Komplett homogent symmetriskt polynom

Inom matematiken , särskilt i algebraisk kombinatorik och kommutativ algebra , är de fullständiga homogena symmetriska polynomen en specifik typ av symmetriska polynom . Varje symmetriskt polynom kan uttryckas som ett polynomuttryck i fullständigt homogena symmetriska polynom.

Definition

Det fullständiga homogena symmetriska polynomet av grad $k$ i $n$ variabler $X 1, ..., X n$ , skrivet $h k$ för $k = 0, 1, 2, ...$ , är summan av alla monomer av total grad $k$ i variablerna . Formellt,

h_{k}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\summa _{1\leq i_{1}\leq i_{2}\leq \cdots \leq i_{k}\leq n}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}}.

Formeln kan också skrivas som:

h_{k}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\summa _{l_{1}+l_{2}+\cdots +l_{n}=k \atop l_{i}\geq 0}X_{1}^{l_{1}}X_{2}^{l_{2}}\cdots X_{n}^{l_{n}}.

I själva verket är $l p$ bara multipliciteten av $p$ i sekvensen $i k$ .

De första av dessa polynom är

{\begin{aligned}h_{0}(X_{1},X_{2},\dots,X_{n})&=1,\\[10px]h_{1}(X_{1} ,X_{2},\dots ,X_{n})&=\summa _{1\leq j\leq n}X_{j},\\h_{2}(X_{1},X_{2}, \dots ,X_{n})&=\summa _{1\leq j\leq k\leq n}X_{j}X_{k},\\h_{3}(X_{1},X_{2} ,\dots ,X_{n})&=\summa _{1\leq j\leq k\leq l\leq n}X_{j}X_{k}X_{l}.\end{aligned}}

Sålunda, för varje icke-negativt heltal $k$ , existerar det exakt ett fullständigt homogent symmetriskt polynom av grad $k$ i $n$ variabler.

Ett annat sätt att skriva om definitionen är att ta summering över alla sekvenser $i k$ , utan villkor att beställa $i p \leq i p + 1$ :

h_{k}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\summa _{1\leq i_{1}, i_{2},\cdots ,i_{k}\leq n}{\frac {m_{1}!m_{2}!\cdots m_{n}!}{k!}}X_{i_{1}} X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},

här är $m p$ multipliciteten av talet $p$ i sekvensen $i k$ .

Till exempel

h_{2}(X_{1},X_{2})={\frac {2!0!}{2!}}X_{1}^{2}+{\frac {1!1! }{2!}}X_{1}X_{2}+{\frac {1!1!}{2!}}X_{2}X_{1}+{\frac {0!2!}{2! }}X_{2}^{2}=X_{1}^{2}+X_{1}X_{2}+X_{2}^{2}.

Polynomringen som bildas genom att ta alla integrerade linjära kombinationer av produkter av de fullständiga homogena symmetriska polynomen är en kommutativ ring .

Exempel

Följande listar de $n$ grundläggande (som förklaras nedan) fullständiga homogena symmetriska polynom för de tre första positiva värdena på $n$ .

För $n = 1$ :

h_{1}(X_{1})=X_{1}\,.

För $n = 2$ :

{\begin{aligned}h_{1}(X_{1},X_{2})&=X_{1}+X_{2}\\h_{2}(X_{1},X_{2} })&=X_{1}^{2}+X_{1}X_{2}+X_{2}^{2}.\end{aligned}}

För $n = 3$ :

{\begin{aligned}h_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}+X_{2}+X_{3}\\h_{2 }(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+X_{1} X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3}\\h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1} ^{3}+X_{2}^{3}+X_{3}^{3}+X_{1}^{2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_ {2}^{2}X_{1}+X_{2}^{2}X_{3}+X_{3}^{2}X_{1}+X_{3}^{2}X_{2} +X_{1}X_{2}X_{3}.\end{aligned}}

Egenskaper

Genererande funktion

De fullständiga homogena symmetriska polynomen kännetecknas av följande identitet av formella potensserier i $t$ :

\summa _{k=0}^{\infty }h_{k}(X_{1},\ldots,X_{n})t^{k}=\prod _{i=1}^{n}\summa _ {j=0}^{\infty }(X_{i}t)^{j}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{1-X_{i}t}}

(detta kallas genereringsfunktionen , eller genererande serie, för de fullständiga homogena symmetriska polynomen). Här är varje bråk i det slutliga uttrycket det vanliga sättet att representera den formella geometriska serien som är en faktor i mittuttrycket. Identiteten kan motiveras genom att överväga hur produkten av dessa geometriska serier bildas: varje faktor i produkten erhålls genom att multiplicera tillsammans en term vald från varje geometrisk serie, och varje monomial i variablerna X i erhålls för exakt $ett sådant$ val av termer, och kommer multiplicerat med en potens av $t$ lika med graden av monomial.

Formeln ovan kan ses som ett specialfall av MacMahons mastersats . Den högra sidan kan tolkas som $1/\!\det(1-tM)$ där $t\in \mathbb {R}$ och $M={\text{diag}}(X_{1},\ldots,X_{N})$ . På vänster sida kan man identifiera de fullständiga homogena symmetriska polynomen som specialfall av den multinomialkoefficient som förekommer i MacMahon-uttrycket.

Genom att utföra vissa standardberäkningar kan vi också skriva genereringsfunktionen som

\sum _{k= 0}^{\infty }h_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})\,t^{k}=\exp \left(\sum _{j=1}^{\infty }(X_{1}^{j}+\cdots +X_{n}^{j}){\frac {t^{j}}{j}}\right)

som är potensserieexpansionen av den pletystiska exponentialen för

{\displaystyle (X_{1}+\cdots +X_{n})t} (

och notera att

{\displaystyle p_{j}:=X_{1}^{j}+\cdots +X_{n}^{j}} är

just den j :te potenssummans symmetriska polynomet ).

Relation med de elementära symmetriska polynomen

Det finns en grundläggande relation mellan de elementära symmetriska polynomen och de fullständiga homogena:

\sum _{i=0}^{m} (-1)^{i}e_{i}(X_{1},\ldots ,X_{n})h_{mi}(X_{1},\ldots,X_{n})=0,

vilket är giltigt för alla $m > 0$ , och valfritt antal variabler $n$ . Det enklaste sättet att se att det gäller är från en identitet av formella potensserier i $t$ för de elementära symmetriska polynomen, analogt med den som ges ovan för de fullständiga homogena, som också kan skrivas i termer av pletystiska exponentialer som:

\sum _{k=0}^{\infty }e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})(-t)^{k}=\prod _{i=1} ^{n}(1-X_{i}t)=PE[-(X_{1}+\cdots +X_{n})t]

(detta är faktiskt en identitet av polynom i $t$ , för efter $e n (X 1, ..., X n)$ blir de elementära symmetriska polynomen noll). Genom att multiplicera detta med genereringsfunktionen för de fullständiga homogena symmetriska polynomen, erhåller man den konstanta serien 1 (ekvivalent, pletystiska exponentialer uppfyller de vanliga egenskaperna för en exponential), och förhållandet mellan de elementära och fullständiga homogena polynomen följer av att jämföra koefficienter för $t m$ . Ett något mer direkt sätt att förstå den relationen är att beakta bidragen i summeringen som involverar en fix monomial $X α$ av grad $m$ . För varje delmängd $S$ av variablerna som förekommer med exponent som inte är noll i monomialen, finns det ett bidrag som involverar produkten $X S$ av dessa variabler som term från $e s (X 1, ..., X n)$ , där $s = # S$ , $hm; - s (X1, ... Xn och den$ monomiala $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} Xa , / XS )$ från _ detta bidrag har koefficienten $(-1) s$ . Förhållandet följer då av det faktum att

\sum _{s=0}^{l}{\binom {l}{s}} (-1)^{s}=(1-1)^{l}=0\quad {\mbox{för }}l>0,

genom binomformeln , där $l < m$ anger antalet distinkta variabler som förekommer (med exponent som inte är noll) i $X α$ . Eftersom $0 e (X 1, ..., X n)$ och $0 h (X 1, ..., X n)$ båda är lika med 1, kan man från relationen isolera antingen den första eller den sista termen i summeringen. Den förra ger en sekvens av ekvationer:

{\begin{aligned} h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=e_{1}(X_{1},\ldots,X_{n}),\\h_{2}(X_{1} ,\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots,X_{n})-e_{ 2}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\h_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{2}(X_{1},\ ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})-h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{2}(X_ {1},\ldots ,X_{n})+e_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\\end{aligned}}

och så vidare, som gör det möjligt att rekursivt uttrycka de successiva fullständiga homogena symmetriska polynomen i termer av de elementära symmetriska polynomen; den senare ger en uppsättning ekvationer

{\begin{aligned} e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots,X_{n}),\\e_{2}(X_{1} ,\ldots ,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})-h_{ 2}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\e_{3}(X_{1},\ldots,X_{n})&=h_{1}(X_{1},\ ldots ,X_{n})e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})-h_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_ {1},\ldots ,X_{n})+h_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\\\end{aligned}}

och så vidare, som tillåter att göra det omvända. De första $n$ elementära och fullständiga homogena symmetriska polynomen spelar helt liknande roller i dessa relationer, även om de förra polynomen då blir noll, medan de senare inte gör det. Detta fenomen kan förstås i inställningen av ringen av symmetriska funktioner . Den har en ringautomorfism som byter ut sekvenserna av de $n$ elementära och första $n$ fullständiga homogena symmetriska funktionerna .

Uppsättningen av fullständiga homogena symmetriska polynom av grad 1 till n $i$ n $variabler$ genererar ringen av symmetriska polynom i $n$ variabler. Mer specifikt är ringen av symmetriska polynom med heltalskoefficienter lika med integralpolynomringen

\mathbb {Z} {\big [}h_{1}(X_{1},\ldots,X_{n}),\ldots ,h_{n}(X_{1},\ldots,X_{ n}){\big ]}.

Detta kan formuleras genom att säga det

h_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots , h_{n}(X_{1},\ldots,X_{n})

bildar en transcendensbas för ringen av symmetriska polynom i $X 1, ..., X n$ med integralkoefficienter (vilket också är sant för de elementära symmetriska polynomen). Detsamma gäller med ringen $\mathbb {Z}$ av heltal som ersatts av någon annan kommutativ ring . Dessa påståenden följer av analoga påståenden för de elementära symmetriska polynomen, på grund av den angivna möjligheten att uttrycka endera typen av symmetriska polynom i termer av den andra typen.

Relation med Stirlingtalen

Utvärderingen vid heltal av fullständiga homogena polynom och elementära symmetriska polynom är relaterad till Stirlingtal :

{\begin{aligned}h_ {n}(1,2,\ldots ,k)&=\left\{{\begin{matrix}n+k\\k\end{matrix}}\right\}\\e_{n}(1, 2,\ldots ,k)&=\left[{k+1 \atop k+1-n}\right]\\\end{aligned}}

Relation med de monomisymmetriska polynomen

Polynomet $h k (X 1, ..., n) är$ $X 1, ..., Xn X$ också summan av alla distinkta monomisymmetriska polynom av graden $k$ i , till exempel

{\begin{aligned}h_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=m_{(3)}(X_{1},X_{2},X_{ 3})+m_{(2,1)}(X_{1},X_{2},X_{3})+m_{(1,1,1)}(X_{1},X_{2}, X_{3})\\&=\left(X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+X_{3}^{3}\right)+\left(X_{1}^ {2}X_{2}+X_{1}^{2}X_{3}+X_{1}X_{2}^{2}+X_{1}X_{3}^{2}+X_{2 }^{2}X_{3}+X_{2}X_{3}^{2}\right)+(X_{1}X_{2}X_{3}).\\\end{aligned}}

Förhållande till maktsummor

Newtons identiteter för homogena symmetriska polynom ger den enkla rekursiva formeln

kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}h_{ki}p_{i},

där $h_{k}=h_{k}(X_{1},\dots ,X_{n})$ och p _k är k -th potenssumma symmetriskt polynom : $p_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\summa \nolimits _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=X_{1}^{k}+\cdots +X_{n}^{k}$ , enligt ovan.

För litet $k$ har vi

{\begin{aligned}h_{1}&=p_{1},\\2h_{2}&=h_{1}p_{1}+p_{2},\\3h_{3}&= h_{2}p_{1}+h_{1}p_{2}+p_{3}.\\\end{aligned}}

Relation med symmetriska tensorer

Betrakta ett $n$ - dimensionellt vektorrum $V$ och en linjär operator $M : V \to V$ med egenvärden $X 1, X 2, ..., X n$ . Beteckna med $Sym k (V)$ dess $k$ :te symmetriska tensorkraft och $M Sym(k)$ den inducerade operatorn $Sym k (V) \to Sym k (V)$ .

Förslag:

\operatörsnamn {Spår} _{\operatörsnamn {Sym} ^{k}(V)}\left(M^{\operatörsnamn {Sym} (k)}\right)=h_{k}(X_{1 },X_{2},\ldots ,X_{n}).

Beviset är enkelt: överväg en egenbas $e i$ för $M$ . Basen i $Sym k (V)$ kan indexeras med sekvenserna $i 1 \leq i 2 \leq ... \leq i k$ , faktiskt, överväga symmetriseringarna av

e_{i_{1}}\otimes \,e_{i_{2}}\otimes \ldots \otimes \,e_{i_{k}}

.

Alla sådana vektorer är egenvektorer för $M Sym(k)$ med egenvärden

X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{k}},

därför är detta förslag sant.

På liknande sätt kan man uttrycka elementära symmetriska polynom via spår över antisymmetriska tensorkrafter. Båda uttrycken är subsumerade i uttryck av Schur-polynom som spår över Schur-funktioner , vilket kan ses som Weyl-teckenformeln för $GL(V)$ .

Se även

Macdonald, IG (1979), Symmetric Functions and Hall Polynomials . Oxford matematiska monografier. Oxford: Clarendon Press.
Macdonald, IG (1995), Symmetric Functions and Hall Polynomials , andra upplagan. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0 (paperback, 1998).
Richard P. Stanley (1999), Enumerative Combinatorics , vol. 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1