Spårningsoperatör

En funktion definierad på en rektangel (översta figuren, i rött), och dess spår (nedre figuren, i rött).

I matematik utvidgar spårningsoperatorn begreppet begränsning av en funktion till gränsen för dess domän till "generaliserade" funktioner i ett Sobolev- rum . Detta är särskilt viktigt för studiet av partiella differentialekvationer med föreskrivna randvillkor ( randvärdesproblem ), där svaga lösningar kanske inte är tillräckligt regelbundna för att tillfredsställa randvillkoren i klassisk betydelse av funktioner.

Motivering

På en avgränsad, jämn domän ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}},$ överväg problemet med att lösa Poissons ekvation med inhomogena Dirichlet-gränsvillkor:

${\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in }}\Omega ,\\u&=g&& {\text{på }}\partial \Omega \end{alignedat}}$

med givna funktioner ${\textstyle f}$ och ${\textstyle g}$ med regelbundenhet som diskuteras i applikationsavsnittet nedan. Den svaga lösningen ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ i denna ekvation måste uppfylla

$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x$ för alla ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$ .

H ${\textstyle H^{1}(\Omega )}$ -regulariteten för ${\textstyle u}$ tillräcklig för att denna integralekvation är väldefinierad. Det är dock inte uppenbart i vilken mening ${\textstyle u}$ kan uppfylla gränsvillkoret ${\textstyle u=g}$ på ${\textstyle \partial \Omega }$ : per definition, ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )\subset L^{2}(\Omega )}$ är en ekvivalensklass av funktioner som kan ha godtyckliga värden på ${\textstyle \partial \Omega }$ eftersom detta är en nollmängd med avseende på det n-dimensionella Lebesgue-måttet.

Om ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{1}}$ gäller ${\textstyle H^{1}(\Omega )\hookrightarrow C ^{0}({\bar {\Omega }})}$ av Sobolevs inbäddningssats , så att ${\textstyle u}$ kan uppfylla gränsvillkoret i klassisk mening, dvs begränsningen av ${\textstyle u}$ till ${\textstyle \partial \Omega }$ överensstämmer med funktionen ${\textstyle g}$ (mer exakt: det finns en representant för ${\textstyle u}$ i ${\textstyle C({\bar {\ Omega }})}$ med den här egenskapen). För ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ med ${\textstyle n>1}$ existerar inte en sådan inbäddning och spåroperatorn ${\textstyle T}$ presenteras här måste användas för att ge mening åt ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$ . Då ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ med ${\textstyle Tu=g}$ en svag lösning på gränsvärdesproblemet om ovan är nöjd. För att definitionen av spårningsoperatorn ska vara rimlig måste det finnas ${\textstyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$ för tillräckligt regelbunden ${\textstyle u}$ .

Spårsats

Spårningsoperatorn kan definieras för funktioner i Sobolev-utrymmena ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ med ${\textstyle 1\leq p<\infty }$ , se avsnittet nedan för möjliga utökningar av spåret till andra utrymmen. Låt ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ för ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ vara en avgränsad domän med Lipschitz-gräns. Sedan finns det en begränsad linjär spåroperator

$T\colon W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )$

så att ${\textstyle T}$ utökar det klassiska spåret, dvs

$Tu=u|_{\partial \Omega }$ för alla ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$ .

Kontinuiteten för ${\textstyle T}$ antyder det

$\|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leq C\|u \|_{W^{1,p}(\Omega )}$ för alla ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$

med konstant endast beroende på ${\textstyle p}$ och ${\textstyle \Omega }$ . Funktionen ${\textstyle Tu}$ kallas spår av ${\textstyle u}$ och betecknas ofta helt enkelt med ${\textstil u|_{\partial \Omega }}$ . Andra vanliga symboler för ${\textstyle T}$ inkluderar ${\textstyle tr}$ och ${\textstyle \gamma }$ .

Konstruktion

Detta stycke följer Evans, där mer detaljer kan hittas, och antar att ${\textstyle \Omega }$ har en ${\textstyle C^{1}}$ -gräns. Ett bevis (på en starkare version) av spårsatsen för Lipschitz-domäner finns i Gagliardo. På en ${\textstyle C^{1}}$ -domän kan spårningsoperatorn definieras som kontinuerlig linjär förlängning av operatorn

$T:C^{\infty }({\bar {\Omega }})\to L^{p}(\partial \Omega )$

till mellanrummet ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ . Genom densiteten av ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ i ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ en sådan förlängning är möjlig om ${\textstyle T}$ är kontinuerlig med avseende på ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ -normen. Beviset för detta, dvs att det finns ${\textstyle C>0}$ (beroende på ${\textstyle \Omega }$ och ${\textstyle p}$ ) så att

$\|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leq C\|u \|_{W^{1,p}(\Omega )}$ för alla $u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }}).$

är den centrala ingrediensen i konstruktionen av spåroperatören. En lokal variant av denna uppskattning för ${\textstyle C^{1}({\bar {\Omega }})}$ -funktioner bevisas först för en lokalt platt gräns med hjälp av divergenssatsen . Genom transformation kan en generell ${\textstyle C^{1}}$ -gräns rätas ut lokalt för att reducera till detta fall, där ${\textstyle C^{1}}$ -regulariteten för transformationen kräver att den lokala uppskattning gäller för ${\textstyle C^{1}({\bar {\Omega }})}$ -funktioner.

Med denna kontinuitet av spåroperatorn i ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ en förlängning till ${\textstyle W^{ 1,p}(\Omega )}$ existerar av abstrakta argument och ${\textstyle Tu}$ för ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$ kan karakteriseras enligt följande. Låt ${\textstyle u_{k}\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$${ \textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$ en sekvens som approximerar efter densitet. Genom den bevisade kontinuiteten för ${\textstyle T}$ i ${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ sekvensen ${\textstyle u_{k}|_{\partial \Omega }}$ är en Cauchy-sekvens i ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ och ${\textstyle Tu=\lim _{k\to \infty }u_{k}|_{\partial \Omega }}$ med gränsen tagen i ${\textstyle L^{p}(\ partiell \Omega )}$ .

Förlängningsegenskapen ${\textstyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$ gäller för ${\textstyle u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ genom konstruktion, men för alla ${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }} )}$ det finns en sekvens ${\textstyle u_{k}\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$ som konvergerar enhetligt på ${\textstyle {\bar {\Omega }}}$ till ${\textstyle u}$ , verifierar tilläggsegenskapen på den större uppsättningen ${\textstyle W^{1,p}(\ Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$ .

Fallet p = ∞

Om ${\textstyle \Omega }$ är avgränsad och har en ${\textstyle C^{1}} -gräns så$ finns det genom Morreys olikhet en kontinuerlig inbäddning ${ \textstyle W^{1,\infty }(\Omega )\hookrightarrow C^{0,1}(\Omega )} , där$ C $\textstyle C^{0,1}(\Omega ) }$ betecknar utrymmet för Lipschitz kontinuerliga funktioner. Speciellt alla funktioner ${\textstyle u\in W^{1,\infty }(\Omega )}$ har ett klassiskt spår ${\textstil u|_{\partial \Omega }\in C(\partial \Omega )}$ och där gäller

$\|u|_{\partial \Omega }\|_{C(\partial \Omega )}\leq \|u\|_{C^{0,1}(\Omega )}\leq C \|u\|_{W^{1,\infty }(\Omega )}.$

Fungerar med spår noll

Sobolev-mellanslagen ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ för ${\textstyle 1\leq p<\infty }$ definieras som stängningen av uppsättningen av kompakt stödda testfunktioner ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ med avseende på ${\textstyle W^{1, p}(\Omega )}$ -norm. Följande alternativa karaktärisering gäller:

$displaystyle W_{ 0}^{1,p}(\Omega )=\{u\in W^{1,p}(\Omega )\mid Tu=0\}=\ker(T\colon W^{1,p} (\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )),}$

där ${\textstyle \ker(T)}$ är kärnan i ${\textstyle T}$ , dvs ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ är delrummet för funktioner i ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ med spår noll.

Bild på spårningsoperatören

För p > 1

Spårningsoperatorn är inte surjektiv på ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ om ${\textstyle p>1}$ , dvs inte alla funktioner i ${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$ är spåret av en funktion i ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ . Som utarbetats nedan består bilden av funktioner som uppfyller en ${\textstyle L^{p}}$ -version av Hölder continuity .

Abstrakt karaktärisering

En abstrakt karaktärisering av bilden av ${\textstyle T}$ kan härledas enligt följande. Genom isomorfismens satser gäller

$T(W^{1,p}(\Omega ))\cong W^{1,p}(\Omega )/\ker(T\colon W^{1,p}( \Omega )\to L^{p}(\partial \Omega ))=W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )$

där ${\textstil X/N}$ anger kvotutrymmet för Banach-utrymmet ${\textstil X}$ med delutrymmet ${\textstil N\delmängd X}$ och den sista identiteten följer av karakteriseringen av ${\textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$ från ovan. Utrusta kvotutrymmet med kvotnormen definierad av

$\|u\|_ {W^{1,p}(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )}=\inf _{u_{0}\in W_{0}^{1,p}( \Omega )}\|u-u_{0}\|_{W^{1,p}(\Omega )}$

spåroperatorn ${\textstyle T}$ är då en surjektiv, avgränsad linjär operator

$T\colon W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p }(\Omega )/W_{0}^{1,p}(\Omega )$ .

Karakterisering med Sobolev–Slobodeckij-utrymmen

En mer konkret representation av bilden av ${\textstyle T}$ kan ges med hjälp av Sobolev-Slobodeckij-utrymmen som generaliserar konceptet med Hölders kontinuerliga funktioner till ${\textstyle L^{p}}$ -inställningen. Eftersom ${\textstyle \partial \Omega }$ är ett (n-1) -dimensionellt Lipschitz- manifold inbäddat i ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ är en explicit karakterisering av dessa utrymmen tekniskt involverad. För enkelhetens skull betrakta först en plan domän ${\textstyle \Omega '\subset \mathbb {R} ^{n-1}}$ . För ${\textstyle v\in L^{p}(\Omega ')} den (möjligen oändliga) normen$ definierar

$\|v\|_{W^{1-1/p,p}(\Omega ' )}=\left(\|v\|_{L^{p}(\Omega ')}^{p}+\int _{\Omega '\times \Omega '}{\frac {|v(x )-v(y)|^{p}}{|xy|^{(1-1/p)p+(n-1)}}}\,\mathrm {d} (x,y)\right)^ {1/p}$

som generaliserar Hölder-tillståndet ${\textstil |v(x)-v(y)|\leq C|xy|^{1-1/p}}$ . Sedan

$W^{1-1 /p,p}(\Omega ')=\left\{v\in L^{p}(\Omega ')\;\mid \;\|v\|_{W^{1-1/p, p}(\Omega ')}<\infty \right\}$

$> {\textstyle s>0 }$ Banach-mellanslag (en allmän definition av ${\textstyle W^{s,p}(\Omega ')}$ för icke-heltal finns i artikeln för Sobolev-Slobodeckij spaces ) . För det (n-1) -dimensionella Lipschitz-grenröret ${\textstyle \partial \Omega }$ definiera ${\textstyle W^{1-1/p,p}(\ partial \Omega )}$ genom att lokalt räta ut ${\textstyle \partial \Omega }$ och fortsätta som i definitionen av ${\textstyle W^{1-1/p,p }(\Omega ')}$ .

Mellanrummet ${\textstyle W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$ kan sedan identifieras som bilden av spåroperatorn och där gäller att

$T\colon W^{1,p}(\Omega )\to W^{1-1/p, p}(\partial \Omega )$

är en surjektiv, avgränsad linjär operator.

För p = 1

För ${\textstyle p=1}$ är bilden av spåroperatorn ${\textstyle L^{1}(\partial \Omega )}$ och det gäller att

$T\colon W^{1,1}(\Omega )\to L^{1}(\partial \Omega )$

är en surjektiv, avgränsad linjär operator.

Höger-invers: spårförlängningsoperator

Spårningsoperatorn är inte injektiv eftersom flera funktioner i ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$ kan ha samma spår (eller ekvivalent, ${ \textstyle W_{0}^{1,p}(\Omega )\neq 0}$ ). Spårningsoperatorn har dock en väluppförd höger-invers, som utökar en funktion definierad på gränsen till hela domänen. Specifikt, för ${\textstyle 1<p<\infty }$ finns det en begränsad, linjär spårförlängningsoperator

$E\colon W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )\to W^{ 1,p}(\Omega )$ ,

genom att använda Sobolev-Slobodeckij-karakteriseringen av spårningsoperatörens bild från föregående avsnitt, så att

$T(Ev)=v$ för alla ${\textstyle v\in W^{1-1/p,p} (\partial \Omega )}$

och genom kontinuitet finns det ${\textstyle C>0}$ med

$\|Ev\|_{W^{1,p}(\Omega )} \leq C\|v\|_{W^{1-1/p,p}(\partial \Omega )}$ .

Anmärkningsvärt är inte blotta existensen utan linjäriteten och kontinuiteten hos den högra inversen. Denna spårförlängningsoperator får inte förväxlas med förlängningsoperatorerna ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )\to W^{ 1,p}(\mathbb {R} ^{n})}$ som spelar en grundläggande roll i teorin om Sobolev-rum.

Utbyggnad till andra utrymmen

Högre derivat

Många av de tidigare resultaten kan utökas till ${\textstyle W^{m,p}(\Omega )}$ med högre differentiabilitet ${\textstyle m=2,3, \ldots }$ om domänen är tillräckligt regelbunden. Låt ${\textstyle N}$ beteckna den yttre enhetens normala fält på ${\textstyle \partial \Omega }$ . Sedan ${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$ kan koda differentieringsegenskaper i tangentiell riktning endast normalderivatan ${\textstyle \partial _{N}u|_{\partial \Omega }}$ är av ytterligare intresse för spårteorin för ${\textstyle m=2}$ . Liknande argument gäller för högre ordningens derivator för ${\textstyle m>2}$ .

Låt ${\textstyle 1<p<\infty }$ och ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ vara en avgränsad domän med ${\textstyle C^{m,1}}$ -gräns. Sedan finns det en surjektiv, avgränsad linjär spåroperator av högre ordning

$T_{m}\colon W^{m,p}(\Omega )\to \prod _{l=0}^{m-1}W^{ml-1/p,p}(\partial \Omega )$

med Sobolev-Slobodeckij mellanslag ${\textstyle W^{s,p}(\partial \Omega )}$ för icke-heltal ${\textstyle s>0}$ definierade på ${\textstyle \partial \Omega }$ genom transformation till det plana fallet ${\textstyle W^{s,p}(\Omega ')}$ för ${\textstyle \Omega '\ delmängd \mathbb {R} ^{n-1}}$ , vars definition utvecklas i artikeln om Sobolev-Slobodeckij-utrymmen . Operatören ${\textstyle T_{m}}$ utökar de klassiska normalspåren i den meningen att

${\displaystyle T_{m}u=\left(u|_{\partial \Omega } ,\partial _{N}u|_{\partial \Omega },\ldots ,\partial _{N}^{m-1}u|_{\partial \Omega }\right)} för$ alla ${\textstyle u\in W^{m,p}(\Omega )\cap C^{m-1}({\bar {\Omega }}).}$

Dessutom finns det en avgränsad, linjär höger-invers av ${\textstyle T_{m}}$ , en spårförlängningsoperator av högre ordning

$E_{m}\colon \prod _{l=0}^{ m-1}W^{ml-1/p,p}(\partial \Omega )\to W^{m,p}(\Omega )$ .

Slutligen, mellanrummen ${\textstyle W_{0}^{m,p}(\Omega )} ,$ kompletteringen av ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$ i ${\textstyle W^{m,p}(\Omega )}$ -normen, kan karakteriseras som kärnan av ${\textstyle T_{m}}$ , dvs

$W_{0}^{m,p}(\Omega )=\{u\in W^{ m,p}(\Omega )\mid T_{m}u=0\}$ .

Mindre vanliga utrymmen

Inget spår i L ^sid

Det finns ingen vettig utvidgning av begreppet spår till ${\textstyle L^{p}(\Omega )}$ för ${\textstyle 1\leq p<\infty }$ eftersom någon avgränsad linjär operatorn som utökar den klassiska kurvan måste vara noll på utrymmet för testfunktionerna ${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )} ,$ som är en tät delmängd av ${\textstyle L^{p}(\Omega )}$ , vilket antyder att en sådan operator skulle vara noll överallt.

Generaliserat normalt spår

Låt $\operatorname {div} v}$ textstyle beteckna distributionsdivergensen för ett vektorfält ${\textstyle v}$ . För ${\textstyle 1<p<\infty }$ och avgränsad Lipschitz-domän ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ definiera

$E_{p}(\Omega )=\{v\in (L^{p }(\Omega ))^{n}\mid \operatörsnamn {div} v\in L^{p}(\Omega )\}$

som är ett Banach-utrymme med norm

$\|v\|_{E_{p}( \Omega )}=\left(\|v\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}+\|\operatörsnamn {div} v\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}$ .

Låt ${\textstyle N}$ beteckna det yttre enhetens normala fält på ${\textstyle \partial \Omega }$ . Sedan finns det en begränsad linjär operator

$T_{N}\colon E_{p}(\Omega )\to (W^{1-1 /q,q}(\partial \Omega ))'$ ,

där ${\textstyle q=p/(p-1)}$ är den konjugerade exponenten till ${\textstyle p}$ och ${\textstyle X'}$ anger det kontinuerliga dubbla rummet till en Banachmellanslag ${\textstil X}$ , så att ${\textstil T_{N}}$ utökar det normala spåret ${\textstyle (v\cdot N)|_{\partial \Omega }}$ för ${\textstyle v\in (C^{\infty }({\bar { \Omega }}))^{n}}$ i betydelsen att

$T_{N}v={\bigl \{}\varphi \in W ^{1-1/q,q}(\partial \Omega )\mapsto \int _{\partial \Omega }\varphi v\cdot N\,\mathrm {d} S{\bigr \}}$ .

Värdet på den normala spåroperatorn ${\textstyle (T_{N}v)(\varphi )}$ för ${\textstyle \varphi \in W^{1-1/q,q}(\partial \Omega )}$ definieras genom tillämpning av divergenssatsen på vektorfältet ${\textstyle w=E\varphi \,v}$ där ${\textstyle E}$ är spårförlängningsoperatorn från ovan.

Ansökan. Vilken svag lösning som helst ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ till ${\textstyle -\Delta u=f\in L ^{2}(\Omega )}$ i en avgränsad Lipschitz-domän ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ har en normalderivata i betydelsen ${\textstyle T_{N}\nabla u\in (W^{1/2,2}(\partial \Omega ))^{*}}$ . Detta följer som ${\textstyle \nabla u\in E_{2}(\Omega )}$ eftersom ${\textstyle \nabla u\in L^{2} (\Omega )}$ och ${\textstyle \operatörsnamn {div} (\nabla u)=\Delta u=-f\in L^{2 }(\Omega )}$ . Detta resultat är anmärkningsvärt eftersom i Lipschitz-domäner i allmänhet ${\textstyle u\not \in H^{2}(\Omega )}$ , så att ${\textstyle \nabla u}$ kanske inte ljuger i domänen för spåroperatorn ${\textstyle T}$ .

Ansökan

De ovan presenterade satserna möjliggör en närmare undersökning av gränsvärdesproblemet

${\begin{alignedat}{2}-\Delta u&=f&\quad &{\text{in }}\Omega ,\\u&=g&& {\text{på }}\partial \Omega \end{alignedat}}$

på en Lipschitz-domän ${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ från motiveringen. Eftersom endast Hilbert space case ${\textstyle p=2} undersöks här,$ används notationen ${\textstyle H^{1}(\Omega )} för att beteckna$${\textstyle W^{1,2}(\Omega )}$ etc. Som anges i motiveringen, en svag lösning ${\textstyle u\in H^{1}(\Omega )}$ till denna ekvation måste uppfylla ${\textstyle Tu=g}$ och

$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x$ för alla ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$ ,

där den högra sidan måste tolkas för ${\textstyle f\in H^{-1}(\Omega )=(H_{0}^ {1}(\Omega ))'}$ som en dualitetsprodukt med värdet ${\textstyle f(\varphi )}$ .

Förekomst och unikhet hos svaga lösningar

Karakteriseringen av området för $T}$$) {\textstyle g\in H^{1 /2}(\partial \Omega )}$ innebär att för ${\textstyle Tu=g}$ ska hålla regulariteten är nödvändigt. Denna regelbundenhet är också tillräcklig för att det finns en svag lösning, vilket kan ses på följande sätt. Genom spårförlängningssatsen finns det ${\textstyle Eg\in H^{1}(\Omega )}$ så att ${\textstyle T(Eg)=g}$ . Om du definierar ${\textstyle u_{0}}$ med ${\textstyle u_{0}=u-Eg}$ vi att ${\textstyle Tu_{$ and thus ${\textstyle u_{0}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ by the characterization of ${\textstyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ as space of trace zero. The function ${\textstyle u_{0}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ then satisfies the integral equation

$\$ alla ${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$ .

Således kan problemet med inhomogena gränsvärden för ${\textstyle u}$ reduceras till ett problem med homogena gränsvärden för ${\textstyle u_{0}} ,$ en teknik som kan tillämpas på vilken linjär differentialekvation som helst. Genom Riesz-representationssatsen finns det en unik lösning ${\textstyle u_{0}}$ på detta problem. Genom att sönderdelningen är unik ${\textstyle u=u_{0}+Eg}$ motsvarar detta att det finns en unik svag lösning ${\textstyle u}$ på det inhomogena gränsvärdesproblemet.

Kontinuerligt beroende av data

Det återstår att undersöka beroendet av ${\textstyle u}$ på ${\textstyle f}$ och ${\textstyle g}$ . Låt ${\textstyle c_{1},c_{2},\ldots >0}$ beteckna konstanter oberoende av ${\textstyle f}$ och ${\textstyle g}$ . Genom kontinuerligt beroende av ${\textstyle u_{0}}$ på den högra sidan av dess integralekvation, gäller

$\|u_{0}\|_{H_{0}^ {1}(\Omega )}\leq c_{1}\left(\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+\|Eg\|_{H^{1}(\ Omega )}\right)$

och alltså, med att ${\textstyle \|u_{0}\|_{H_{0}^{1}(\Omega )} \leq c_{2}\|u_{0}\|_{H^{1}(\Omega )}}$ och ${\textstil \|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{3}\|g\|_{H^{1/2}(\Omega )}} genom kontinuitet$ av spårförlängningsoperatör, följer det

${\displaystyle {\begin{aligned}\|u\|$

och lösningskartan

$H^{-1}(\Omega )\ gånger H^{1/2 }(\partial \Omega )\ni (f,g)\mapsto u\in H^{1}(\Omega )$

är därför kontinuerlig.

Se även

• Spårklass
• Nukleära operatörer mellan Banach-utrymmen

• Leoni, Giovanni (2017). A First Course in Sobolev Spaces: Second Edition . Forskarstudier i matematik . 181 . American Mathematical Society. s. 734.   ISBN 978-1-4704-2921-8