kombinationer som är symmetriska under rotationer av dessa komponenter in i varandra, bidragen med den lägsta dimensionen är ( summeringskonvention) :

$|\nabla \phi _{i}|^{2}+t\phi _{i}^{2}+\lambda (\phi _ {i}^{2})^{2}\,$

och definiera åtgärden i ett kvantfältskontext eller fri energi i det statistiska sammanhanget. Det finns två faser. När t är stort tenderar potentialen att flytta medelvärdet $\phi$ till noll. För t stor och negativ trycker kvadratpotentialen $\phi$ ut, men kvartspotentialen hindrar den från att bli oändlig. Om detta görs i en kvantvägsintegral är detta en kvantfasövergång , i en klassisk partitionsfunktion en klassisk fasövergång .

Så när t går mot mer negativa värden i båda sammanhangen måste fältet välja någon riktning att peka på. När den väl gör detta kan den inte ändra sig. Systemet har beställt . I den ordnade fasen finns det fortfarande lite symmetri --- rotationer runt brytningsaxeln. Fältet kan peka i vilken riktning som helst som är märkt av alla punkter på en enhetssfär i $\phi$ rymden, vilket är cosetrymden för den obrutna SO(2)-undergruppen i den fulla symmetrigruppen SO(3).

I den oordnade fasen beskrivs superselektionssektorerna genom representationen av SO(3) under vilken en given konfiguration transformeras globalt. Eftersom SO(3) är obruten kommer olika representationer inte att blandas med varandra. Ingen lokal fluktuation kommer någonsin att föra in icke-triviala SO(3)-konfigurationer från oändligheten. En lokal konfiguration definieras helt av dess representation.

Det finns ett massgap, eller en korrelationslängd, som skiljer konfigurationer med en icke-trivial SO(3)-transformation från det rotationsinvarianta vakuumet. Detta är sant tills den kritiska punkten i t där massgapet försvinner och korrelationslängden är oändlig. Det försvinnande gapet är ett tecken på att fluktuationerna i SO(3)-fältet är på väg att kondensera.

I det ordnade området finns fältkonfigurationer som kan bära topologisk laddning. Dessa är märkta av element i den andra homotopigruppen $\scriptstyle \pi _{2}(SO(3)/SO(2))= \mathbb {Z}$ . Var och en av dessa beskriver en annan fältkonfiguration som på stora avstånd från origo är en lindningskonfiguration. Även om varje sådan isolerad konfiguration har oändlig energi, märker den superselektionssektorer där skillnaden i energi mellan två tillstånd är ändlig. Dessutom kan par av lindningskonfigurationer med motsatt topologisk laddning produceras rikligt när övergången närmar sig underifrån.

När lindningstalet är noll, så att fältet överallt pekar i samma riktning, finns det ytterligare en oändlighet av superselektionssektorer, var och en märkt med ett annat värde på den obrutna SO(2)-laddningen.

I det ordnade tillståndet finns det ett massgap för superselektionssektorerna märkta med ett heltal som inte är noll, eftersom de topologiska solitonerna är massiva, till och med oändligt massiva. Men det finns inget massgap för alla superselektionssektorer märkta med noll eftersom det finns masslösa Goldstone-bosoner som beskriver fluktuationer i kondensatets riktning.

Om fältvärdena identifieras under en Z ₂ -reflektion (motsvarande vändning av tecknet för alla $\phi$ -fälten), märks superselektionssektorerna med ett icke-negativt heltal (det absoluta värdet av den topologiska laddningen).

O(3)-laddningar är bara vettiga i den oordnade fasen och inte alls i den ordnade fasen. Detta beror på att när symmetrin bryts finns det ett kondensat som laddas, vilket inte är invariant under symmetrigruppen. Omvänt är den topologiska laddningen bara meningsfull i den ordnade fasen och inte alls i den oordnade fasen, eftersom det på något handviftande sätt finns ett "topologiskt kondensat" i den oordnade fasen som randomiserar fältet från punkt till punkt. Randomiseringen kan ses som att den korsar många kondenserade topologiska lindningsgränser.

Själva frågan om vilka avgifter som är meningsfulla beror väldigt mycket på fasen. När man närmar sig fasövergången från den oordnade sidan närmar sig laddningspartiklarnas massa noll. När man närmar sig det från den ordnade sidan, närmar sig massgapet i samband med fluktuationer i de topologiska solitonerna noll.

Exempel inom partikelfysik

Higgs mekanism

I standardmodellen för partikelfysik, i den elektrosvaga sektorn, är lågenergimodellen SU(2) och U(1) bruten till U(1) av en Higgs-dubblett. Den enda superselektionsregeln som bestämmer konfigurationen är den totala elektriska laddningen. Om det finns monopoler måste monopolladdningen inkluderas.

Om Higgs t-parametern varieras så att den inte får ett vakuumförväntningsvärde, är universum nu symmetriskt under en obruten SU(2) och U(1) gauge-grupp. Om SU(2) har oändligt svaga kopplingar, så att den bara begränsar sig på enorma avstånd, så är representationen av SU(2)-gruppen och U(1)-laddningen båda superselektionsregler. Men om SU(2) har en koppling som inte är noll så separeras superselektionssektorerna av oändlig massa eftersom massan av vilket tillstånd som helst i en icke-trivial representation är oändlig.

Genom att ändra temperaturen kan Higgs-fluktuationerna nollställa väntevärdet vid en ändlig temperatur. Ovanför denna temperatur beskriver kvanttalen SU(2) och U(1) superselektionssektorerna. Under fasövergången är det endast elektrisk laddning som definierar superselektionssektorn.

Chiral kvargkondensat

Tänk på den globala smaksymmetrin hos QCD i den kirala gränsen där kvarkarnas massor är noll. Det här är inte precis det universum vi lever i, där upp- och nerkvarkarna har en liten massa som inte är noll, men det är en mycket bra approximation, i den utsträckning som isospin är bevarat.

Under en viss temperatur som är symmetriåterställningstemperaturen ordnas fasen. Det kirala kondensatet bildas och pioner med liten massa produceras. SU(Nf ₎ -laddningarna, Isospin och Hypercharge och SU(3), är vettiga. Ovanför QCD-temperaturen ligger en oordnad fas där SU(Nf ₎ ×SU(Nf ₎ och färg SU(3) laddningar är vettiga.

Det är en öppen fråga om avgränsningstemperaturen för QCD också är den temperatur vid vilken det kirala kondensatet smälter.

Anteckningar

•   Khoruzhiĭ, Sergeĭ Sergeevich; Horuzhy, SS (1990), Introduction to Algebraic Quantum Field Theory , Springer, ISBN 978-90-277-2722-0 .
•   Moretti, Valter (2018), Spectral Theory and Quantum Mechanics: Mathematical Foundations of Quantum Theories, Symmetries and Introduction to the Algebraic Formulation. , Springer, ISBN 978-3-319-70705-1 .
•   Moretti, Valter (2019), Grundläggande matematiska strukturer i kvantteorin: spektralteori, grundläggande frågor, symmetrier, algebraisk formulering. , Springer, ISBN 978-3-030-18345-5 .
• Halvorson, Hans; Mueger, Michael (2006). "Algebraisk kvantfältteori". arXiv : math-ph/0602036 .