Sullivans gissningar

I matematik kan Sullivans gissningar eller Sullivans gissningar på kartor från klassificering av utrymmen hänvisa till något av flera resultat och gissningar som föranleds av homotopi teoriarbete av Dennis Sullivan . Ett grundläggande tema och motivation gäller den fasta punkten i grupphandlingar för en finit grupp $G$ . Den mest elementära formuleringen är dock i termer av klassificeringsutrymmet B $\displaystyle BG}$ för en sådan grupp. Grovt sett är det svårt att kartlägga ett sådant utrymme $BG$ kontinuerligt till ett ändligt CW-komplex $X$ på ett icke-trivialt sätt. En sådan version av Sullivan-förmodan bevisades först av Haynes Miller . Specifikt, 1984, bevisade Miller att funktionsutrymmet , som bär den kompakta öppna topologin , för baspunktsbevarande avbildningar från $BG$ till $X$ är svagt sammandragbart .

Detta motsvarar påståendet att kartan $X$ → $F(BG,X)$ från X till funktionsutrymmet för kartor $BG$ → $X$ , som inte nödvändigtvis bevarar baspunkten, givet genom att skicka en punkt $x$ av $X$ till konstantkartan vars bild är $x$ är en svag ekvivalens . Mappningsutrymmet $F(BG,X)$ är ett exempel på en homotopisk fixpunktsuppsättning. Specifikt $F(BG,X)$ den homotopiska fixpunktsuppsättningen för gruppen $G$ som verkar genom den triviala åtgärden på $X$ . I allmänhet, för en grupp $G$ som verkar på ett mellanslag $X$ , är homotopifixpunkterna de fasta punkterna $F(EG,X)^{ G}$ av mappningsutrymmet $F(EG,X)$ av kartor från det universella omslaget $EG$ av $BG$ till $X$ under $G$ -åtgärden på $F(EG,X)$ som ges av $g$ i $G$ verkar på en karta $f$ i $F(EG,X)$ genom att skicka den till $gfg^{-1}$ . G $G$ -ekvivariant kartan från $X^{ G}=F(*,X)^{G}$ $\displaystyle EG}$ till en enda punkt $*$ inducerar en naturlig karta η: → $F(EG,X)^{G}$ från de fasta punkterna till de homotopiska fixpunkterna för ${\ displaystyle G}$ som verkar på $X$ . Millers teorem är att η är en svag ekvivalens för triviala $G$ -aktioner på finita dimensionella CW-komplex. En viktig ingrediens och motivering för hans bevis är ett resultat av Gunnar Carlsson om homologin av $BZ/2$ som en instabil modul över Steenrod-algebra .

Millers teorem generaliserar till en version av Sullivans gissningar där handlingen på $X$ tillåts vara icke-trivial. I antog Sullivan att η är en svag ekvivalens efter en viss p-kompletteringsprocedur på grund av A. Bousfield och D. Kan för gruppen $G=Z/2$ . Denna gissning var felaktig som sagt, men en korrekt version gavs av Miller och bevisades oberoende av Dwyer-Miller-Neisendorfer, Carlsson och Jean Lannes , vilket visar att den naturliga kartan $(X^{G) })_{p}$ → $F(EG,(X)_{p})^{G}$ är en svag ekvivalens när ordningen på ${\ displaystyle G}$ är en potens av ett primtal p, och där $(X)_{p}$ anger Bousfield-Kan p-kompletteringen av $X$ . Millers bevis involverar en instabil Adams spektralsekvens , Carlssons bevis använder sin positiva lösning av Segal-förmodan och ger även information om homotopins fixpunkter $F(EG,X)^{G}$ innan han är klar, och Lannes bevis involverar hans T-funktion.

^ Miller, Haynes (1984). "The Sullivan Conjecture on Maps from Classifying Spaces". Annals of Mathematics . 120 (1): 39–87. doi : 10.2307/2007071 .
^ Carlsson, Gunnar (1983). "GB Segal's Burnside Ring Conjecture for (Z/2)^k" . Topologi . 22 (1): 83–103. doi : 10.1016/0040-9383(83)90046-0 .
^ Sullivan, Denis (1971). Geometrisk topologi. Del I. Cambridge, MA: Massachusetts Institute of Technology Press. sid. 432.
^ Dwyer, William; Haynes Miller; Joseph Neisendorfer (1989). "Fibervis komplettering och instabila Adams spektrala sekvenser" . Israel Journal of Mathematics . 66 (1–3): 160–178. doi : 10.1007/bf02765891 .
^ Carlsson, Gunnar (1991). "Ekvivariant stabil homotopi och Sullivans gissningar" . Inventiones Mathematicae . 103 : 497-525. doi : 10.1007/bf01239524 .
^ Lannes, Jean (1992). "Sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d'un p-groupe abélien élémentaire" . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 75 : 135–244. doi : 10.1007/bf02699494 .
^ Schwartz, Lionel (1994). Instabila moduler över Steenrod Algebra och Sullivans Fixed Point Set Conjecture . Chicago och London: University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-74203-8 .

externa länkar

Gottlieb, Daniel H. (2001) [1994], "Sullivan conjecture" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Bokutdrag
J. Luries kursanteckningar

[1] Miller, Haynes (1984). "The Sullivan Conjecture on Maps from Classifying Spaces". Annals of Mathematics . 120 (1): 39–87. doi : 10.2307/2007071 .

[2] Carlsson, Gunnar (1983). "GB Segal's Burnside Ring Conjecture for (Z/2)^k" . Topologi . 22 (1): 83–103. doi : 10.1016/0040-9383(83)90046-0 .

[3] Sullivan, Denis (1971). Geometrisk topologi. Del I. Cambridge, MA: Massachusetts Institute of Technology Press. sid. 432.

[4] Dwyer, William; Haynes Miller; Joseph Neisendorfer (1989). "Fibervis komplettering och instabila Adams spektrala sekvenser" . Israel Journal of Mathematics . 66 (1–3): 160–178. doi : 10.1007/bf02765891 .

[5] Carlsson, Gunnar (1991). "Ekvivariant stabil homotopi och Sullivans gissningar" . Inventiones Mathematicae . 103 : 497-525. doi : 10.1007/bf01239524 .

[6] Lannes, Jean (1992). "Sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d'un p-groupe abélien élémentaire" . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 75 : 135–244. doi : 10.1007/bf02699494 .

[7] Schwartz, Lionel (1994). Instabila moduler över Steenrod Algebra och Sullivans Fixed Point Set Conjecture . Chicago och London: University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-74203-8 .