Painlevé gissning

Jeff Xias 5-kroppskonfiguration består av fem punktmassor, med två par i excentriska elliptiska banor runt varandra och en massa som oscillerar framåt och bakåt längs symmetrilinjen. Xia bevisade att under vissa initiala förhållanden kommer den slutliga massan att accelereras till oändlig hastighet under begränsad tid. Detta bevisar Painlevé-förmodan för fem kroppar och uppåt.

Inom fysiken är Painlevé -förmodan ett teorem om singulariteter bland lösningarna på n -kroppsproblemet : det finns icke-kollisionssingulariteter för n ≥ 4.

Teoremet bevisades för n ≥ 5 1988 av Jeff Xia och för n=4 2014 av Jinxin Xue.

Bakgrund och uttalande

Lösningar $(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )$ av n -kroppsproblemet ${\displaystyle {\ punkt {\mathbf {q} }}=M^{-1}\mathbf {p} ,\;{\dot {\mathbf {p} }}=\nabla U(\mathbf {q} )} (där$ M är massorna och U betecknar gravitationspotentialen ) sägs ha en singularitet om det finns en sekvens av gånger $t_{n}$ som konvergerar till ett ändligt $t^{*}$ där $\nabla U\left(\mathbf {q} \left(t_{n}\right)\right)\rightarrow \infty$ . Det vill säga att krafterna och accelerationerna blir oändliga vid någon ändlig tidpunkt.

En kollisionssingularitet uppstår om $\mathbf {q} (t)$ tenderar till en bestämd gräns när $t\rightarrow t^{*},t< t^{*}$ . Om gränsen inte finns kallas singulariteten en pseudokollision eller icke-kollision singularitet.

Paul Painlevé visade att för n = 3 upplever varje lösning med en ändlig tidssingularitet en kollisionssingularitet. Han misslyckades dock med att utöka detta resultat utöver 3 kroppar. Hans 1895 års Stockholmsföreläsningar slutar med gissningen att

För n ≥ 4 medger n -kroppsproblemet icke-kollisionssingulariteter.

Utveckling

Edvard Hugo von Zeipel bevisade 1908 att om det finns en kollisionssingularitet, så tenderar $J(\mathbf {q} (t))$ till en bestämd gräns som ${\ displaystyle t\rightarrow t^{*}}$ , där $J(\mathbf {q} )=\sum _{i}m_{i}|\mathbf {q} _{i}|^{2}$ är tröghetsmomentet . Detta innebär att ett nödvändigt villkor för en icke-kollisionssingularitet är att hastigheten för åtminstone en partikel blir obegränsad (eftersom positionerna $\mathbf {q}$ förblir ändliga fram till denna punkt).

Mather och McGehee lyckades bevisa 1975 att en icke-kollisionssingularitet kan uppstå i det kolinjära 4-kroppsproblemet (det vill säga med alla kroppar på en linje), men först efter ett oändligt antal (reguljära) binära kollisioner.

Donald G. Saari bevisade 1977 att för nästan alla (i betydelsen Lebesgue-mått ) initiala förhållanden i planet eller utrymmet för 2, 3 och 4-kroppsproblem finns det singularitetsfria lösningar.

1984 gav Joe Gerver ett argument för en icke-kollisionssingularitet i det plana 5-kroppsproblemet utan kollisioner. Han hittade senare ett bevis för 3 n kroppsfallet.

Slutligen, i sin doktorsavhandling från 1988, demonstrerade Jeff Xia en 5-kroppskonfiguration som upplever en icke-kollision singularitet.

Joe Gerver har gett en heuristisk modell för existensen av 4-kroppssingulariteter.

I sin doktorsavhandling 2013 vid University of Maryland övervägde Jinxin Xue en förenklad modell för det plana fyrkroppsproblemet med Painlevé-förmodan. Baserat på en modell av Gerver, bevisade han att det finns en Cantor-uppsättning initiala förhållanden som leder till lösningar av det Hamiltonska systemet vars hastigheter accelereras till oändlighet inom ändlig tid för att undvika alla tidigare kollisioner. 2014 utökade Xue sitt tidigare arbete och bevisade gissningen för n=4.