Percus–Yevick approximation

Inom statistisk mekanik är Percus-Yevick-approximationen en stängningsrelation för att lösa Ornstein-Zernike-ekvationen . Det ses också till som Percus-Yevick-ekvationen . Det används vanligtvis inom vätsketeorin för att få t.ex. uttryck för den radiella fördelningsfunktionen . Uppskattningen är uppkallad efter Jerome K. Percus och George J. Yevick.

Härledning

Den direkta korrelationsfunktionen representerar den direkta korrelationen mellan två partiklar i ett system som innehåller N − 2 andra partiklar. Det kan representeras av

$c(r)=g_{\rm {totalt}}(r)-g_{\ rm {indirekt}}(r)\,$

där $g_{\rm {total}}(r)$ är den radiella fördelningsfunktionen , dvs $g(r)=\exp[-\beta w(r)]$ (med w ( r ) potentialen för medelkraft ) och $g_{\rm { indirekt}}(r)$ är den radiella fördelningsfunktionen utan den direkta interaktionen mellan paren $u(r)$ inkluderad; dvs vi skriver $g_{\rm {indirekt}}(r)=\exp [-\beta (w(r)-u(r))]$ . Sålunda uppskattar vi c ( r ) med

$c(r)=e^{-\beta w(r)}-e^{-\beta [w(r)-u(r)]}.\,$

Om vi ​​introducerar funktionen $y(r)=e^{\beta u(r)}g(r)$ i approximationen för c ( r) ) man erhåller

$c(r)=g(r)-y(r)=e^{-\beta u}y(r)-y(r)=f(r)y(r).\,$

Detta är kärnan i Percus-Yevick-approximationen för om vi ersätter detta resultat i Ornstein-Zernike-ekvationen, får man Percus-Yevick-ekvationen :

$y(r_{12})=1+\rho \int f(r_{13})y(r_{13})h(r_{23})d\mathbf {r_{3}} .\,$

Uppskattningen definierades av Percus och Yevick 1958.

Hårda sfärer

Statisk strukturfaktor för vätskan med hårda sfärer i Percus-Yevick approximation vid tre olika packningsförhållanden.

För hårda sfärer är potentialen u(r) antingen noll eller oändlig, och därför är Boltzmann-faktorn ${\text{e}}^{-u/k_{\text{B} }T}$ är antingen ett eller noll, oavsett temperatur T . Därför är strukturen hos en vätska med hårda sfärer temperaturoberoende. Detta lämnar bara två parametrar: den hårda kärnans radie R (som kan elimineras genom att omskala avstånd eller vågnummer), och packningsfraktionen η (som har ett maximalt värde på 0,64 för slumpmässig tätpackning ).

Under dessa förhållanden har Percus-Yevick-ekvationen en analytisk lösning, erhållen av Wertheim 1963.

Lösning som C-kod

Den statiska strukturfaktorn för vätskan med hårda sfärer i Percus-Yevick approximation kan beräknas med hjälp av följande C-funktion:

    

          
          
          
        
        
        
         
         

     
 dubbel  py  (  dubbel  qr  ,  dubbel  eta  )  {  const  double  a  =  pow  (  1  +  2  *  eta  ,  2  )  /  pow  (  1  -  eta  ,  4  );  const  dubbel  b  =  -6  *  eta  *  pow  (  1  +  eta  /  2  ,  2  )  /  pow  (  1  -  eta  ,  4  );  const  dubbel  c  =  eta  /  2  *  pow  (  1  +  2  *  eta  ,  2  )  /  pow  (  1  -  eta  ,  4  );  const  dubbel  A  =  2  *  qr  ;  const  dubbel  A2  =  A  *  A  ;  const  dubbel  G  =  a  /  A2  *  (  sin  (  A  )  -  A  *  cos  (  A  ))  +  b  /  A  /  A2  *  (  2  *  A  *  sin  (  A  )  +  (  2  -  A2  )  *  cos  (  A  )  -2  )  +  c  /  pow  (  A  ,  5  )  *  (  -  pow  (  A  ,  4  )  *  cos  (  A  )  +  4  *  ( (  3  *  A2  -6  )  *  cos  (  A  )  +  A  *  (  A2  -6  )  *  sin  (  A  )  +  6  ));  return  1  /  (  1  +  24  *  eta  *  G  /  A  );  } 

Hårda sfärer i skjuvflöde

För hårda sfärer i skjuvflöde uppstår funktionen u(r) från lösningen till steady-state tvåkropps-Smoluchowski- konvektion-diffusionsekvationen eller tvåkropps-Smoluchowski-ekvationen med skjuvflöde. En ungefärlig analytisk lösning på Smoluchowskis konvektions-diffusionsekvation hittades med hjälp av metoden för matchade asymptotiska expansioner av Banetta och Zaccone i Ref.

Denna analytiska lösning kan sedan användas tillsammans med Percus-Yevick-approximationen i Ornstein-Zernike-ekvationen . Ungefärliga lösningar för parfördelningsfunktionen i utvidgnings- och kompressionssektorerna för skjuvflöde och därmed den vinkelmedelvärde radiella fördelningsfunktionen kan erhållas, som visas i Ref., vilka är i god parameterfri överensstämmelse med numeriska data upp till packningsfraktioner $\eta \approx 0,5$ .

Se även

• Hypernettad kedjeekvation — en annan stängningsrelation
• Ornstein-Zernike ekvation