Oscillerande integral

I matematisk analys är en oscillerande integral en typ av distribution . Oscillerande integraler ger rigorösa många argument som, på en naiv nivå, verkar använda divergerande integraler. Det är möjligt att representera approximativa lösningsoperatorer för många differentialekvationer som oscillerande integraler.

Definition

En oscillerande integral $f(x)$ skrivs formellt som

$f(x)=\int e^{i\phi (x,\xi )}\,a( x,\xi )\,\mathrm {d} \xi ,$

där $\phi (x,\xi )$ och $a(x,\xi)$ är funktioner definierade på ${\ displaystyle \mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N}}$ med följande egenskaper:

1. Funktionen $\phi$ är reellt värderad, positiv-homogen av grad 1 och oändligt differentierbar bort från $\{\xi =0\}$ . Vi antar också att $\phi$ inte har några kritiska punkter på stödet för $a$ . En sådan funktion, $\phi$ brukar kallas en fasfunktion . I vissa sammanhang betraktas mer generella funktioner som fortfarande kallas fasfunktioner.
2. Funktionen $a$ tillhör en av symbolklasserna $S_{1,0}^{m}(\mathbb {R} _{x }^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N})$ för vissa $m\in \mathbb {R}$ . Intuitivt generaliserar dessa symbolklasser uppfattningen om positivt homogena funktioner av graden $m$ . Som med fasfunktionen $\phi$ , i vissa fall anses funktionen $a$ vara i mer allmänna eller bara olika klasser.

När $m<-N$ , konvergerar den formella integralen som definierar $f(x)$ för alla $x$ , och det finns inget behov av någon ytterligare diskussion om definitionen av $f(x)$ . Men när $m\geq -N$ , definieras den oscillerande integralen fortfarande som en fördelning på ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ,$ även om integralen kanske inte konvergerar . I detta fall definieras fördelningen ${\displaystyle f(x)} genom att använda det faktum att$${\displaystyle a(x ,\xi )\in S_{1,0}^{m}(\mathbb {R} _{x}^{n}\times \mathrm {R} _{\xi }^{N})} kan$ vara approximeras av funktioner som har exponentiellt förfall i $\xi$ . Ett möjligt sätt att göra detta är genom att ställa in

$f(x)=\lim \limits _{\epsilon \to 0^{+}}\int e^{i\phi (x,\xi )}\,a(x ,\xi )e^{-\epsilon |\xi |^{2}/2}\,\mathrm {d} \xi ,$

där gränsen tas i betydelsen tempererade distributioner . Genom att använda integrering av delar är det möjligt att visa att denna gräns är väldefinierad och att det finns en differentialoperator $L$ så att den resulterande fördelningen $f(x)$ verkar på någon $\psi$ i Schwartz-utrymmet ges av

$\langle f,\psi \rangle =\int e^{ i\phi (x,\xi )}L{\big (}a(x,\xi)\,\psi (x){\big )}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} \xi ,$

där denna integral konvergerar absolut. Operatören $L$ är inte unikt definierad, men kan väljas på ett sådant sätt som endast beror på fasfunktionen ${\displaystyle \phi } ,$ ordningen $m$ av symbolen ${\ displaystyle a}$ och $N$ . I själva verket, givet vilket heltal ${\displaystyle M} som helst$ , är det möjligt att hitta en operator $L$ så att integranden ovan begränsas av $C(1) +|\xi |)^{-M}$ för $|\xi |$ tillräckligt stor. Detta är huvudsyftet med definitionen av symbolklasserna.

Exempel

Många välbekanta distributioner kan skrivas som oscillerande integraler.

Fourierinversionssatsen innebär att deltafunktionen , $\delta (x)$ är lika med

${\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }\,\mathrm {d } \xi .$

Om vi ​​tillämpar den första metoden för att definiera denna oscillerande integral från ovan, såväl som Fouriertransformen av Gaussian , får vi en välkänd sekvens av funktioner som approximerar deltafunktionen:

$\delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }e^{-\varepsilon |\xi |^{2}/2}\mathrm {d} \xi =\lim _{\varepsilon \to 0^{ +}}{\frac {1}{({\sqrt {2\pi \varepsilon }})^{n}}}e^{-|x|^{2}/(2\varepsilon )}.$

En operator $L$ i detta fall ges till exempel av

$L={\frac {(1-\Delta _{x})^{k}}{(1+|\xi |^{2})^{k}}},$

där $\Delta _{x}$ är Laplacian med avseende på $x$ -variablerna, och $k$ är vilket heltal som helst som är större än $(n-1)/2$ . Med denna $L$ har vi faktiskt

$\langle \delta ,\psi \rangle =\psi (0)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi}L( \psi )(x,\xi )\,\mathrm {d} \xi \,\mathrm {d} x,$

och denna integral konvergerar absolut.

Schwartz -kärnan för vilken differentialoperator som helst kan skrivas som en oscillerande integral. Verkligen om

$L=\sum \limits _{|\alpha |\leq m}p_{\alpha }(x)D^{\alpha },$

där ${\displaystyle D^{\alpha }=\partial _{x}^{\alpha }/i^{|\alpha |}} , då ges$ kärnan i ${\displaystyle L} av$

${\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\xi \cdot (xy)}\sum \ gränser _{|\alpha |\leq m}p_{\alpha }(x)\,\xi ^{\alpha }\,\mathrm {d} \xi .$

Relation till lagrangiska distributioner

Varje lagrangisk fördelning kan representeras lokalt av oscillerande integraler, se Hörmander (1983) . Omvänt är varje oscillerande integral en lagrangisk fördelning. Detta ger en exakt beskrivning av de typer av fördelningar som kan representeras som oscillerande integraler.

Se även

• Riemann–Lebesgue-lemma
• van der Corput lemma

•   Hörmander , Lars (1983), The Analysis of Linear Partial Differential Operators IV , Springer-Verlag, ISBN 0-387-13829-3
• Hörmander , Lars (1971), "Fourier integraloperatorer I", Acta Math. , 127 : 79–183, doi : 10.1007/bf02392052