Souček utrymme

Inom matematiken är Souček-utrymmen generaliseringar av Sobolev-rum , uppkallade efter den tjeckiske matematikern Jiří Souček. En av deras främsta fördelar är att de erbjuder ett sätt att hantera det faktum att Sobolev-utrymmet W ^1,1 inte är ett reflexivt utrymme ; eftersom W ^1,1 inte är reflexiv, är det inte alltid sant att en avgränsad sekvens har en svagt konvergent undersekvens , vilket är ett önskemål i många tillämpningar.

Definition

Låt Ω vara en avgränsad domän i n -dimensionell euklidisk rymd med jämn gräns . Souček -utrymmet W ^{1, μ} (Ω; Rm ) definieras som utrymmet för alla ordnade par ( u , v ) ^, där

• u ligger i Lebesgue-utrymmet L ¹ (Ω; Rm ⁾ ;
• v (tänkt som gradienten för u ) är ett regelbundet Borelmått på stängningen av Ω;
• det finns en sekvens av funktioner u _k i Sobolev-rummet W ^1,1 (Ω; Rm ⁾ så att

$\lim _{k\to \infty }u_{k}=u{\mbox{ in }}L^{1}(\ Omega ;\mathbf {R} ^{m})$

och

$\lim _{k\to \infty }\nabla u_{k}=v$

svagt-∗ i utrymme för alla R ^{m × n} -värdade vanliga Borel-mått vid stängning av Ω.

Egenskaper

• : Souček-utrymmet W ^{1, μ} (Ω; Rm ) är ett Banach-utrymme när det är utrustat med ^normen som ges av

${\displaystyle \|( u,v)\|:=\|u\|_{L^{1}}+\|v\|_{M},} dvs summan av L 1 och totala$

variationsnormer för ^de två komponenterna .

•   Souček, Jiří (1972). "Funktionsutrymmen på domänen Ω, vars k -:te derivator är mått definierade på Ω̅" . Časopis Pěst. Mat . 97 : 10–46, 94. doi : 10.21136/CPM.1972.117746 . ISSN 0528-2195 . MR 0313798