Ortogonal våg

En ortogonal wavelet är en wavelet vars tillhörande wavelettransform är ortogonal . Det vill säga, den inversa wavelet-transformen är anslutningen till wavelet-transformen. Om detta tillstånd försvagas kan man sluta med biortogonala vågor .

Grunderna

Skalningsfunktionen är en förfinningsbar funktion . Det vill säga, det är en fraktal funktionekvation , kallad förfiningsekvationen ( tvillingskalrelation eller dilatationsekvation ):

$\phi (x)=\summa _{k=0}^{N-1}a_{k}\phi ( 2x-k)$ ,

där sekvensen $(a_{0},\dots ,a_{N-1})$ av reella tal kallas en skalningssekvens eller skalningsmask. Den egentliga waveleten erhålls genom en liknande linjär kombination,

$\psi (x)=\summa _{k=0}^{M-1}b_{k}\phi ( 2x-k)$ ,

där sekvensen $(b_{0},\dots ,b_{M-1})$ av reella tal kallas en wavelet-sekvens eller wavelet-mask.

Ett nödvändigt villkor för vågornas ortogonalitet är att skalningssekvensen är ortogonal mot eventuella förskjutningar av den med ett jämnt antal koefficienter:

$\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}a_{n+2m}=2\delta _{m, 0}$ ,

där $\delta _{m,n}$ är Kroneckerdeltat .

I detta fall finns det samma antal M=N koefficienter i skalningen som i waveletsekvensen, waveletsekvensen kan bestämmas som $b_{n} =(-1)^{n}a_{N-1-n}$ . I vissa fall väljs det motsatta tecknet.

Försvinnande moment, polynomapproximation och jämnhet

En nödvändig förutsättning för att det ska finnas en lösning på förfiningsekvationen är att det finns ett positivt heltal A så att (se Z-transform ):

$(1+Z)^{A}|a(Z):=a_{0}+a_{1}Z+\dots +a_{N-1}Z^{N-1}.$

Den maximalt möjliga potensen A kallas polynom approximationsordning (eller pol. app. potens) eller antal försvinnande moment . Den beskriver förmågan att representera polynom upp till grad A -1 med linjära kombinationer av heltalsöversättningar av skalningsfunktionen.

motsvarar en approximationsordning A av $\phi$ A försvinnande moment för den dubbla vågen ${\displaystyle {\tilde {\psi }}} ,$ det vill säga skalärprodukterna av ${\tilde {\psi }}$ med vilket polynom som helst upp till grad A-1 är noll. I motsatt riktning är approximationsordningen à av ${\tilde {\phi }}$ ekvivalent med à försvinnande moment av $\psi$ . I det ortogonala fallet sammanfaller A och à .

Ett tillräckligt villkor för existensen av en skalningsfunktion är följande: om man bryter ner $a(Z)=2^{1-A }(1+Z)^{A}p(Z)$ och uppskattningen

$1\leq \sup _{t\in [0,2\pi ]}\left|p(e^{it})\right|<2^{A-1 -n},$

gäller för några $n\in \mathbb {N}$ , då har förfiningsekvationen en n gånger kontinuerligt differentierbar lösning med kompakt stöd.

Exempel

• Antag att $p(Z)=1$ sedan $a(Z)=2^{1-A}(1 +Z)^{A}$ , och uppskattningen gäller för n = A -2. Lösningarna är Schönbergs B-splines av ordningen A -1, där ( A -1)-th derivatan är styckevis konstant, således är ( A -2)-th derivatan Lipschitz-kontinuerlig . A =1 motsvarar enhetsintervallets indexfunktion.

• A =2 och p linjär kan skrivas som

${\displaystyle a(Z)={\frac {1}{4}}(1+Z)^{2}((1+Z)+c(1-Z)).} Expansion av$

denna grad 3 polynom och infogning av de 4 koefficienterna i ortogonalitetsvillkoret resulterar i $c^{2}=3.$ Den positiva roten ger skalningssekvensen för D4-vågen, se nedan.

• Ingrid Daubechies : Ten Lectures on Wavelets , SIAM 1992.
• Proc. Första NJIT-symposiet om wavelets, subband och transformationer, april 1990.