Kunens inkonsekvenssats
Inom mängdlära visar en gren av matematiken, Kunens inkonsekvenssats , bevisad av Kenneth Kunen ( 1971 ), att flera rimliga stora kardinalaxiom är oförenliga med valets axiom .
Några konsekvenser av Kunens teorem (eller dess bevis) är:
- Det finns ingen icke-trivial elementär inbäddning av universum V i sig själv. Det finns med andra ord ingen Reinhardt-kardinal .
- Om j är en elementär inbäddning av universum V i en inre modell M , och λ är den minsta fixerade punkten av j ovanför den kritiska punkten κ av j , så innehåller M inte mängden j "λ (bilden av j begränsad till λ).
- Det finns ingen ω-stor kardinal .
- Det finns ingen icke-trivial elementär inbäddning av V λ+2 i sig själv.
Det är inte känt om Kunens teorem fortfarande gäller i ZF (ZFC utan valets axiom), även om Suzuki (1999) visade att det inte finns någon definierbar elementär inbäddning från V till V . Det vill säga att det inte finns någon formel J i mängdteorin så att för någon parameter p ∈ V för alla mängder x ∈ V och y ∈ V :
Kunen använde Morse–Kelley mängdteori i sitt bevis. Om beviset skrivs om för att använda ZFC, måste man lägga till antagandet att ersättning gäller för formler som involverar j . Annars skulle man inte ens kunna visa att j "λ existerar som en mängd. Den förbjudna mängden j "λ är avgörande för beviset. Beviset visar först att det inte kan vara i M . De andra delarna av satsen är härledda från det.
Det är möjligt att ha modeller för mängdteori som har elementära inbäddningar i sig själva, åtminstone om man antar några milda stora kardinalaxiom. Till exempel, om 0# existerar så finns det en elementär inbäddning från det konstruerbara universum L i sig själv. Detta motsäger inte Kunens sats eftersom om 0# finns så L inte vara hela universum av mängder.
Se även
- Kanamori, Akihiro (2003), The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings , Springer Monographs in Mathematics (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-540-88867 -3 , ISBN 978-3-540-00384-7
- Kunen, Kenneth (1971), "Elementary embeddings and infinitary combinatorics", Journal of Symbolic Logic , 36 (3): 407–413, doi : 10.2307/2269948 , JSTOR 2269948 , MR 0311248ID 6 9 , S9112478 6
- Suzuki, Akira (1999), "Ingen elementär inbäddning från V till V är definierbar från parametrar", Journal of Symbolic Logic , 64 (4): 1591–1594, doi : 10.2307/2586799 , ISSN 0022-4812 , 67STOR 925 , 67STOR 925 1780073 , S2CID 40967369
- Zapletal, Jindřich (1996), "A new proof of Kunens inconsistency", Proceedings of the American Mathematical Society , 124 ( 7): 2203–2204, doi : 10.1090/S0002-9939-96-03291-9092 ISSN - 3002 MR 1317054 _