Hypernätkedjeekvation

Inom statistisk mekanik är ekvationen med hypernätkedje en stängningsrelation för att lösa Ornstein-Zernike-ekvationen som relaterar den direkta korrelationsfunktionen till den totala korrelationsfunktionen. Det används vanligen inom vätsketeorin för att få t.ex. uttryck för den radiella fördelningsfunktionen . Det ges av:

\ln y(r_{12})=\ln g(r_{12})+\beta u(r_{12})=\rho \int \left[h(r_{ 13})-\ln g(r_{13})-\beta u(r_{13})\right]h(r_{23})\,d\mathbf {r_{3}} ,\,

där $\rho ={\frac {N}{V}}$ är taldensiteten för molekyler, $h(r)=g( r)-1$ , $g(r)$ är den radiella fördelningsfunktionen , $u(r)$ är den direkta interaktionen mellan par. $\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}$ där $T$ är den termodynamiska temperaturen och $k_{ \rm {B}}$ Boltzmann -konstanten .

Härledning

Den direkta korrelationsfunktionen representerar den direkta korrelationen mellan två partiklar i ett system som innehåller N − 2 andra partiklar. Det kan representeras av

c(r)=g_{\rm {totalt}}(r)-g_{\ rm {indirekt}}(r)\,

där $\displaystyle g_{\rm {totalt}}(r)=g(r)=\exp[- \beta w(r)]}$ (med $w(r)$ potentialen för medelkraft ) och $g_{\rm {indirekt }}(r)$ är den radiella fördelningsfunktionen utan den direkta interaktionen mellan paren $u(r)$ inkluderad; dvs vi skriver $g_{\rm {indirekt}}(r)=\exp \{-\beta [w(r)-u(r)]\}$ . Sålunda uppskattar vi $c(r)$ med

c(r)=e^{-\beta w(r)}-e^{-\beta [w(r)-u(r)]}.\,

Genom att utöka den indirekta delen av $g(r)$ i ovanstående ekvation och introducera funktionen ${\displaystyle y(r)=e^{\beta u(r)}g(r)(=g_{\rm {indirekt}}(r))} vi kan$ uppskatta $c(r)$ genom att skriva: