Riesz potential

Inom matematiken är Riesz -potentialen en potential uppkallad efter dess upptäckare, den ungerske matematikern Marcel Riesz . På sätt och vis definierar Riesz-potentialen en invers för en kraft hos Laplace-operatören på det euklidiska rymden. De generaliserar Riemann-Liouville-integralerna av en variabel till flera variabler.

Definition

Om 0 < α < n , så är Riesz-potentialen I _α f för en lokalt integrerbar funktion f på R ⁿ den funktion som definieras av

$(I_{\alpha }f)(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\ frac {f(y)}{|xy|^{n-\alpha }}}\,\mathrm {d} y$

 

 

 

 

()

där konstanten ges av

$c_{\alpha }=\pi ^{n/2}2^{\alpha }{\frac {\Gamma (\alpha /2)}{\Gamma ((n-\alpha )/2)} }.$

Denna singularintegral är väldefinierad förutsatt att f avklingar tillräckligt snabbt i oändligheten, speciellt om f ∈ L ^p ( R ⁿ ) med 1 ≤ p < n / α . Faktum är att för alla 1 ≤ p ( p >1 är klassiskt, på grund av Sobolev, medan för p =1 se ( Schikorra, Spector & Van Schaftingen ) ) ), sönderfallshastigheten för f och det för I _α f är relaterade i form av en ojämlikhet ( Hardy-Littlewood-Sobolev-ojämlikheten )

$\|I_{\alpha }f\|_{p^{*}}\leq C_ {p}\|Rf\|_{p},\quad p^{*}={\frac {np}{n-\alpha p}},$

där $Rf=DI_{1}f$ är den vektorvärderade transformen . Mer generellt är operatorerna I _α väldefinierade för komplex α så att 0 < Re α < n .

Riesz-potentialen kan definieras mer allmänt i en svag mening som faltningen

$I_{\alpha }f=f*K_{\alpha }$

där K _α är den lokalt integrerbara funktionen:

$K_{\alpha }(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}{\frac {1}{|x|^{n-\alpha }}}.$

Riesz-potentialen kan därför definieras närhelst f är en fördelning med kompakt stöd. I detta sammanhang är Riesz-potentialen för ett positivt Borelmått μ med kompakt stöd främst av intresse i potentialteorin eftersom I _α μ då är en (kontinuerlig) subharmonisk funktion utanför stödet av μ, och är lägre halvkontinuerlig på hela R ⁿ .

Övervägande av Fouriertransformen avslöjar att Riesz-potentialen är en Fouriermultiplikator . Det har man faktiskt

${\widehat {K_{\alpha }}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{\alpha }(x)e^{-2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} x=|2\pi \xi |^{-\alpha }$

och så, genom faltningssatsen ,

${\widehat {I_{\alpha }f}}(\xi )=|2\pi \xi |^{-\alpha }{\hat {f}}(\xi ).$

Riesz-potentialerna uppfyller följande semigroup- egenskap på till exempel snabbt minskande kontinuerliga funktioner

$I_{\alpha }I_{\beta }=I_{\alpha +\beta }$

försedd

$0<\operatörsnamn {Re} \alpha ,\operatörsnamn {Re} \beta <n,\quad 0<\operatörsnamn {Re} (\alpha +\beta )<n.$

Dessutom, om 0 < Re α < n –2 , då

$\Delta I_{\alpha +2}=I_{\alpha +2}\Delta =-I_{\alpha }.$

Man har också, för denna klass av funktioner,

$\lim _{\alpha \to 0^{+}}(I_{\alpha }f)(x)=f(x).$

Se även

• Bessel potential
• Fraktionerad integration
• Sobolev utrymme

Anteckningar

•   Landkof, NS (1972), Grunder för modern potentialteori , Berlin, New York: Springer-Verlag , MR 0350027
•    Riesz, Marcel (1949), "L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy", Acta Mathematica , 81 : 1–223, doi : 10.1007/BF02395016 , ISSN 0001-50962 001-5012 0 , 301 MR 223 .
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Riesz potential" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
•   Schikorra, Armin; Spector, Daniel; Van Schaftingen, Jean (2014), En $L^{1}$ -typ uppskattning för Riesz potentialer , arXiv : 1411.2318 , doi : 10.4171/rmi/937 , S2CID 55497245
•   Stein, Elias (1970), Singular integraler och funktioners differentiabilitetsegenskaper , Princeton, NJ: Princeton University Press , ISBN 0-691-08079-8
• Samko, Stefan G. (1998), "A new approach to the inversion of the Riesz potential operator" (PDF) , Fractional Calculus and Applied Analysis , 1 (3): 225–245