Bessel potential

Inom matematiken är Bessel -potentialen en potential (uppkallad efter Friedrich Wilhelm Bessel ) som liknar Riesz-potentialen men med bättre sönderfallsegenskaper i oändligheten.

Om s är ett komplext tal med positiv reell del så är Besselpotentialen för order s operatorn

(I-\Delta )^{-s/2}

där Δ är Laplace-operatorn och bråkpotentialen definieras med hjälp av Fourier-transformer.

Yukawa-potentialer är särskilda fall av Bessel-potentialer för $s=2$ i det 3-dimensionella rummet.

Representation i Fourierrymden

Besselpotentialen verkar genom multiplikation på Fouriertransformerna : för varje $\xi \in \mathbb {R} ^{d}$

{\mathcal {F}}((I-\Delta )^{-s/2}u)(\xi )={\frac {{\mathcal {F}}u(\xi )}{( 1+4\pi ^{2}\vert \xi \vert ^{2})^{s/2}}}.

När ${\displaystyle s>0} kan$ Besselpotentialen på $\mathbb {R} ^{d}$ representeras av

(I-\Delta )^{-s/2}u=G_{s}\ast u,

där Bessel-kärnan $G_{s}$ definieras för $x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}$ av integralen formel

G_{s}(x)={\frac {1}{(4\pi )^{s/2}\Gamma (s/2)}}\int _{0}^{\infty }{ \frac {e^{-{\frac {\pi \vert x\vert ^{2}}{y}}-{\frac {y}{4\pi }}}}{y^{1+{\ frac {ds}{2}}}}}\,\mathrm {d} y.

Här betecknar $\Gamma$ Gamma-funktionen . Bessel-kärnan kan också representeras för $x\in \mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}$ av

G_{s}(x)={\frac {e^{-\vert x\vert }}{(2\pi )^{\frac {d-1}{2}}2^{\frac {s}{2}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\Gamma ({\frac {d-s+1}{2}})}}\int _{0}^{\ infty }e^{-\vert x\vert t}{\Big (}t+{\frac {t^{2}}{2}}{\Big )}^{\frac {ds-1}{2} }\,\mathrm {d} t.

Detta sista uttryck kan skrivas mer kortfattat i termer av en modifierad Bessel-funktion , för vilken potentialen har fått sitt namn:

G_{s}(x)={\frac {1}{2^{(s-2)/2}(2\pi )^{d/2}\Gamma ({\frac {s}{ 2}})}}K_{(ds)/2}(\vert x\vert )\vert x\vert ^{(sd)/2}.

Vid ursprunget har man som $\vert x\vert \to 0$ ,

G_{s}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {ds}{2}})}{2^ {s}\pi ^{s/2}\vert x\vert ^{ds}}}(1+o(1))\quad {\text{ if }}0<s<d,

G_{d}(x)={\frac {1}{2^{d-1}\pi ^{d/2}}}\ln {\frac { 1}{\vert x\vert }}(1+o(1)),

G_{s}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {sd}{2}})}{2^{s}\pi ^{s/2}}}(1+o (1))\quad {\text{ if }}s>d.

I synnerhet när $0<s<d$ beter sig Bessel-potentialen asymptotiskt som Riesz-potentialen .

I oändligheten har man, som $\vert x\vert \to \infty$ ,

G_{s}(x)={\frac {e^{-\vert x\vert }}{2^{\frac {d+s-1}{2}}\pi ^{\frac { d-1}{2}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\vert x\vert ^{\frac {d+1-s}{2}}}}(1+o(1 ))