Simon problem

Ej att förväxla med Simons problem med beräkningskomplexitet.

Inom matematik är Simon-problemen (eller Simons problem ) en serie av femton frågor som ställdes år 2000 av Barry Simon , en amerikansk matematisk fysiker. Inspirerad av andra samlingar av matematiska problem och öppna gissningar, som den berömda listan av David Hilbert , rör Simon-problemen kvantoperatorer . Åtta av problemen hänför sig till onormalt spektralt beteende hos Schrödinger-operatörer, och fem gäller operatörer som införlivar Coulomb-potentialen .

2014 vann Artur Avila en Fields-medalj för arbete med att lösa tre Simon-problem. Bland dessa var problemet med att bevisa att uppsättningen av energinivåer för ett visst abstrakt kvantsystem i själva verket var Cantor-uppsättningen , en utmaning som kallas "Ten Martini-problemet" efter belöningen som Mark Kac erbjöd för att lösa det.

2000-listan var en förfining av en liknande uppsättning problem som Simon hade ställt upp 1984.

Sammanhang

Bakgrundsdefinitioner för problemen med "Coulomb energier" ( ${\displaystyle 1/2$$\displaystyle N}$ icke-relativistiska partiklar (elektroner) i $\mathbb {R} ^{3}$ med spin och en oändligt tung kärna med laddning $Z$ och Coulombiansk ömsesidig interaktion):

• ${\mathcal {H}}_{f}^{(N)}$ är funktionsutrymmet på $L^{2 }(\mathbb {R} ^{3N};\mathbb {C} ^{2N})$ som är antisymmetriska under utbyte av $N$ spinn och mellanrumskoordinater. På motsvarande sätt är delrummet för $(L^{2}(\mathbb {R} ^{3})\otimes \mathbb {C} ^{2}) ^{\otimes N}$ som är antisymmetrisk under utbyte av $N$ -faktorerna.
• Hamiltonian är $H(N,Z):=\summa _{i=1}^{N}(-\Delta _{i}-{\frac {Z}{|x_{i}|}})+\ summa _{i<j}{\frac {1}{|x_{i}-x_{j}|}}$ ( . Här $x_{i}\in \mathbb {R} ^{3}$ koordinaten för den $i$ -te partikeln, $\Delta _{i }$ är Laplacian med avseende på koordinaten $x_{i}$ . Även om Hamiltonian inte uttryckligen är beroende av spinsektorns tillstånd, har närvaron av spin en effekt på grund av antisymmetriförhållandet på den totala vågfunktionen.
• Vi definierar $E(N,Z):=\min _{{\mathcal {H}}_{f}}H(N, Z)$ , det vill säga grundtillståndsenergin för ( $\displaystyle (N,Z)}-$ systemet.
• Vi definierar $N_{0}(Z)$$E (N+j,Z)=E(N,Z)$ det minsta värdet av $N$ så att för alla positiva heltal $j$ ; det är känt att ett sådant nummer alltid finns och alltid ligger mellan $Z$ och $2Z$ inklusive.

1984 års lista

Simon listade följande problem 1984:

Nej.	Kort namn	Påstående	Status	År löst
1:a	(a) Nästan alltid global existens för Newtonska graviterande partiklar	(a) Bevisa att uppsättningen initiala villkor för vilka Newtons ekvationer inte har globala lösningar har måttet noll.	Öppet från 1984. 1977 visade Saari att detta är sant för 4-kroppsproblem.	?
	(b) Förekomsten av icke-kollisionssingulariteter i det newtonska N-kroppsproblemet	Visa att det finns icke-kollisionssingulariteter i det newtonska N-kroppsproblemet för vissa N och lämpliga massor.	1988 gav Xia ett exempel på en 5-kroppskonfiguration som genomgår en icke-kollisionssingularitet. 1991 visade Gerver att 3n-kroppsproblem i planet för ett tillräckligt stort värde av n också genomgår icke-kollisionssingulariteter.	1989 ~Duckmather -->
2:a	(a) Ergodicitet hos gaser med mjuka kärnor	Hitta repulsiva släta potentialer för vilka dynamiken hos N partiklar i en låda (med t.ex. släta väggpotentialer) är ergodisk.	Öppet från 1984. Sinai bevisade en gång att den hårda sfärgasen är ergod, men inga fullständiga bevis har dykt upp förutom fallet med två partiklar och en skiss för tre, fyra och fem partiklar.	?
	(b) Inställning till jämvikt	Använd scenariot ovan för att motivera att stora system med krafter som är attraktiva på lämpliga avstånd närmar sig jämvikt, eller hitta ett alternativt scenario som inte förlitar sig på strikt ergodicitet i ändlig volym.	Öppet från 1984.	?
	(c) Asymptotisk abelianness för Heisenberg-kvantdynamiken	Bevisa eller motbevisa att den multidimensionella kvantmodellen Heisenberg är asymptotiskt abelsk.	Öppet från 1984.	?
3:a	Turbulens och allt det där	Utveckla en heltäckande teori om långtidsbeteende hos dynamiska system, inklusive en teori om uppkomsten av och fullt utvecklad turbulens.	Öppet från 1984.	?
4:a	(a) Fouriers värmelag	Hitta en mekanisk modell där ett system med storlek $L$ med temperaturskillnad $\Delta T$ mellan dess ändar har en värmetemperatur som går som $L^{- 1}$ i gränsen $L\to \infty$ .	Öppet från 1984.	?
	(b) Kubos formel	Motivera Kubos formel i en kvantmodell eller hitta en alternativ teori om konduktivitet.	Öppet från 1984.	?
5:a	(a) Exponentiellt sönderfall av $v=2$ klassiska Heisenberg-korrelationer	Tänk på den tvådimensionella klassiska Heisenberg-modellen. Bevisa att för alla betaversioner avtar korrelationer exponentiellt när avståndet närmar sig oändligheten.	Öppet från 1984.	?
	(b) Rena faser och låga temperaturer för $v\geq 3$ klassiska Heisenberg-modellen	Bevisa att i modellen $D=3$ vid stor beta och vid dimension $v\geq 3$ bildar jämviktstillstånden en enda bana under $SO(3)$ : sfären.
	(c) GKS för klassiska Heisenberg-modeller	Låt $f$ och $g$ vara ändliga produkter av formen $(\sigma _{\alpha }\cdot \sigma _{\gamma })$ i modellen $D=3$ . Är det sant att $<fg>_{\Lambda ,\beta }\geq <f>_{\Lambda ,\beta <g>_{\Lambda ,\beta }$ ?
	(d) Fasövergångar i kvant-Heisenberg-modellen	Bevisa att för $v\geq 3$ och stor beta, har kvant-Heisenberg-modellen lång räckvidd.
6:a	Förklaring av ferromagnetism	Verifiera Heisenberg-bilden av ursprunget till ferromagnetism (eller ett alternativ) i en lämplig modell av ett realistiskt kvantsystem.	Öppet från 1984.	?
7:a	Förekomsten av kontinuumfasövergångar	Visa att för lämpliga val av parpotential och densitet är den fria energin icke- $C^{1}$ vid någon beta.	Öppet från 1984.	?
8:e	(a) Formulering av renormaliseringsgruppen	Utveckla matematiskt exakta renormaliseringstransformationer för $v$ -dimensionella system av Ising-typ.	Öppet från 1984.	?
	(b) Bevis på universalitet	Visa att kritiska exponenter för system av Ising-typ med närmaste grannkoppling men olika bindningsstyrkor i de tre riktningarna är oberoende av förhållanden mellan bindningsstyrkor.
9:e	(a) Asymptotisk fullständighet för kortdistans N-kropps kvantsystem	Bevisa att $\oplus ~{\text{Ran}}~\Omega _{a}^{+}=L^{2}(X)$ .	Öppet från 1984.	?
	(b) Asymptotisk fullständighet för Coulomb-potentialer	Antag att $v=3,V_{ij}(x)=e_{ij}|x|^{-1}$ . Bevisa att $\oplus ~{\text{Ran}}~\Omega _{a}^{D,+}=L^{2}(X)$ .
10:e	(a) Monotonicitet av joniseringsenergi	(a) Bevisa att $(\Delta E)(N-1,Z)\geq (\Delta E)(N ,Z)$ .	Öppet från 1984.	?
	(b) Scott-korrigeringen	Bevisa att $\lim _{Z\to \infty }(E(Z,Z)-e_{TF} Z^{7/3})/Z^{2}$ finns och är den konstant som Scott hittat.
	(c) Asymptotisk jonisering	Hitta de ledande asymptoterna för $(\Delta E)(Z,Z)$ .
	(d) Asymptotik av maximal joniserad laddning	Bevisa att $\lim _{Z\to \infty }N(Z)/Z=1$ .
	(e) Hastighet för kollaps av Bose-material	Hitta lämpliga $C_{1},C_{2},\alpha$ så att ${\ displaystyle -C_{1}N^{\alpha }\leq {\tilde {E}}_{B}(N,N;1)\leq C_{2}N^{\alpha }}$ .
11:e	Förekomsten av kristaller	Bevisa en lämplig version av förekomsten av kristaller (det finns t.ex. ett val att minimera konfigurationer som konvergerar till någon oändlig gitterkonfiguration).	Öppet från 1984.	?
12:e	(a) Existensen av utökade tillstånd i Anderson-modellen	Bevisa att i $v\geq 3$ och för liten $\lambda$ att det finns ett område med absolut kontinuerligt spektrum av Anderson-modellen, och bestäm om detta är falskt för ${\ displaystyle v=2}$ .	Öppet från 1984.	?
	(b) Diffusiv bunden på "transport" i slumpmässiga potentialer	Bevisa att ${\text{Exp}}(\delta _{0},( e^{itH}{\vec {N}}e^{-itH})^{2}\delta _{0})\leq c(1+|t|)$ för Anderson-modellen och mer allmänt slumpmässigt potentialer.
	(c) Jämnheten av $k(E)$ genom rörlighetskanten i Anderson-modellen	Är $k(E)$ , den integrerade densiteten av tillstånd , en $C^{\infty }$ funktion i Anderson-modellen vid alla kopplingar?
	(d) Analys av nästan Mathieu-ekvationen	Verifiera följande för nästan Mathieu-ekvationen: Om $\alpha$ är ett Liouville-tal och $\lambda \neq 0$ , så är spektrumet rent singulart kontinuerligt för nästan alla $\theta$ . Om $\alpha$ är ett Roth-tal och $|\lambda |<2$ , då är spektrumet rent absolut kontinuerligt för nästan alla $\theta$ . Om $\alpha$ är ett Roth-tal och $|\lambda |>2$ , då är spektrumet en rent tät ren punkt. Om $\alpha$ är ett Roth-tal och $|\lambda |=2$ , då har $\sigma (h)$ Lebesgue-måttet noll och spektrumet är rent singularkontinuerligt.
	(e) Punktspektrum i en kontinuerlig nästan periodisk modell	Visa att ${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dx^{2}} }+\lambda \cos(2\pi x)+\mu \cos(2\pi \alpha x+\theta )} har$ något punktspektrum för lämpliga $\alpha ,\lambda ,\mu$ och nästan alla $\theta$ .
13:e	Kritisk exponent för självundvikande promenader	Låt $D(n)$ vara medelförskjutningen av en slumpmässig självundvikande promenad av längden $n$ . Visa att $v:=\lim _{n\to \infty }n^{-1}\ln D(n)$ är ${\frac {1}{2}}$ för dimensionen minst fyra och är större annars.	Öppet från 1984.	?
14:e	(a) Konstruera QCD	Ge en exakt matematisk konstruktion av kvantkromodynamik.	Öppet från 1984.	?
	(b) Renormaliserbar QFT	Konstruera en icke-trivial kvantfältteori som är renormaliserbar men inte superrenormaliserbar.
	(c) Inkonsekvens av QED	Bevisa att QED inte är en konsekvent teori.
	(d) Inkonsekvens av $\varphi _{4}^{4}$	Bevisa att en icke-trivial $\varphi _{4}^{4}$ teori inte existerar.
15:e	Kosmisk censur	Formulera och sedan bevisa eller motbevisa en lämplig version av kosmisk censur.	Öppet från 1984.	?

År 2000 hävdade Simon att fem av de problem han räknade upp hade lösts.

2000 års lista

Simon-problemen som listades 2000 (med ursprungliga kategoriseringar) är:

Nej.	Kort namn	Påstående	Status	År löst
Kvanttransport och anomalt spektralt beteende
1:a	Utökade tillstånd	Bevisa att Anderson-modellen har ett rent absolut kontinuerligt spektrum för $v\geq 3$ och lämpliga värden på $ba$ i något energiområde.	?	?
2:a	Lokalisering i 2 dimensioner	Bevisa att spektrumet för Anderson-modellen för $v=2$ är tät ren punkt.	?	?
3:a	Kvantdiffusion	Bevisa att för $v\geq 3$ och värden på $|ba|$ där det finns ett absolut kontinuerligt spektrum, att ${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} ^{\nu }}n^{2}|e^{itH}(n,0)|^{2}} växer som$ c $\ displaystyle ct}$ som $t\to \infty$ .	?	?
4:a	Tio Martini problem	Bevisa att spektrumet för $h_{\alpha ,\lambda ,\theta }$ är en Cantor-mängd (det vill säga ingenstans tät) för alla $\lambda \neq 0$ och alla irrationella $\alpha$ .	Löst av Puig (2003).	2003
5:a		Bevisa att spektrumet för $h_{\alpha ,\lambda ,\theta }$ har måttet noll för $\lambda =2$ och alla irrationella $\alpha$ .	Löst av Avila och Krikorian (2003).	2003
6:a		Bevisa att spektrumet för $h_{\alpha ,\lambda ,\theta }$ är absolut kontinuerligt för $\lambda =2$ och alla irrationella $\alpha$ .	?	?
7:a		Finns det potentialer $V(x)$ på $[0,\infty )$ så att $|V(x)|\leq C|x|^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }$ för vissa $\varepsilon$ och så att $-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V$ har något singulart kontinuerligt spektrum?	I huvudsak löst av Denisov (2003) med endast $L^{2}$ förfall. Löst helt av Kiselev (2005).	2003, 2005
8:a		Antag att $V(x)$ är en funktion på $\mathbb {R} ^{\nu }$ så att ${\displaystyle \int |x|^{-\nu +1}|V(x)|^{2}d^{\nu }x<\infty } , där$ ν $\ displaystyle \nu \geq 2}$ . Bevisa att $-\Delta +V$ har ett absolut kontinuerligt spektrum av oändlig multiplicitet på $[0,\infty )$ .	?	?
Coulomb energier
9:e		Bevisa att $N_{0}(Z)-Z$ är gränsad för $Z\to \infty$ .	?	?
10:e		Vilka är asymptotikerna för $(\delta E)(Z):=E(Z,Z-1) -E(Z,Z)$ för $Z\to \infty$ ?	?	?
11:e		Gör en matematisk känsla av kärnskalsmodellen .	?	?
12:e		Finns det en matematisk mening i vilken man kan motivera nuvarande tekniker för att bestämma molekylära konfigurationer från första principer?	?	?
13:e		Bevisa att när antalet kärnor närmar sig oändligheten, närmar sig grundtillståndet för något neutralt system av molekyler och elektroner en periodisk gräns (dvs. att kristaller existerar baserat på kvantprinciper).	?	?
Andra problem
14:e		Bevisa att den integrerade tätheten av tillstånden $k(E)$ är kontinuerlig i energin.	| k(El + AE) - k(El) | < ε	?
15:e	Lieb-Thirring gissningar	Bevisa Lieb-Thirring-förmodan om konstanterna $L_{\gamma ,\nu }$ där $\nu =1,{\frac {1 }{2}}<\gamma <{\frac {3}{2}}$ .	?	?

Se även

• Nästan Mathieu-operatör
• Lieb–Trålande ojämlikhet

externa länkar

• "Simons problem" . MathWorld . Hämtad 2018-06-13 .