Poncelets stängningssats

Illustration av Poncelets porism för n = 3, en triangel som är inskriven i en cirkel och omger en annan.

Inom geometri säger Poncelets stängningssats , även känd som Poncelets porism , att närhelst en polygon är inskriven i en konisk sektion och omger en annan, måste polygonen vara en del av en oändlig familj av polygoner som alla är inskrivna i och omger samma två koner. Den är uppkallad efter den franske ingenjören och matematikern Jean-Victor Poncelet, som skrev om den 1822; emellertid upptäcktes det triangulära fallet betydligt tidigare, 1746 av William Chapple .

Poncelets porism kan bevisas med ett argument som använder en elliptisk kurva , vars punkter representerar en kombination av en linje som tangerar en konisk och en korsningspunkt för den linjen med den andra koniska.

Påstående

Låt C och D vara två plana koner . Om det är möjligt att hitta, för ett givet n > 2, en n -sidig polygon som samtidigt är inskriven i C (vilket betyder att alla dess hörn ligger på C ) och omskriven runt D (vilket betyder att alla dess kanter är tangent till D ), så är det möjligt att hitta oändligt många av dem. Varje punkt i C eller D är en vertex eller tangens (respektive) av en sådan polygon.

Om koniken är cirklar kallas polygonerna som är inskrivna i en cirkel och omskrivna kring den andra bicentriska polygoner , så detta speciella fall av Poncelets porism kan uttryckas mer kortfattat genom att säga att varje bicentrisk polygon är en del av en oändlig familj av bicentriska polygoner med avseende på samma två cirklar.

Bevisskiss

Se C och D som kurvor i det komplexa projektiva planet P ² . För enkelhetens skull, antag att C och D möts på tvären (vilket betyder att varje skärningspunkt av de två är en enkel korsning). Sedan av Bézouts sats består skärningspunkten C ∩ D av de två kurvorna av fyra komplexa punkter. För en godtycklig punkt d i D , låt ℓ _d vara tangentlinjen till D vid d . Låt X vara undervarianten av C × D som består av ( c , d ) så att ℓ _d passerar genom c . Givet c är antalet d med ( c , d ) ∈ X 1 om c ∈ C ∩ D och 2 annars. Således presenterar projektionen X → C ≃ P ¹ X som en grad 2 täckning förgrenad över 4 punkter, så X är en elliptisk kurva (när vi väl fixerar en baspunkt på X ). Låt $\sigma$ vara involutionen av X som skickar en general ( c , d ) till den andra punkten ( c , d ′) med samma första koordinat. Varje involution av en elliptisk kurva med en fixpunkt, när den uttrycks i grupplagen, har formen x → p − x för något p , så $\sigma$ har denna form. På liknande sätt är projektionen X → D en grad 2 morfism förgrenad över kontaktpunkterna på D av de fyra linjerna som tangerar både C och D , och motsvarande involution $\tau$ har formen x → q − x för några q . Sammansättningen $\tau \sigma$ är alltså en översättning på X . Om en potens av $\tau \sigma$ har en fast punkt, måste den potensen vara identiteten. Översatt tillbaka till språket C och D , betyder detta att om en punkt c ∈ C (utrustad med motsvarande d ) ger upphov till en bana som sluter upp (dvs ger en n -gon), så gör det också varje punkt. De degenererade fallen där C och D inte är tvärgående följer av ett gränsargument.

Se även

Bos, HJM ; Kers, C.; Oort, F.; Raven, DW "Poncelets stängningssats". Expositiones Mathematicae 5 (1987), nr. 4, 289-364.

externa länkar

David Speyer om Poncelets Porism
D. Fuchs, S. Tabachnikov, Mathematical Omnibus: Trettio föreläsningar om klassisk matematik
Interaktiv applet av Michael Borcherds som visar fallen n = 3, 4, 5, 6, 7, 8 (inklusive de konvexa fallen för n = 7, 8) gjorda med GeoGebra .
Interaktiv applet av Michael Borcherds som visar Poncelets porism för en allmän ellips och en parabel gjord med GeoGebra .
Interaktiv applet av Michael Borcherds som visar Poncelets Porism för 2 allmänna ellipser (ordning 3) gjorda med GeoGebra .
Interaktiv applet av Michael Borcherds som visar Poncelets Porism för 2 allmänna ellipser (ordning 5) gjorda med GeoGebra .
Interaktiv applet av Michael Borcherds som visar Poncelets Porism för 2 allmänna ellipser (ordning 6) gjorda med GeoGebra .
Java-applet som visar det yttre höljet för n = 3 vid National Tsing Hua University.
Artikel om Poncelets Porism på Mathworld.