Poisson gräns

I matematik är Poisson -gränsen ett måttutrymme som är kopplat till en slumpmässig promenad . Det är ett objekt utformat för att koda det asymptotiska beteendet för den slumpmässiga promenaden, dvs hur banor divergerar när antalet steg går till oändlighet. Trots att det kallas en gräns är det i allmänhet ett rent måttteoretiskt objekt och inte en gräns i topologisk mening . Men i det fall där den slumpmässiga vandringen är på ett topologiskt utrymme kan Poisson-gränsen relateras till Martin-gränsen som är en analytisk konstruktion som ger en genuin topologisk gräns. Båda gränserna är relaterade till harmoniska funktioner på rymden via generaliseringar av Poisson-formeln .

Fallet med det hyperboliska planet

Poissonformeln anger att givet en positiv övertonsfunktion $f$ på enhetsskivan ${\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}} (det vill säga Δ f = {$ \ $f=0}$ där ${ \displaystyle \Delta }$ är Laplace–Beltrami-operatorn associerad med Poincaré-måttet på ${\displaystyle \mathbb {D} } )$ det finns ett unikt mått $\mu$ på gränsen $\partial \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}$ så att likheten

$f(z)=\int _{\partial \mathbb {D} }K(z,\xi )\,d\ mu (\xi)$ där ${\displaystyle K(z,\xi )={\frac {1-|z|^{2}}{|\xi -z|^{2}}}} är$ Poisson- kärnan ,

gäller för alla $z\in \mathbb {D}$ . Ett sätt att tolka detta är att funktionerna $K(\cdot ,\xi )$ för $\xi \in \partial \mathbb {D}$ är upp till skala alla extrempunkter i konen av icke-negativa harmoniska funktioner. Denna analytiska tolkning av mängden $\partial \mathbb {D}$ leder till den mer allmänna uppfattningen om minimal Martin-gräns (som i detta fall är den fullständiga Martin-gränsen ).

Detta faktum kan också tolkas på ett probabilistiskt sätt. Om $W_{t}$ är Markov-processen associerad med $\Delta$ (dvs. den Brownska rörelsen på skivan med Poincaré Riemann-måttet), då processen $f(W_{t})$ är en martingal med kontinuerlig tid och konvergerar som sådan nästan överallt till en funktion på Wienerrummet av möjliga (oändliga) banor för $W_{t}$ . Således identifierar Poisson-formeln detta uppmätta utrymme med Martin-gränsen som konstruerats ovan, och slutligen till $\partial \mathbb {D}$ utrustad med klassen av Lebesgue-mått (observera att denna identifiering kan göras direkt eftersom en väg i Wiener rymden konvergerar nästan säkert till en punkt på ${\displaystyle \partial \mathbb {D} } )$ . Denna tolkning av $\partial \mathbb {D}$ som utrymmet för banor för en Markov-process är ett specialfall av konstruktionen av Poisson-gränsen.

Slutligen kan konstruktionerna ovan diskretiseras, dvs begränsas till slumpmässiga promenader på banorna för en fuchsisk grupp som verkar på $\mathbb {D}$ . Detta ger en identifiering av de extrema positiva övertonsfunktionerna på gruppen, och till utrymmet av banor för den slumpmässiga vandringen på gruppen (båda med avseende på ett givet sannolikhetsmått), med det topologiska/uppmätta rummet D {\displaystyle $mathbb {D} }$ .

Definition

Poisson-gränsen för en slumpmässig promenad på en diskret grupp

Låt $G$ vara en diskret grupp och $\mu$ ett sannolikhetsmått på ${\displaystyle G} ,$ som kommer att användas för att definiera en slumpmässig gång $X_{t}$ på $G$ (en tidsdiskret Markov-process vars övergångssannolikheter är $p(x,y)=\mu (xy^{-1} )$ ); måttet $\mu$ kallas stegfördelningen för slumpgången. Låt $m$ vara ett annat mått på ${\displaystyle G} ,$ som kommer att vara initialtillståndet för den slumpmässiga promenaden. Mellanrummet $G^{\mathbb {N} }$ för banor för $X_{t}$ är försett med ett mått $\mathbb {P} _{m}$ vars marginaler är $m*\mu ^{*n}$ (där $*$ anger faltning av mått; detta är fördelningen av den slumpmässiga vandringen efter $n$ steg ). Det finns också en ekvivalensrelation $\sim$ på ${\displaystyle G^{\mathbb {N} }} ,$ som identifierar $(x_{t})$ till $(y_{t})$ om det finns $n,m\in \mathbb {N}$ så att $x_{t +n}=y_{t+m}$ för alla $t\geq 0$ (de två banorna har samma "svans"). Poissongränsen för $(G,\mu )$ är då det uppmätta utrymmet $\Gamma$ som erhålls som kvoten av $G^{ \mathbb {N} },\mathbb {P} _{m})}$ ( av ekvivalensrelationen $\sim$ .

Om $\theta$ är den initiala fördelningen av en slumpmässig promenad med stegfördelning $\mu$ då måttet $\nu _{\theta }$ på $\Gamma$ erhålls som framskjutningen av $\mathbb {P} _{\theta }$ . Det är ett stationärt mått för $(G,\mu )$ , vilket betyder att

$\int _{G}\nu (g^{-1}A)\mu (g)=\nu _{\theta }(A).$

Det är möjligt att ge en implicit definition av Poisson-gränsen som den maximala $G$ -uppsättningen med ett $(G,\mu )$ -stationärt mått $\nu$ , som uppfyller det ytterligare villkoret att $(X_{t})_{*}\nu$ nästan säkert svagt konvergerar till en Dirac-massa .

Poisson-formeln

Låt $f$ vara en $\mu$ -harmonisk funktion på $G$ , vilket betyder att $\sum _{h\in G}f(hg)\mu (h)=f(g)$ . Då är den slumpmässiga variabeln $f(X_{t})$ en tidsdiskret martingal och därför konvergerar den nästan säkert. Beteckna med ${\hat {f}}$ funktionen på $\Gamma$ som erhålls genom att ta gränsen för värdena för $f$ längs en bana (detta definieras nästan överallt på $G^{\mathbb {N} }$ och skiftinvariant). Låt $x\in G$ och låt $\nu _{x}$ vara måttet som erhålls genom förträngningen ovan med $\theta =\delta _{x }$ (Dirac-massan vid $x$ ). Om $f$ är antingen positiv eller begränsad så är ${\hat {f}}$ lika bra och vi har Poisson-formeln :

$f(x)=\int _{\Gamma }{\hat {f}}(\gamma )\,d\nu _{x}(\gamma ).$

Detta etablerar en bijektion mellan $\mu$ -harmoniska avgränsade funktioner och väsentligen avgränsade mätbara funktioner på $\Gamma$ . I synnerhet är Poisson-gränsen för $(G,\mu )$ trivial, det vill säga reduceras till en punkt, om och endast om den enda gränsade $\mu$ -övertonen fungerar på $G$ är konstanta.

Allmän definition

Den allmänna inställningen är den för en Markov-operator på ett uppmätt utrymme, en föreställning som generaliserar Markov-operatorn $f\mapsto \mu *f$ som är associerad med en slumpmässig promenad. Mycket av teorin kan utvecklas i denna abstrakta och mycket allmänna miljö.

Martins gräns

Martins gräns för en diskret grupp

Låt $G,\mu$ vara en slumpmässig vandring på en diskret grupp. Låt $p_{n}(x,y)$ vara sannolikheten att komma från $x$ till $y$ i $n$ steg, dvs. $\mu ^{*n}(x^{-1}y)$ . Den gröna kärnan är per definition:

${\mathcal {G}}(x,y)=\sum _{n\geq 1}p_{n}(x,y).$

Om promenaden är övergående är denna serie konvergent för alla $x,y$ . Fixa en punkt $o\in G$ och definiera Martin-kärnan med: ${\mathcal {K} }_{o}(x,y)={\frac {{\mathcal {G}}(x,y)}{{\mathcal {G}}(o,y)}}$ . Inbäddningen $y\mapsto {\mathcal {K}}_{o}(\cdot ,y)$ har en relativt kompakt bild för topologin för punktvis konvergens, och Martin komprimering är stängningen av denna bild. En punkt $\gamma \in \Gamma$ representeras vanligtvis av notationen ${\mathcal {K}}(\cdot ,\gamma )$ .

Martin-kärnorna är positiva övertonsfunktioner och varje positiv övertonsfunktion kan uttryckas som en integral av funktioner på gränsen, det vill säga för varje positiv övertonsfunktion finns det ett mått ν o , f {\ ${o,f} }$ på $\Gamma$ så att en Poisson-liknande formel håller:

$f(x)=\int {\mathcal {K}}_{o}(x,\gamma )\,d\nu _{o,f}(\gamma ).$

Måtten $\nu _{o,f}$ stöds på den minimala Martin-gränsen, vars element också kan karakteriseras av att vara minimala. En positiv övertonsfunktion $u$ sägs vara minimal om det för någon övertonsfunktion $v$ med $0\leq v\leq u$ finns $c\in [0,1]$ så att $v=cu$ .

Det finns faktiskt en hel familj av Martin-kompakteringar. Definiera den gröna genererande serien som

${\mathcal {G}}_{r}(x,y)=\sum _{n\geq 1}p_{n}(x,y)r^{n}.$

Beteckna med $R$ konvergensradien för denna potensserie och definiera för $1\leq r\leq R$ r ${\displaystyle r} -Martin$ kärnan med ${\mathcal {K}}_{o,r}(x,y)={\frac {{\mathcal { G}}_{r}(x,y)}{{\mathcal {G}}_{r}(o,y)}}$ . Stängningen av inbäddningen $y\mapsto {\mathcal {K}}_{o,r}(\cdot ,y)$ kallas $r$ -Martin kompaktering.

Martins gräns för ett Riemannskt grenrör

För ett Riemannmanifold konstrueras Martin-gränsen, när den finns, på samma sätt som ovan, med hjälp av den gröna funktionen för Laplace–Beltrami-operatorn $\Delta$ . I det här fallet finns det återigen en hel familj av Martin-kompakteringar kopplade till operatorerna $\Delta +\lambda$ för $0\leq \lambda \leq \lambda _{0}$ där $\lambda _{0}$ är botten av spektrumet. Exempel där denna konstruktion kan användas för att definiera en kompaktering är avgränsade domäner i plan och symmetriska utrymmen av icke-kompakt typ.

Förhållandet mellan Martin och Poisson gränsar

Måttet $\nu _{o,1}$ som motsvarar konstantfunktionen kallas det harmoniska måttet på Martin-gränsen. Med detta mått är Martin-gränsen isomorf till Poisson-gränsen.

Exempel

Nilpotenta grupper

Poisson- och Martin-gränserna är triviala för symmetriska slumpmässiga vandringar i nilpotenta grupper. Å andra sidan, när den slumpmässiga promenaden är icke-centrerad, är studiet av den fullständiga Martin-gränsen, inklusive de minimala funktionerna, mycket mindre avgörande.

Ligggrupper och diskreta undergrupper

För slumpmässiga promenader på en halvenkel Lie-grupp (med stegfördelning absolut kontinuerlig med avseende på Haar-måttet) är Poisson-gränsen lika med Furstenberg-gränsen . Poisson-gränsen för den Brownska rörelsen på det tillhörande symmetriska rummet är också Furstenberg-gränsen. Hela Martin-gränsen är också väl studerad i dessa fall och kan alltid beskrivas på ett geometriskt sätt. Till exempel, för grupper av rang ett (till exempel isometrigrupperna för hyperboliska utrymmen ) är den fullständiga Martin-gränsen densamma som den minimala Martin-gränsen (situationen i högre ranggrupper är mer komplicerad).

Poisson-gränsen för en Zariski-tät undergrupp av en halvenkel Lie-grupp, till exempel ett gitter , är också lika med Furstenberg-gränsen för gruppen.

Hyperboliska grupper

För slumpmässiga promenader på en hyperbolisk grupp , under ganska svaga antaganden om stegfördelningen som alltid gäller för en enkel promenad (ett mer allmänt villkor är att det första ögonblicket är ändligt) är Poisson-gränsen alltid lika med Gromov-gränsen. Till exempel är Poisson-gränsen för en fri grupp utrymmet för ändarna på dess Cayley-träd. Identifieringen av den fullständiga Martin-gränsen är mer involverad; om den slumpmässiga vandringen har ändlig räckvidd (stegfördelningen stöds på en ändlig mängd) sammanfaller Martin-gränsen med den minimala Martin-gränsen och båda sammanfaller med Gromov-gränsen.

Anteckningar

•   Ballmann, Werner; Ledrappier, François (1994). "Poisson-gränsen för grenrör i rang ett och deras kokompakta gitter". Forum Math . Vol. 6, nr. 3. s. 301–313. MR 1269841 .
•   Furstenberg, Harry (1963). "En Poisson-formel för semi-enkla Lie-grupper". Ann. av matte . 2. Vol. 77. s. 335–386. MR 0146298 .
• Guivarc'h, Yves; Ji, Lizhen; Taylor, John C. (1998). Kompakteringar av symmetriska utrymmen . Birkhäuser.
•   Kaimanovich, Vadim A. (1996). "Gränser för invarianta Markov-operatörer: identifieringsproblemet". I Pollicott, Mark; Schmidt, Klaus (red.). Ergodisk teori om Z ^d handlingar (Warwick, 1993–1994) . London Math. Soc. Föreläsningsanteckning Ser. Vol. 228. Cambridge Univ. Press, Cambridge. s. 127–176. MR 1411218 .
•   Kaimanovich, Vadim A. (2000). "Poisson-formeln för grupper med hyperboliska egenskaper". Ann. av matte . 2. Vol. 152. s. 659–692. MR 1815698 .