Stabil modulkategori

Inom representationsteorin är kategorin stabila modul en kategori där projektiv är "fakterade ut".

Definition

Låt R vara en ring . För två moduler M och N över R , definiera ${\underline {\mathrm {Hom} }}(M,N)$ för att vara uppsättningen av R -linjära kartor från M till N modulo förhållandet som f ~ g om f − g faktorer genom en projektiv modul . Den stabila modulkategorin definieras genom att objekten ställs in till R -modulerna, och morfismerna är ekvivalensklasserna ${\underline {\mathrm {Hom} }}(M, N)$ .

Givet en modul M , låt P vara en projektiv modul med en surjektion $p\colon P\to M$ . Ställ sedan in $\Omega (M)$ som kärnan i p . Antag att vi får en morfism $f\colon M\to N$ och en surjektion $q\colon Q\to N$ där Q är projektiv. Sedan kan man lyfta f till en karta $P\to Q$ som mappar $\Omega (M)$ till $\Omega (N)$ . Detta ger en väldefinierad funktion $\Omega$ från den stabila modulkategorin till sig själv.

För vissa ringar, såsom Frobenius algebras , är ${\displaystyle \Omega } en$ ekvivalens av kategorier . I detta fall kan inversen $\Omega ^{-1}$ definieras enligt följande. Givet M , hitta en injektiv modul I med en inkludering $i\colon M\to I$ . Då definieras ${\displaystyle \Omega ^{-1}(M)} till att vara$ cokärnan i i . Ett fall av särskilt intresse är när ringen R är en gruppalgebra .

Funktorn Ω ⁻¹ kan till och med definieras på modulkategorin för en generell ring (utan att faktorisera projektiver), som kokkärnan för injektionshöljet . Det behöver inte vara sant i detta fall att funktorn Ω ⁻¹ faktiskt är en invers till Ω. En viktig egenskap hos den stabila modulkategorin är att den gör det möjligt att definiera Ω-funktionen för allmänna ringar. När R är perfekt (eller M är ändligt genererad och R är semiperfekt ), så kan Ω( M ) definieras som kärnan i det projektiva omslaget , vilket ger en funktion för modulkategorin. Emellertid behöver i allmänhet inte projektiva omslag existera, och därför är det nödvändigt att gå över till kategorin stabila moduler.

Samband med kohomologi

Nu antar vi att R = kG är en gruppalgebra för något fält k och någon grupp G . Man kan visa att det finns isomorfismer

${\underline {\mathrm { Hom} }}(\Omega ^{n}(M),N)\cong \mathrm {Ext} _{kG}^{n}(M,N)\cong {\underline {\mathrm {Hom} }} (M,\Omega ^{-n}(N))$

för varje positivt heltal n . Gruppkohomologin för en representation M ges av $Ext} _{kG}^{n}(k,M)}$${\displaystyle \mathrm {H} ^{n}(G;M)=\mathrm$ { där k har en trivial G -handling, så på detta sätt ger den stabila modulkategorin en naturlig miljö i vilken gruppkohomologin lever.

Dessutom föreslår ovanstående isomorfism att definiera kohomologigrupper för negativa värden på n , och på detta sätt återställer man Tate kohomologi .

Triangulerad struktur

En exakt sekvens

$0\to X\to E\to Y\to 0$

i den vanliga modulkategorin definierar ett element av ${\displaystyle \mathrm {Ext} _{kG}^{1}(Y,X)} ,$ och därmed ett element av ${\displaystyle {\underline {\mathrm {Hom} }}(Y,\Omega ^{-1}(X))} ,$ så att vi får en sekvens

$X\to E\to Y\to \Omega ^{-1}(X).$

Genom att ta $\Omega ^{-1}$ för att vara översättningsfunktion och sådana sekvenser som ovan för att vara exakta trianglar, blir den stabila modulkategorin en triangulerad kategori .

Se även

• Stabil homotopi teori

• J. F. Carlson, Lisa Townsley, Luis Valero-Elizondo, Mucheng Zhang, Cohomology Rings of Finite Groups , Springer-Verlag, 2003.