Stallkarta

I matematik , särskilt i symplektisk topologi och algebraisk geometri , kan man konstruera modulutrymmet för stabila kartor , som uppfyller specificerade villkor, från Riemann-ytor till en given symplektisk mångfald . Detta modulutrymme är essensen av Gromov-Witten-invarianterna , som finner tillämpning i numerativ geometri och typ IIA-strängteori . Idén om stallkarta föreslogs av Maxim Kontsevich runt 1992 och publicerades i Kontsevich (1995) .

Eftersom konstruktionen är lång och svår, utförs den här snarare än i själva artikeln om Gromov–Witten invarianter.

Modulutrymmet för släta pseudoholomorfa kurvor

Fixa ett stängt symplectic grenrör $X$ med symbolisk form $\omega$ . Låt $g$ och $n$ vara naturliga tal (inklusive noll) och $A$ en tvådimensionell homologiklass i $X$ . Sedan kan man överväga uppsättningen av pseudoholomorfa kurvor

$((C,j),f,(x_{1},\ldots ,x_{n}))\,$

där $(C,j)$ är en slät, sluten Riemann-yta av släktet $g$ med $n$ markerade punkter $x_ {1},\ldots ,x_{n}$ och

$f:C\to X\,$

är en funktion som uppfyller, för ett visst val av $\omega$ -tam nästan komplex struktur $J$ och inhomogen term $\nu$ , den störda Cauchy–Riemann-ekvationen

${\bar {\partial}}_{j,J}f:={\frac {1}{2}}(df+J\circ df\circ j)=\nu .$

Typiskt tillåter man bara de $g$ och $n$ som gör den punkterade Euler-karakteristiken $2-2g-n$ av $C$ negativ; då är domänen stabil , vilket betyder att det bara finns ändligt många holomorfa automorfismer av $C$ som bevarar de markerade punkterna.

Operatorn ${\bar {\partial }}_{j,J}$ är elliptisk och därmed Fredholm . Efter betydande analytiska argument (komplettering i en lämplig Sobolev-norm , applicering av den implicita funktionssatsen och Sards sats för Banach-manifolds , och användning av elliptisk regelbundenhet för att återställa jämnhet) kan man visa att, för ett generiskt val av $\omega$ - tam $J$ och störning $\nu$ , uppsättningen av $(j,J,\nu )$ -holomorfa kurvor av släktet $g$ med $n$ markerade punkter som representerar klassen $A$ en jämn, orienterad omloppsbana

$M_{g,n}^{J,\nu }(X,A)$

av dimensionen given av Atiyah-Singer indexsatsen ,

$d:=\dim _{\mathbb {R} }M_{g,n}(X,A)=2c_{1}^{X}(A)+(\dim _{\mathbb {R} }X-6)(1-g)+2n.$

Den stabila kartkomprimeringen

Detta modulutrymme av kartor är inte kompakt , eftersom en sekvens av kurvor kan degenerera till en singulariskurva, som inte finns i modulutrymmet som vi har definierat det. Detta händer till exempel när energin för $f$ (vilket betyder L ² -normen för derivatan) koncentreras någon gång på domänen. Man kan fånga energin genom att skala om kartan runt koncentrationspunkten. Effekten är att fästa en sfär, kallad en bubbla , till den ursprungliga domänen vid koncentrationspunkten och att förlänga kartan över sfären. Den omskalade kartan kan fortfarande ha energikoncentrerad på en eller flera punkter, så man måste skala om iterativt, så småningom fästa ett helt bubbelträd på den ursprungliga domänen, med kartan väluppfostrad på varje smidig komponent i den nya domänen.

För att göra detta exakt, definiera en stabil karta som en pseudoholomorf karta från en Riemann-yta med i värsta fall nodalsingulariteter, så att det bara finns ändligt många automorfismer på kartan. Konkret betyder detta följande. En slät komponent av en nodal Riemann-yta sägs vara stabil om det finns högst ändligt många automorfismer som bevarar dess markerade och nodala punkter. Då är en stabil karta en pseudoholomorf karta med minst en stabil domänkomponent, så att för var och en av de andra domänkomponenterna

• kartan är icke-konstant på den komponenten, eller
• den komponenten är stabil.

Det är signifikant att domänen för en stabil karta inte behöver vara en stabil kurva. Emellertid kan man dra ihop dess instabila komponenter (iterativt) för att producera en stabil kurva, kallad stabiliseringen s $\displaystyle \mathrm {st} (C)}$ för domänen $C$ .

Uppsättningen av alla stallkartor från Riemann-ytor av släktet $g$ med $n$ markerade punkter bildar ett modulutrymme

${\overline {M}}_{g,n}^{J,\nu }(X,A).$

Topologin definieras genom att förklara att en sekvens av stabila kartor konvergerar om och endast om

• deras (stabiliserade) domäner konvergerar i Deligne–Mumford modulutrymmet för kurvorna ${\overline {M}}_{g,n}$ ,
• de konvergerar enhetligt i alla derivator på kompakta delmängder bort från noderna, och
• energin som koncentreras vid någon punkt är lika med energin i bubbelträdet som är fäst vid den punkten i gränskartan.

Modulutrymmet för stabila kartor är kompakt; det vill säga vilken sekvens av stabila kartor som helst konvergerar till en stabil karta. För att visa detta, skalar man om sekvensen av kartor iterativt. Vid varje iteration finns en ny gränsdomän, möjligen singular, med mindre energikoncentration än i föregående iteration. I detta steg kommer den symboliska formen $\omega$ in på ett avgörande sätt. Energin för en jämn karta som representerar homologiklassen $B$ avgränsas nedan av det symboliska området $\omega (B)$ ,

$\omega (B)\leq {\frac {1}{2}}\int |df|^{2},$

med likhet om och endast om kartan är pseudoholomorf. Detta begränsar energin som fångas upp i varje iteration av omskalningen och innebär således att endast ändligt många omskalningar behövs för att fånga all energi. I slutändan är gränskartan på den nya limitdomänen stabil.

Det kompakterade utrymmet är återigen en slät, orienterad orbifold. Kartor med icke-triviala automorfismer motsvarar punkter med isotropi i orbifolden.

Pseudocykeln Gromov–Witten

För att konstruera Gromov–Witten-invarianter skjuter man fram modulutrymmet för stabila kartor under utvärderingskartan

$M_{g,n}^{J,\nu }(X,A)\till {\överlinje {M }}_{g,n}\ gånger X^{n},$

$((C,j),f,(x_{1},\ldots ,x_{n}))\mapsto (\mathrm {st} (C,j) ,f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n}))$

för att under lämpliga förhållanden erhålla en rationell homologiklass

$GW_{g,n}^{X,A}\in H_{d}({\överlinje {M}}_{g,n}\ gånger X^{n},\mathbb {Q} ).$

Rationella koefficienter är nödvändiga eftersom modulutrymmet är en orbifold. Homologiklassen som definieras av utvärderingskartan är oberoende av valet av generisk $\omega$ -tame $J$ och störning $\nu$ . Det kallas Gromov–Witten (GW) invarianten av $X$ för de givna data $g$ , $n$ och $A$ . Ett kobordismargument kan användas för att visa att denna homologiklass är oberoende av valet av ${\displaystyle \omega } ,$ upp till isotopi. Således är Gromov-Witten invarianter invarianter av symplektiska isotopklasser av symplektiska grenrör.

De "lämpliga förhållandena" är ganska subtila, främst på grund av att flertäckta kartor (kartor som tar hänsyn till en förgrenad täckning av domänen) kan bilda modulutrymmen av större dimension än förväntat.

Det enklaste sättet att hantera detta är att anta att målgrenröret $X$ är semipositivt eller Fano i en viss mening. Detta antagande är valt exakt så att modulutrymmet för flerfaldigt täckta kartor har en kodimension åtminstone två i utrymmet för icke-multiplicerade kartor. Sedan bildar bilden av utvärderingskartan en pseudocykel, som inducerar en väldefinierad homologiklass av den förväntade dimensionen.

Att definiera Gromov–Witten-invarianter utan att anta någon form av semipositivitet kräver en svår, teknisk konstruktion känd som den virtuella modulcykeln .

•   Dusa McDuff och Dietmar Salamon, J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology , American Mathematical Society colloquium publications, 2004. ISBN 0-8218-3485-1 .
•   Kontsevich, Maxim (1995). "Uppräkning av rationella kurvor via torusåtgärder". Progr. Matematik . 129 : 335-368. MR 1363062 .