Bicentrisk polygon

I geometri är en bicentrisk polygon en tangentiell polygon (en polygon vars alla sidor tangerar en inre incirkel ) som också är cyklisk - det vill säga inskriven i en yttre cirkel som passerar genom varje vertex av polygonen. Alla trianglar och alla vanliga polygoner är bicentriska. Å andra sidan är en rektangel med olika sidor inte bicentrisk, eftersom ingen cirkel kan tangera alla fyra sidorna.

Trianglar

Varje triangel är bicentrisk. I en triangel är radierna r och R för incirkeln respektive omkretscirkeln relaterade med ekvationen

{\frac {1}{Rx}}+{\frac {1}{R+x}}={\frac {1}{r}}

där x är avståndet mellan cirklarnas mittpunkter. Detta är en version av Eulers triangelformel .

Bicentriska fyrhörningar

Inte alla fyrhörningar är bicentriska (har både en incirkel och en omsluten cirkel). Givet två cirklar (en inom den andra) med radier R och r där $R>r$ , finns det en konvex fyrhörning inskriven i en av dem och tangerar den andra om och endast om deras radier uppfyller

{\frac {1}{(Rx)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x )^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}

där x är avståndet mellan deras centra. Detta tillstånd (och analoga villkor för polygoner av högre ordning) är känt som Fuss' teorem .

Polygoner med n > 4

En komplicerad generell formel är känd för vilket antal n sidor som helst för relationen mellan circumradius R , inradius r , och avståndet x mellan circumcenter och incenter. Några av dessa för specifika n är:

n =5:\quad r(Rx)=(R+x){\sqrt {(R-r+x)(Rrx)}}+(R+x){\sqrt {2R(Rrx)}},

n=6:\quad 3 (R^{2}-x^{2})^{4}=4r^{2}(R^{2}+x^{2})(R^{2}-x^{2})^ {2}+16r^{4}x^{2}R^{2},

n=8:\quad 16p^{4}q^{4}(p^{2}-1)(q^{2}-1)=(p^{2 }+q^{2}-p^{2}q^{2})^{4},

där $p={\tfrac {R+x}{r}}$ och $q={\tfrac {Rx}{r}}.$

Regelbundna polygoner

Varje vanlig polygon är bicentrisk. I en vanlig polygon är incirkeln och den omslutna cirkeln koncentriska — det vill säga de delar ett gemensamt centrum, vilket också är centrum för den reguljära polygonen, så avståndet mellan incentret och omkretscentrumet är alltid noll. Radien för den inskrivna cirkeln är apotem (det kortaste avståndet från centrum till gränsen för den reguljära polygonen).

är relationerna mellan den gemensamma kantlängden a , radien r för incirkeln och radien R för den omslutna cirkeln :

R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {r}{\cos {\frac {\pi }{n}}} }.

För vissa vanliga polygoner som kan konstrueras med kompass och linjal har vi följande algebraiska formler för dessa relationer:

$n\!\,$	$R\,{\text{and}}\,a\!\,$	$r\,{\text{and}}\,a\!\,$	$r\,{\text{och}}\,R\!\,$
3	$R{\sqrt {3}}=a\!\,$	$2r={\frac {a}{3}}{\sqrt {3}}\!\,$	$2r=R\!\,$
4	$R{\sqrt {2}}=a\!\,$	$r={\frac {a}{2}}\!\,$	$2r=R{\sqrt {2}}\!\,$
5	$R{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=a\!\,$	$r\left({\sqrt {5}}-1\right)={\frac {a}{10}}{\sqrt {50+10 {\sqrt {5}}}}\!\,$	$r({\sqrt {5}}-1)=R\!\,$
6	$R=a\!\,$	${\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=a\!\,$	${\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=R\!\,$
8	$R{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}=a\left({\sqrt {2}}+1\right)\!\ ,$	$r{\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {4+2 {\sqrt {2}}}}\!\,$	$2r\left({\sqrt {2}}-1\right)=R{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\! \,$
10	$({\sqrt {5}}-1)R=2a\!\,$	$2r{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}=5a\!\,$	${\frac {2r}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}={\frac {R }{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\!\,$

Därför har vi följande decimala approximationer:

$n\!\,$	$R/a\!\,$	$r/a\!\,$	$R/r\!\,$
$3\,$	$0,577\,$	$0,289$	$2.000\,$
$4$	$0,707\,$	$0,500$	$1.414\,$
$5$	$0,851\,$	$0,688$	$1.236\,$
$6$	$1.000\,$	$0,866$	$1.155\,$
$8$	$1.307\,$	$1.207$	$1.082\,$
$10$	$1.618\,$	$1.539$	$1.051\,$

Poncelets porism

Om två cirklar är de inskrivna och omskrivna cirklarna för en viss bicentrisk n -gon, så är samma två cirklar de inskrivna och omskrivna cirklarna av oändligt många bicentriska n -goner. Mer exakt kan varje tangentlinje till den inre av de två cirklarna förlängas till en bicentrisk n -gon genom att placera hörn på linjen vid de punkter där den korsar den yttre cirkeln, fortsätta från varje hörn längs en annan tangentlinje och fortsätta i på samma sätt tills den resulterande polygonala kedjan sluter upp till en n -gon. Det faktum att det alltid kommer att göra det antyds av Poncelets stängningsteorem , som mer allmänt gäller för inskrivna och omskrivna koner .

Dessutom, givet en omsluten cirkel och incirkel, är varje diagonal i den variabla polygonen tangent till en fast cirkel.

externa länkar

Weisstein, Eric W. "Bicentrisk polygon" . MathWorld .