Rangordna i rang
I mängdlära , en gren av matematik , är en rang-till-rang- inbäddning en stor kardinalegenskap som definieras av ett av följande fyra axiom som ges i ordningsföljd av ökande konsistensstyrka. (En uppsättning av rang < λ är ett av elementen i mängden V λ i von Neumann-hierarkin .)
- Axiom I3: Det finns en icke-trivial elementär inbäddning av V λ i sig själv.
- Axiom I2: Det finns en icke-trivial elementär inbäddning av V i en transitiv klass M som inkluderar V λ där λ är den första fasta punkten ovanför den kritiska punkten .
- Axiom I1: Det finns en icke-trivial elementär inbäddning av V λ+1 i sig själv.
- Axiom I0: Det finns en icke-trivial elementär inbäddning av L(V λ+1 ) i sig själv med en kritisk punkt under λ.
Dessa är i huvudsak de starkaste kända stora kardinalaxiomen som inte är kända för att vara inkonsekventa i ZFC ; axiomet för Reinhardts kardinaler är starkare, men överensstämmer inte med valets axiom .
Om j är den elementära inbäddningen som nämns i ett av dessa axiom och κ är dess kritiska punkt , då är λ gränsen för när n går till ω. Mer generellt, om valets axiom gäller, är det bevisbart att om det finns en icke-trivial elementär inbäddning av V α i sig själv så är α antingen en limitordinal av kofinalitet ω eller efterföljaren till en sådan ordinal.
Axiomen I0, I1, I2 och I3 misstänktes först vara inkonsekventa (i ZFC) eftersom det ansågs möjligt att Kunens inkonsekvenssats att Reinhardts kardinaler är inkonsekventa med valets axiom kunde utvidgas till dem, men detta har inte hände ändå och de anses nu vanligtvis vara konsekventa.
Varje I0 kardinal κ (på tal om den kritiska punkten i j ) är en I1 kardinal.
Varje I1-kardinal κ (ibland kallad ω-stora kardinaler) är en I2-kardinal och har en stationär uppsättning I2-kardinaler under sig.
Varje I2-kardinal κ är en I3-kardinal och har en stationär uppsättning I3-kardinaler under sig.
Varje I3-kardinal κ har en annan I3-kardinal ovanför sig och är en n - enorm kardinal för varje n <ω.
Axiom I1 antyder att V λ+1 (motsvarande H(λ + )) inte uppfyller V= HOD . Det finns ingen uppsättning S⊂λ definierbar i V λ+1 (även från parametrarna V λ och ordningstal <λ + ) med S cofinal i λ och |S|<λ, det vill säga inga sådana S vittnar om att λ är singular. Och på liknande sätt för Axiom I0 och ordinaldefinierbarhet i L(V λ+1 ) (även från parametrar i V λ ). Men globalt, och även i V λ , är V=HOD relativt konsekvent med Axiom I1.
Lägg märke till att I0 ibland förstärks ytterligare genom att lägga till ett "Icarus set", så att det skulle bli det
- Axiom Icarus-uppsättning: Det finns en icke-trivial elementär inbäddning av L(V λ+1 , Icarus) i sig själv med den kritiska punkten under λ.
Icarus-mängden ska vara i V λ+2 − L(V λ+1 ) men vald för att undvika att skapa en inkonsekvens. Så till exempel kan den inte koda en välordning av V λ+1 . Se avsnitt 10 i Dimonte för mer information.
Anteckningar
- Dimonte, Vincenzo (2017), "I0 and rank-to-rank axioms", arXiv : 1707.02613 [ math.LO ] .
- Gaifman, Haim (1974), "Elementära inbäddningar av modeller för mängdteori och vissa underteorier", Axiomatic mängdteori , Proc. Sympos. Pure Math., vol. XIII, del II, Providence RI: Amer. Matematik. Soc., s. 33–101, MR 0376347
- Kanamori, Akihiro (2003), The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (2nd ed.), Springer, ISBN 3-540-00384-3 .
- Laver, Richard (1997), "Implications between strong large cardinal axioms", Ann. Ren appl. Logic , 90 (1-3): 79-90, doi : 10.1016/S0168-0072(97)00031-6 , MR 1489305 .
- Solovay, Robert M. ; Reinhardt, William N.; Kanamori, Akihiro (1978), "Strong axioms of infinity and elementary embeddings", Annals of Mathematical Logic , 13 (1): 73–116, doi : 10.1016/0003-4843(78)90031-1 .