Klein quadric
I matematik kan linjerna i ett 3-dimensionellt projektivt utrymme , S , ses som punkter i ett 5-dimensionellt projektivt utrymme, T . I det 5-utrymmet ligger punkterna som representerar varje linje i S på en kvadratisk , Q känd som Klein-kvadriken .
Om det underliggande vektorutrymmet för S är det 4-dimensionella vektorutrymmet V , så har T som det underliggande vektorutrymmet den 6-dimensionella yttre kvadraten Λ 2 V av V . Linjekoordinaterna som erhålls på detta sätt är kända som Plücker - koordinater .
Dessa Plücker-koordinater uppfyller den kvadratiska relationen
definiera Q , där
är koordinaterna för linjen som spänns av de två vektorerna u och v .
3-rummet, S , kan rekonstrueras igen från kvadriken, Q : planen som ingår i Q delas in i två ekvivalensklasser , där plan i samma klass möts i en punkt, och plan i olika klasser möts i en linje eller i den tomma uppsättningen. Låt dessa klasser vara och . Geometrin för S hämtas enligt följande :
- Punkterna i S är planen i C .
- Linjerna i S är punkterna i Q .
- Planen för S är planen i C '.
Det faktum att geometrierna för S och Q är isomorfa kan förklaras av isomorfismen i Dynkindiagrammen A 3 och D 3 .
- Albrecht Beutelspacher & Ute Rosenbaum (1998) Projective Geometry : from foundations to applications , sid 169, Cambridge University Press ISBN 978-0521482776
- Arthur Cayley (1873) "On the superlines of a quadric surface in five-dimensional space", Collected Mathematical Papers 9: 79–83.
- Felix Klein (1870) "Zur Theorie der Liniencomplexe des ersten und zweiten Grades", Mathematische Annalen 2: 198
- Oswald Veblen & John Wesley Young (1910) Projective Geometry , volym 1, Tolkning av linjekoordinater som punktkoordinater i S 5 , sid 331, Ginn and Company .
- Ward, Richard Samuel; Wells, Raymond O'Neil, Jr. (1991), Twistor Geometry and Field Theory , Cambridge University Press, Bibcode : 1991tgft.book.....W , ISBN 978-0-521-42268-0 .