Utmattning av kompakta set

Inom matematik , särskilt allmän topologi och analys , är en uttömning av kompakta mängder av ett topologiskt utrymme $X$ en kapslad sekvens av kompakta delmängder $K_{i}$ av $X$ (dvs. ${\displaystyle K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq K_{3}\subseteq \cdots } ),$ så att $K_{i}$ finns i det inre av $K_{i+1}$ , dvs $K_{i}\subseteq {\text{int}}(K_{i +1})$ för varje $i$ och $X=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i}$ . Ett utrymme som tillåter en utmattning av kompakta uppsättningar kallas uttömmande av kompakta uppsättningar .

Betrakta till exempel $X=\mathbb {R} ^{n}$ och sekvensen av slutna bollar $K_{i}=\{x:|x|\leq i\}.$

Ibland släpper vissa författare kravet att $K_{i}$ är i det inre av ${\displaystyle K_{i+1}} ,$ men då blir egenskapen densamma som att utrymmet är σ- kompakt , nämligen en räknebar förening av kompakta delmängder.

Egenskaper

Följande är ekvivalenta för ett topologiskt utrymme $X$ :

1. $X$ är uttömlig av kompakta uppsättningar.
2. $X$ är σ-kompakt och svagt lokalt kompakt .
3. $X$ är Lindelöf och svagt lokalt kompakt.

(där svagt lokalt kompakt betyder lokalt kompakt i den svaga meningen att varje punkt har en kompakt grannskap ).

Den hemikompakta egenskapen är mellanliggande mellan uttömbar av kompakta uppsättningar och σ-kompakt. Varje utrymme som kan tömmas av kompakta uppsättningar är hemikompakt och varje hemikompakt utrymme är σ-kompakt, men de omvända implikationerna håller inte. Till exempel Arens-Fort-utrymmet och Appert-utrymmet hemikompakta, men inte uttömbara av kompakta mängder (eftersom de inte är svagt lokalt kompakta), och mängden $\mathbb {Q}$ av rationella tal med den vanliga topologin är σ-kompakt, men inte hemikompakt.

Varje vanlig utrymme som kan tömmas av kompakta set är parakompakt .

Anteckningar

•   Leon Ehrenpreis , Theory of Distributions for Locally Compact Spaces , American Mathematical Society , 1982. ISBN 0-8218-1221-1 .
•   Hans Grauert och Reinhold Remmert , Theory of Stein Spaces , Springer Verlag (Classics in Mathematics), 2004. ISBN 978-3540003731 .
•   Lee, John M. (2011). Introduktion till topologiska grenrör (2:a uppl.). New York: Springer. ISBN 978-1-4419-7939-1 .

externa länkar

• "Utmattning av kompakta set" . PlanetMath .
• "Förekomst av utmattning av kompakta uppsättningar" . Matematik Stack Exchange .