Schurs teorem

I diskret matematik är Schurs sats någon av flera satser av matematikern Issai Schur . I differentialgeometri är Schurs sats en sats av Axel Schur . Inom funktionsanalys kallas Schurs sats ofta för Schurs egenskap , också på grund av Issai Schur.

Ramsey teori

I Ramsey-teorin säger Schurs teorem att för varje uppdelning av de positiva heltal i ett ändligt antal delar, innehåller en av delarna tre heltal x , y , z med

x+y=z.

För varje positivt heltal c anger S ( c ) det minsta talet S så att för varje partition av heltal $\{1,\ldots ,S(c)\}}$ displaystyle i c- delar innehåller en av delarna heltal x , y , och z med $x+y=z$ . Schurs teorem säkerställer att S ( c ) är väldefinierad för varje positivt heltal c . Siffrorna på formen S ( c ) kallas Schurs nummer .

Folkmans teorem generaliserar Schurs teorem genom att konstatera att det finns godtyckligt stora uppsättningar av heltal, vars icke-tomma summor tillhör samma del.

Med denna definition är de enda kända Schur-talen S ( n ) = 2, 5, 14, 45 och 161 ( OEIS : A030126 ) Beviset att S (5) = 161 tillkännagavs 2017 och tog upp 2 petabyte utrymme .

Kombinatorik

Inom kombinatorik berättar Schurs teorem antalet sätt att uttrycka ett givet tal som en (icke-negativ, heltal) linjär kombination av en fast uppsättning relativt primtal . I synnerhet om $\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ är en uppsättning heltal så att $\gcd(a_{1},\ldots ,a_{n})=1$ , antalet olika tuplar av icke-negativa heltal $(c_ {1},\ldots ,c_{n})$ så att $x=c_{1}a_{1}+\cdots +c_{n}a_ {n}$ när $x$ går till oändlighet är:

{\frac {x^{n-1}}{(n-1)!a_{1}\cdots a_{n}}}(1+o(1)).

Som ett resultat, för varje uppsättning relativt primtal $\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ finns det ett värde på $x$ så att varje större tal kan representeras som en linjär kombination av $\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ på minst ett sätt. Denna konsekvens av teoremet kan omarbetas i ett välbekant sammanhang med tanke på problemet med att ändra ett belopp med hjälp av en uppsättning mynt. Om valörerna på mynten är relativt primtal (som 2 och 5) så kan vilket tillräckligt stort belopp som helst ändras med endast dessa mynt. (Se Myntproblem .)

Differentialgeometri

Inom differentialgeometri jämför Schurs teorem avståndet mellan ändpunkterna för en rymdkurva $C^{*}$ med avståndet mellan ändpunkterna för en motsvarande plan kurva $C$ med mindre krökning .

Antag att $C(s)$ är en plan kurva med krökning $\kappa (s)$ som gör en konvex kurva när den stängs av ackordet som förbinder dess ändpunkter, och $C^{*}(s)$ är en kurva av samma längd med kurvatur $\kappa ^{*}(s)$ . Låt $d$ beteckna avståndet mellan ändpunkterna för $C$ och $d^{*}$ beteckna avståndet mellan ändpunkterna för $C^{*}$ . Om $\kappa ^{*}(s)\leq \kappa (s)$ så $d^{*}\geq d$ .

Schurs teorem anges vanligtvis för $C^{2}$ -kurvor, men John M. Sullivan har observerat att Schurs sats gäller kurvor med ändlig total krökning (påståendet är något annorlunda).

Linjär algebra

I linjär algebra hänvisas till Schurs sats som antingen triangularisering av en kvadratisk matris med komplexa poster, eller av en kvadratisk matris med reella poster och reella egenvärden .

Funktionsanalys

I funktionsanalys och studiet av Banach-utrymmen hänvisar Schurs sats, på grund av I. Schur , ofta till Schurs egenskap , att för vissa utrymmen innebär svag konvergens konvergens i normen.

Talteori

I talteorin visade Issai Schur 1912 att för varje icke-konstant polynom p ( x ) med heltalskoefficienter , om S är mängden av alla värden som inte är noll ${\displaystyle {\begin{Bmatrix }p(n)\neq 0:n\in \mathbb {N} \end{Bmatrix}}} ,$ då är uppsättningen primtal som delar någon medlem av S oändlig.

Se även

Schurs lemma (från Riemannsk geometri)

Herbert S. Wilf (1994). genererande funktionologi . Akademisk press.
Shiing-Shen Chern (1967). Kurvor och ytor i det euklidiska rymden. I studier i global geometri och analys. Prentice-Hall.
Issai Schur (1912). Über die Existenz unendlich vieler Primzahlen in einigen speziellen aritmetischen Progressionen, Sitzungsberichte der Berliner Math.

Vidare läsning

Dany Breslauer och Devdatt P. Dubhashi (1995). Kombinatorik för datavetare
John M. Sullivan (2006). Kurvor av ändlig total krökning . arXiv.