Koadjoint representation

Inom matematik är koadjointrepresentationen $displaystyle K}$ \ för en Lie-grupp G $\displaystyle G}$ dualen av adjointrepresentationen . Om ${\mathfrak {g}}$ betecknar Lie-algebra för $G$ , motsvarande åtgärd för $G$ på ${\mathfrak {g}}^{ *}$ , det dubbla utrymmet till ${\mathfrak {g}}$ , kallas coadjoint action . En geometrisk tolkning är handlingen genom vänsteröversättning på rymden av höger-invarianta 1-former på $G$ .

Vikten av coadjoint representation betonades av arbete av Alexandre Kirillov , som visade att för nilpotenta Lie grupper $G$ spelas en grundläggande roll i deras representationsteori av coadjoint orbits . I Kirillov-metoden för banor konstrueras representationer av ${\displaystyle G} geometriskt med utgångspunkt från coadjoint-banorna.$ I någon mening spelar de en ersättningsroll för konjugationsklasserna av ${\displaystyle G} ,$ vilket återigen kan vara komplicerat, medan banorna är relativt lätta att hantera.

Formell definition

Låt $G$ vara en Lie-grupp och ${\mathfrak {g}}$ vara dess Lie-algebra. Låt $\mathrm {Ad} :G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})$ beteckna den adjoint representationen av $G$ . Sedan coadjoint representationen $\mathrm {Ad} ^{*}:G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}^{*} )$ definieras av

$\langle \mathrm {Ad} _{g}^{*}\,\mu ,Y\rangle =\langle \ mu ,\mathrm {Ad} _{g^{-1}}Y\rangle$ för $g\in G,Y\in {\mathfrak {g }},\mu \in {\mathfrak {g}}^{*},$

där $\langle \mu ,Y\rangle$ anger värdet på den linjära funktionella $\mu$ på vektorn $Y$ .

Låt $\mathrm {ad} ^{*}$ beteckna representationen av Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ på ${\mathfrak {g}}^ {*}$ inducerad av coadjoint representationen av Lie-gruppen $G$ . Då lyder den infinitesimala versionen av den definierande ekvationen för ${\displaystyle \mathrm {Ad} ^{*}} :$

$\langle \mathrm {ad} _{X}^{*}\mu ,Y\rangle =\langle \mu ,-\mathrm {ad} _{X}Y\rangle =-\langle \mu ,[X,Y]\rangle$ för ${ \displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}},\mu \in {\mathfrak {g}}^{*}}$

där $\mathrm {ad}$ är den adjoint representationen av Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ .

Koadjoint bana

En coadjoint bana ${\mathcal {O}}_{\mu }$ för $\mu$ i det dubbla rymden ${\mathfrak {g}}^{*}$ av ${\mathfrak {g}}$ kan definieras antingen extrinsiskt, som den faktiska omloppsbanan $\mathrm {Ad} _{G}^{*}\mu$ inuti ${\mathfrak {g}}^{*}$ , eller i sig som det homogena utrymmet $G/G_{\mu }$ där $G_{\mu }$ är stabilisatorn för $\mu$ med avseende på koadjointverkan ; denna distinktion är värd att göra eftersom inbäddningen av omloppsbanan kan vara komplicerad.

Koadjointbanorna är undergrenar av ${\mathfrak {g}}^{*}$ och bär en naturlig symplektisk struktur. På varje bana ${\mathcal {O}}_{\mu }$ finns en sluten icke-degenererad $G$ -invariant 2-form ${\ displaystyle \omega \in \Omega ^{2}({\mathcal {O}}_{\mu })}$ ärvt från ${\mathfrak {g}}$ på följande sätt:

$\omega _{\nu }(\mathrm {ad} _{X}^{*}\nu ,\mathrm {ad} _{Y}^{*}\nu ):=\langle \nu ,[X,Y]\rangle ,\nu \in { \mathcal {O}}_{\mu },X,Y\in {\mathfrak {g}}$ .

Den väldefinierade, icke-degenererade och $G$ -invariansen av $\omega$ följer av följande fakta:

(i) Tangentrummet ${\displaystyle \mathrm {T} _{\nu }{\mathcal {O}}_{\mu }=\ {-\mathrm {ad} _{X}^{*}\nu :X\in {\mathfrak {g}}\}} kan identifieras med g / g ν {\displaystyle {\$ mathfrak $/ {\mathfrak {g}}_{\nu }}$ , där ${\mathfrak {g}}_{\nu }$ är Lie-algebra för $G_{\nu }$ .

(ii) Kärnan i kartan $X\mapsto \langle \nu ,[X,\cdot ]\rangle$ är exakt ${\mathfrak { g}}_{\nu }$ .

(iii) Den bilinjära formen $\langle \nu ,[\cdot ,\cdot ]\rangle$ på ${\mathfrak {g}}$ är invariant under $G_{\nu }$ .

$\omega$ är också stängd . Den kanoniska 2-formen $\omega$ hänvisas ibland till som Kirillov-Kostant-Souriau symplektiska form eller KKS-form på coadjoint-banan.

Egenskaper hos koadjoint-banor

Koadjointverkan på en koadjoint bana $({\mathcal {O}}_{\mu },\omega )$ är en Hamiltonsk $G$ -aktion med momentumkarta given av inkluderingen ${\mathcal {O}}_{\mu }\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$ .

Se även

• Borel–Bott–Weils sats , för $G$ en kompakt grupp
• Kirillov karaktärsformel
• Kirillov omloppsteori

•     Kirillov, AA , Lectures on the Orbit Method , Graduate Studies in Mathematics , Vol. 64, American Mathematical Society, ISBN 0821835300 , ISBN 978-0821835302

externa länkar

• "Coadjoint orbit" . PlanetMath .