Problem med numeriska tecken

I tillämpad matematik är det numeriska teckenproblemet problemet med att numeriskt utvärdera integralen av en mycket oscillerande funktion av ett stort antal variabler. Numeriska metoder misslyckas på grund av att de positiva och negativa bidragen till integralen nästan elimineras. Var och en måste integreras med mycket hög precision för att deras skillnad ska uppnås med användbar noggrannhet .

Teckenproblemet är ett av de stora olösta problemen i många partikelsystems fysik . Det uppstår ofta i beräkningar av egenskaperna hos ett kvantmekaniskt system med ett stort antal starkt interagerande fermioner , eller i fältteorier som involverar en icke-noll täthet av starkt interagerande fermioner.

Översikt

Inom fysiken påträffas teckenproblemet typiskt (men inte uteslutande) i beräkningar av egenskaperna hos ett kvantmekaniskt system med ett stort antal starkt interagerande fermioner, eller i fältteorier som involverar en densitet som inte är noll av starkt interagerande fermioner. Eftersom partiklarna interagerar starkt störningsteorin otillämplig, och man tvingas använda brute-force numeriska metoder. Eftersom partiklarna är fermioner ändrar deras vågfunktion tecken när två valfria fermioner byts ut (på grund av vågfunktionens antisymmetri, se Pauli-principen ). Så om det inte finns annulleringar som härrör från någon symmetri i systemet, involverar den kvantmekaniska summan över alla multipartikeltillstånd en integral över en funktion som är mycket oscillerande, därför svår att utvärdera numeriskt, särskilt i hög dimension. Eftersom dimensionen av integralen ges av antalet partiklar, blir teckenproblemet allvarligt i den termodynamiska gränsen . Den fältteoretiska manifestationen av teckenproblemet diskuteras nedan.

Teckenproblemet är ett av de största olösta problemen i många partikelsystems fysik, vilket hindrar framsteg på många områden:

Fysik av kondenserad materia — Den förhindrar den numeriska lösningen av system med hög densitet av starkt korrelerade elektroner, såsom Hubbard-modellen .
Kärnfysik – Det förhindrar ab initio beräkning av egenskaper hos kärnämne och begränsar därför vår förståelse av kärnor och neutronstjärnor .
Kvantfältteori — Den förhindrar användningen av gitter QCD för att förutsäga faserna och egenskaperna hos kvarkmateria . (I gitterfältsteorin är problemet också känt som det komplexa åtgärdsproblemet .)

Teckenproblemet i fältteorin

I ett fältteoretiskt tillvägagångssätt för flerpartikelsystem styrs fermiondensiteten av värdet på den kemiska fermionpotentialen $\mu$ . Man utvärderar partitionsfunktionen $Z$ genom att summera alla klassiska fältkonfigurationer, viktade med $\exp(-S)$ , där $S$ är åtgärden för konfiguration. Summan över fermionfält kan utföras analytiskt, och man lämnar en summa över de bosoniska fälten $\sigma$ (som ursprungligen kan ha varit en del av teorin, eller har producerats av en Hubbard–Stratonovich-transformation till gör fermionverkan kvadratisk)

Z=\int D\sigma \,\rho [\sigma ],

där $D\sigma$ representerar måttet för summan över alla konfigurationer $\sigma (x)$ av de bosoniska fälten, viktade med

\rho [\sigma ]=\det(M(\mu,\sigma ))\exp(- S[\sigma ]),

där $S$ nu är verkan av de bosoniska fälten, och $M(\mu ,\sigma )$ är en matris som kodar för hur fermionerna kopplades till bosonerna. Förväntningsvärdet för en observerbar $A[\sigma ]$ är därför ett medelvärde över alla konfigurationer viktade med $\rho [\sigma ]$ :

\langle A\rangle _{\rho }={\frac {\int D\sigma \,A[\sigma ]\,\rho [\sigma ]}{\int D\sigma \,\rho [ \sigma ]}}.

Om $\rho [\sigma ]$ är positivt, så kan det tolkas som ett sannolikhetsmått, och $\langle A\rangle _{\rho }$ kan beräknas genom att utföra summa över fältkonfigurationer numeriskt, med hjälp av standardtekniker som Monte Carlo-viktighetssampling .

Teckenproblemet uppstår när $\rho [\sigma ]$ är icke-positiv. Detta inträffar vanligtvis i teorier om fermioner när den kemiska fermionpotentialen $\mu$ är icke-noll, dvs när det finns en bakgrundstäthet av fermioner som inte är noll. Om $\mu \neq 0$ finns det ingen partikel-antipartikelsymmetri, och $\det(M(\mu ,\sigma ))$ , och därmed vikten ${\displaystyle \rho (\sigma )} ,$ är i allmänhet ett komplext tal, så Monte Carlo-viktighetssampling kan inte användas för att utvärdera integralen.

Omviktningsprocedur

En fältteori med en icke-positiv vikt kan omvandlas till en med en positiv vikt genom att inkorporera den icke-positiva delen (tecken eller komplex fas) av vikten i det observerbara. Till exempel skulle man kunna dekomponera viktningsfunktionen i dess modul och fas:

\rho [\sigma ]=p[\sigma ]\,\exp(i\theta [\sigma ]),

där $p[\sigma ]$ är verklig och positiv, alltså

\langle A\rangle _{\rho }={\frac {\int D\sigma A[\sigma ]\exp(i\theta [\sigma ])\,p[\sigma ]}{\int D\sigma \exp(i\theta [\sigma ])\,p[\sigma ]}}={\frac {\langle A[\sigma ]\exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{ p}}{\langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}}}.

Observera att det önskade förväntade värdet nu är ett förhållande där täljaren och nämnaren är förväntade värden som båda använder en positiv viktningsfunktion $p[\sigma ]$ . Fasexp $\exp(i\theta [\sigma ])$ är dock en mycket oscillerande funktion i konfigurationsutrymmet, så om man använder Monte Carlo-metoder för att utvärdera täljaren nämnare, kommer var och en av dem att utvärderas till ett mycket litet antal, vars exakta värde översvämmas av bruset som är inneboende i Monte Carlo-provtagningsprocessen. Teckenproblemets "dålighet" mäts av nämnarens litenhet $\langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}$ : om det är mycket mindre än 1 är teckenproblemet allvarligt. Det kan man visa

\langle \exp(i\theta [\sigma ])\rangle _{p}\propto \exp( -fV/T),

där $V$ är systemets volym, $T$ är temperaturen och $f$ är en energitäthet. Antalet Monte Carlo-provtagningspunkter som behövs för att erhålla ett korrekt resultat ökar därför exponentiellt när systemets volym blir stor och när temperaturen går till noll.

Nedbrytningen av viktningsfunktionen i modul och fas är bara ett exempel (även om det har förespråkats som det optimala valet eftersom det minimerar nämnarens varians). I allmänhet skulle man kunna skriva

\rho [\sigma ]=p[\sigma ]{\frac {\rho [\sigma ]}{p[\sigma ] }},

där $p[\sigma ]$ kan vara vilken positiv viktningsfunktion som helst (till exempel viktningsfunktionen för $\mu =0$ -teorin). Dåligheten av skyltproblemet mäts sedan med

\left\langle {\frac {\rho [\sigma ]}{p[\sigma ]}}\right \rangle _{p}\propto \exp(-fV/T),

som återigen går till noll exponentiellt i gränsen för stora volymer.

Metoder för att minska teckenproblemet

Teckenproblemet är NP-hårt , vilket innebär att en fullständig och generisk lösning av teckenproblemet också skulle lösa alla problem i komplexitetsklassen NP i polynomtid. Om (som allmänt misstänks) det inte finns några polynom-tidslösningar på NP-problem (se P kontra NP-problem ), så finns det ingen generisk lösning på teckenproblemet. Detta lämnar möjligheten öppen att det kan finnas lösningar som fungerar i specifika fall, där integrandens svängningar har en struktur som kan utnyttjas för att minska de numeriska felen.

I system med måttligt teckenproblem, såsom fältteorier vid tillräckligt hög temperatur eller i tillräckligt liten volym, är teckenproblemet inte alltför allvarligt och användbara resultat kan erhållas med olika metoder, såsom mer noggrant avstämd omviktning, analytisk fortsättning från imaginär $\mu$ till verklig $\mu$ , eller Taylorexpansion i potenser $\mu$ .

Det finns olika förslag för att lösa system med ett allvarligt teckenproblem:

Meron -klusteralgoritmer. Dessa uppnår en exponentiell hastighet genom att bryta ner fermionvärldslinjerna i kluster som bidrar oberoende. Klusteralgoritmer har utvecklats för vissa teorier, men inte för Hubbard-modellen av elektroner, och inte heller för QCD , teorin om kvarkar.
Stokastisk kvantisering . Summan över konfigurationer erhålls som jämviktsfördelningen av tillstånd som utforskas av en komplex Langevin-ekvation . Hittills har algoritmen visat sig undvika teckenproblemet i testmodeller som har teckenproblem men inte involverar fermioner.
Metod med fast nod. Man fixar placeringen av noder (nollor) för multipartikelvågfunktionen och använder Monte Carlo-metoder för att erhålla en uppskattning av energin i grundtillståndet, med förbehåll för denna begränsning.
Majorana-algoritmer. Att använda Majorana fermionrepresentation för att utföra Hubbard-Stratonovich-transformationer kan hjälpa till att lösa fermionteckenproblemet för en klass av fermioniska mångakroppsmodeller.
Diagrammatisk Monte Carlo - baserad på stokastiskt och strategiskt urval av Feynman-diagram

Se även

Fotnoter