Neumann–Poincaré-operatör

Inom matematik är Neumann –Poincaré-operatorn eller Poincaré–Neumann-operatorn, uppkallad efter Carl Neumann och Henri Poincaré, en icke-självadjoint kompaktoperator som introducerades av Poincaré för att lösa gränsvärdesproblem för laplacianen på avgränsade domäner i det euklidiska rymden. Inom potentialteorin reducerar den partiella differentialekvationen till en integralekvation på den gräns till vilken teorin om Fredholmsoperatörer kan ansökas. Teorin är särskilt enkel i två dimensioner – fallet som behandlas i detalj i den här artikeln – där den är relaterad till komplex funktionsteori , den konjugerade Beurling-transformen eller komplex Hilbert-transform och Fredholm-egenvärdena för avgränsade plana domäner.

Dirichlet och Neumann problem

Se även: Dirichlets gränsvillkor och Neumann gränsvillkor

Greens teorem för ett avgränsat område Ω i planet med jämn gräns ∂Ω säger att

$\displaystyle {\int _{\partial \Omega }A\,dx+B\,dy=\iint _{\Omega }(B_{x}-A_{y})\,dx\,dy. }$

Ett direkt sätt att bevisa detta är följande. Genom subtraktion räcker det att bevisa satsen för ett område som begränsas av en enkel jämn kurva. Alla sådana är diffeomorfa till den slutna enhetsskivan . Genom förändring av variabler räcker det att bevisa resultatet där. Genom att separera A- och B -termerna kan den högra sidan skrivas som en dubbelintegral som börjar i x- eller y -riktningen, på vilken kalkylens grundsats kan tillämpas. Detta omvandlar integralen över skivan till integralen över dess gräns.

Låt Ω vara ett område som begränsas av en enkel sluten kurva. Givet en jämn funktion f vid stängningen av Ω är dess normalderivata ∂ _n f vid en gränspunkt riktningsderivatan i riktningen för den utåtriktade normalvektorn. Att tillämpa Greens sats med A = v _x u och B = v _y u ger den första av Greens identiteter :

$\displaystyle {\int _{\partial \Omega }u\,\partial _{n}v= \iint _{\Omega }u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}-u\,\Delta v,}$

där Laplacian Δ ges av

$\displaystyle \Delta =-\partial _{x}^{2}-\partial _{y}^{2}.$

Att byta u och v och subtrahera ger den andra av Greens identiteter:

$\displaystyle {\int _{\partial \Omega }u\,\partial _{n}v-\partial _{n}u\,v=\iint _{\Omega }\,\Delta u\ ,vu\,\Delta v.}$

Om nu u är harmonisk i Ω och v = 1, så innebär denna identitet det

$\displaystyle {\int _{\partial \Omega }\partial _{n}u=0,}$

så integralen av normalderivatan av en harmonisk funktion på gränsen för ett område försvinner alltid.

Ett liknande argument visar att medelvärdet av en övertonsfunktion på gränsen för en skiva är lika med dess värde i mitten. Att översätta skivan kan anses vara centrerad vid 0. Greens identitet kan appliceras på en ring som bildas av skivans gräns och en liten cirkel centrerad på 0 med v = z 2 : det följer att medelvärdet är oberoende ^av cirkeln . Den tenderar till värdet vid sitt värde vid 0 när radien för den mindre cirkeln minskar. Detta resultat följer också enkelt med Fourier-serien och Poisson-integralen .

För kontinuerliga funktioner f på hela planet som är jämna i Ω och det komplementära området Ω ^c , kan förstaderivatan ha ett hopp över gränsen för Ω. Värdet på normalderivatan vid en gränspunkt kan beräknas inifrån eller utanför Ω. Den inre normalderivatan kommer att betecknas med ∂ _{n −} och den yttre normalderivatan med ∂ _{n +} . Med denna terminologi är de fyra grundläggande problemen med klassisk potentialteori följande:

• Inre Dirichlet problem: ∆ u = 0 i Ω, u = f på ∂Ω
• Interiör Neumann-problem: ∆ u = 0 i Ω, ∂ _{n −} u = f på ∂Ω
• Exteriör Dirichlet problem: ∆ u = 0 i Ω ^c , u = f på ∂Ω, u kontinuerlig vid ∞
• Exteriör Neumann-problem: ∆ u = 0 i Ω ^c , ∂ _{n +} u = f på ∂Ω, u kontinuerlig vid ∞

För de yttre problemen tar inversionskartan z ⁻¹ övertonsfunktioner på Ω ^c till övertonsfunktioner på bilden av Ω ^c under inversionskartan. Transformeringen v av u är kontinuerlig i en liten skiva | z | ≤ r och överton överallt i det inre utom möjligen 0. Låt w vara den övertonsfunktion som ges av Poisson-integralen på | z | ≤ r med samma gränsvärde g som v på | z | = r . Att tillämpa maximiprincipen på v − w + ε log | z | på δ ≤ | z | ≤ r måste den vara negativ för δ liten. Därför v ( z ) ≤ u ( z ) för z ≠ 0. Samma argument gäller med v och w ombytta, så v = w är harmonisk i skivan. Således är singulariteten vid ∞ borttagbar.

Genom maximiprincipen har de inre och yttre Dirichletproblemen unika lösningar. För det inre Neumann-problemet, om en lösning u är harmonisk i 0 och dess inre normalderivata försvinner, så innebär Greens första identitet u x ₌ 0 = u _y , så att u är konstant. Detta visar att det inre Neumann-problemet har en unik lösning för att lägga till konstanter. Om man tillämpar inversion, gäller samma sak för det externa Neumann-problemet.

För båda Neumann-problemen är en nödvändig förutsättning för att en lösning ska existera

$\displaystyle {\int _{\partial \Omega }f\,\,=\,\,0.}$

För det inre Neumann-problemet följer detta genom att sätta v = 1 i Greens andra identitet. För det yttre Neumann-problemet kan samma sak göras för skärningspunkten mellan Ω ^c och en stor skiva | z | < R , ger

$\displaystyle {\int _{\partial \Omega }f\,\,=\,\,\int _{|z|=R}\partial _{n}u.}$

Vid ∞ u är den reella delen av en holomorf funktion F med

$\displaystyle {F(z)=a_{0}+a_{1}z^{-1}+a_{2 }z^{-2}+\cdots }$

Den inre normalderivatan på | z | = R är bara den radiella derivatan ∂ _r , så att för | z | = R

$\displaystyle {|\partial _{r}F(z)|=|F^{\prime }(z)|\leq CR^{-2}.}$

Därav

$\displaystyle {\left|\int _{|z|=R}\partial _{n}u\right|\leq 2\pi CR^{-1},}$

så integralen över ∂Ω måste försvinna.

Den grundläggande lösningen av Laplacian ges av

$\displaystyle {E(z)=-{1 \över 2\pi }\log |z|.}$

N ( z ) = − E ( z ) kallas den Newtonska potentialen i planet. Med hjälp av polära koordinater är det lätt att se att E är i L ^p på vilken sluten skiva som helst för vilken ändlig p ≥ 1 som helst. Att säga att E är en grundläggande lösning av Laplacian betyder att för vilken smidig funktion φ som helst av kompakt stöd

$\displaystyle {\iint E\cdot \Delta \varphi =\varphi (0).}$

Standardbeviset använder Greens andra identitet på annulus r ≤ | z | ≤ R där stödet för φ finns i | z | < R . Faktum är att eftersom E är harmonisk borta från 0,

$\displaystyle {\iint _{|z|\geq r}E\cdot \Delta \varphi ={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (re^ {i\theta })-r\cdot \log r\cdot \partial _{n}\varphi (re^{i\theta })\,d\theta .}$

Eftersom r tenderar till noll, tenderar den första termen på höger sida till φ(0) och den andra till 0, eftersom r log r tenderar till 0 och normalderivatorna av φ är likformigt begränsade. (Att båda sidorna är lika även innan man tar gränser följer av det faktum att medelvärdet av en harmonisk funktion på gränsen för en skiva är lika med dess värde i mitten, medan integralen av dess normalderivata försvinner.)

Neumann–Poincaré kärna

Egenskaperna för den grundläggande lösningen leder till följande formel för att återställa en övertonsfunktion u i Ω från dess gränsvärden:

$\displaystyle {u(z)=\int _{\partial \Omega }K(z,w)u(w)-N(zw)\partial _{n}u(w)\,|dw |,}$

där K är Neumann−Poincaré-kärnan

$\displaystyle {K(z,w)=\partial _{n,w}N(zw).}$

För att bevisa denna identitet kan Greens andra identitet appliceras på Ω med en liten skiva centrerad på z borttagen. Detta minskar till att visa att identiteten håller i gränsen för en liten disk centrerad på z som krymper i storlek. Om man översätter kan man anta att z = 0 och identiteten blir

$\displaystyle {u(0)= \lim _{r\rightarrow 0}{1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }u(re^{i\theta })-r\cdot \log r\cdot \partial _{r}u(re^{i\theta })\,d\theta ,}$

vilket bevisades ovan. En liknande formel gäller för harmoniska funktioner i Ω ^c :

$\displaystyle {u(z)=\int _{\partial \Omega }-K(z,w)u(w)+N(zw)\partial _{n}u(w)\,|dw |.}$

Tecknen är omvända på grund av normalderivatans riktning.

har Neumann–Poincaré-kärnan K ( z , w ) den anmärkningsvärda egenskapen att den begränsar till en jämn funktion på ∂Ω × ∂Ω. Den definieras a priori endast som en jämn funktion utanför diagonalen men den tillåter en (unik) jämn förlängning av diagonalen. Genom att använda vektornotation v ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) för att parametrisera gränskurvan efter båglängd, gäller följande klassiska formler:

$\displaystyle {{\dot {\mathbf {v} }}\cdot {\dot {\mathbf {v} }}=1,\ ,\,\,{\ddot {\mathbf {v} }}\cdot {\dot {\mathbf {v} }}=0.}$

Enhetstangensvektorn t ( t ) vid t är således hastighetsvektorn

$\displaystyle {\mathbf {t} ={\dot {\mathbf {v} }},}$

så den orienterade enheten normal n ( t ) är

$\displaystyle {\mathbf {n} =(-{\dot {y}},{\dot {x}}).}$

Konstanten som relaterar accelerationsvektorn till normalvektorn är kurvans krökning :

$\displaystyle {{\ddot {\mathbf {v} }}=\kappa (t)\,\mathbf {n} (t).}$

Sålunda ges krökningen av

$\displaystyle {\kappa ={\ddot {\mathbf {v} }}\cdot \mathbf {n} ={\ddot {y}}{\dot {x}}-{\ddot {x}} {\dot {y}}.}$

Det finns ytterligare två formler för Frenet :

$\displaystyle {{\dot {\mathbf {n} }}=-\kappa \mathbf {t} ,\,\,\,{\ddot {\mathbf {n} }}={\dot {\ kappa }}\mathbf {n} -\kappa ^{2}\mathbf {t} .}$

Neumann–Poincaré-kärnan ges av formeln

$\displaystyle {K(\mathbf {u} ,\mathbf {v} (t))=-{1 \över 2\pi }{(\mathbf {u} -\mathbf {v} (t)) \cdot \mathbf {n} (t) \over |\mathbf {u} -\mathbf {v} |^{2}}.}$

För s ≠ t , ställ in

$\displaystyle {k(s,t)=K(v(s),v(t)).}$

Funktionen

$\displaystyle {a(s,t)={|v(s)-v(t)|^{2} \over |e^{is/L}-e^{it/L}|^ {2}}}$

är slät och försvinner ingenstans med a ( s , s ) = L ^{2 om längden} på kurvan är 2 π L.

Likaså funktionen

$\displaystyle {b(s,t)={(\mathbf {v} (s)-\mathbf {v} (t))\cdot \mathbf {n} (t) \over |e^{ är/L}-e^{it/L}|^{2}}}$

är slät. Skriver faktiskt s = t + h ,

$\displaystyle {\mathbf {v} (t+h)-\mathbf {v} (t)=h\mathbf {t} (t)+{h^{2} \over 2} \kappa (t)\mathbf {n} (t)-{h^{3} \over 6}\kappa (t)\mathbf {t} (t)+{h^{4} \over 24}({ \dot {\kappa }}\mathbf {n} -\kappa ^{2}\mathbf {t} )+\cdots ,}$

så att

$\displaystyle {h^{- 2}(\mathbf {v} (t+h)-\mathbf {v} (t))\cdot \mathbf {n} (t)=\kappa (t)/2+h^{2}{\dot {\kappa }}(t)/24+\cdots }$

På diagonalen b ( t , t ) = κ L ² / 2. Eftersom k är proportionell mot b / a är den också jämn. Dess diagonala värden ges av formeln

$\displaystyle {k(t,t)=-{\kappa (t) \over 4\pi }.}$

Ett annat uttryck för k ( s , t ) är följande:

$\displaystyle {k(s,t)={1 \over 2\pi }\partial _ {t}\arg(z(s)-z(t)),}$

där z ( t ) = x ( t ) + i y ( t ) är gränskurvan parametriserad av båglängden. Detta följer av identiteten

$\displaystyle {\log z=\log |z|+i\arg z}$

och Cauchy-Riemanns ekvationer som kan användas för att uttrycka normalderivatan i termer av tangentiell derivata, och

$\displaystyle {K(\mathbf {v} (t)+\lambda \mathbf {n} ( t),\mathbf {v} (t))=-{1 \över 2\pi \lambda },}$

så i riktningen normal till gränskurvan är K diskontinuerlig vid gränsen.

Dubbla lagerpotentialer

Dubbelskiktspotentialen med momentet φ i C ( ∂Ω) definieras på komplementet till ∂Ω som

$\displaystyle {D(\varphi )(z)=\int _{\partial \Omega }K(z,w)\varphi (w)\,|dw|.}$

Det är en kontinuerlig funktion på komplementet. Eftersom begränsningen av K sträcker sig till en jämn funktion på ∂Ω × ∂Ω, kan D (φ) också definieras på ∂Ω. Men som Neumann-Poincaré-kärnan kommer den att ha diskontinuiteter vid gränsen. Dessa är hoppdiskontinuiteter. Om φ är reell, är dubbelskiktspotentialen bara den reella delen av en Cauchy-integral:

$\displaystyle {D(\varphi )(z)=\Re {1 \over 2\pi i}\int _{\partial \Omega }{\varphi (w) \over wz}\,dw.}$

Det enklaste fallet är när φ är identiskt 1 på ∂Ω. I detta fall D (1) lika med

• 1 på Ω, genom att integralen av normalderivatan försvinner på gränsområdet som begränsas av ∂Ω och en liten skiva centrerad på z ; så integralen över ∂Ω är lika med medelvärdet av funktionen 1 på gränsen för en liten skiva och är därmed lika med 1. (Denna integral och den för Ω c ^kan också beräknas med Cauchys integralsats .)
• 0 på Ω ^c , eftersom det är integralen av en normalderivata av en övertonsfunktion.
• 1/2 på ∂Ω, sedan

$\displaystyle {\int _{\partial \Omega }K(z,w)|dw|={1 \över 2\pi }\int _{s-\pi L}^{s+\pi L} \partial _{t}\arg(z(s)-z(t))\,dt=1/2.}$

Per definition är Neumann–Poincaré-operatorn T K _operatorn på L ² (∂Ω) som ges av kärnan K ( z , w ). Det är en Hilbert–Schmidt-operatör eftersom kärnan är kontinuerlig. Den tar värden i C ^∞ (∂Ω) eftersom kärnan är jämn. Den tredje beräkningen ovan är ekvivalent med påståendet att konstantfunktionen 1 är en egenfunktion till T _K med egenvärde 1/2.

För att upprätta hoppformler för mer generella funktioner är det nödvändigt att kontrollera att integralerna för D (1) är enhetligt absolut konvergenta, dvs. att det finns en enhetlig finit bunden C så att

$\displaystyle {\int _{\partial \Omega }|K(z,w)|\,|dw|\leq C}$

för alla z inte i gränsen. Det räcker att kontrollera detta för punkter i ett rörformigt område av gränsen. Varje sådan punkt u ligger på en normal till en unik punkt, säg v (0), på kurvan och det räcker med att titta på bidraget till integralen från punkterna v ( t ) med t i ett litet intervall runt 0. Skriva

$\displaystyle {\mathbf {u} =\mathbf {v} (0)+\lambda \mathbf {n} (0),}$

det följer att

$\displaystyle {\mathbf {v} (t)-\mathbf {u} =-\lambda \mathbf {n} (0)+t\mathbf {t} (0)+{t^{2} \ över 2}\kappa (0)\mathbf {n} (0)+O(t^{3}).}$

Så för t tillräckligt liten

$\displaystyle {|\mathbf {v} (t)-\mathbf {u} |^{2}=\lambda ^{2}+t^{2}(1-\lambda \ kappa (0))+O(t^{3})\geq (\lambda ^{2}+t^{2})/2,\,\,\,\,\,\,|(\mathbf { v} (t)-\mathbf {u} )\cdot \mathbf {n} (0)|=|-\lambda +{t^{2} \over 2}\kappa (0)+O(t^{ 3})|\leq |\lambda |+C_{1}t^{2}}$

för någon konstant C ₁ . (Den första ojämlikheten ger en ungefärlig version av Pythagoras sats i det rörformiga grannskapet.) Därför

$\displaystyle {2\pi \cdot |K(\mathbf {u} ,\mathbf {v} (t))|={|(\mathbf {v} (t)-\mathbf {u} )\ cdot \mathbf {n} (0)| \over |\mathbf {v} (t)-\mathbf {u} |^{2}}\leq {2|\lambda |+C_{1}t^{2} \over \lambda ^{2}+ t^{2}}\leq {2|\lambda | \over \lambda ^{2}+t^{2}}+C_{1}.}$

Enhetlig begränsning följer eftersom den första termen har en finit integral oberoende av λ:

$\displaystyle {\int _{-\infty }^{\infty }{|\lambda |\,dt \over t^{2}+\lambda ^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }{dt \over t^{2}+1}=\pi <\infty .}$

Bindningen ovan kan användas för att bevisa att om momentet φ försvinner vid en gränspunkt z så är dess dubbelskiktspotential D (φ) kontinuerlig vid z . Mer allmänt om φ _n tenderar likformigt till φ, då konvergerar D (φn ₎ ( zn _{) till} D (φ)( z ). Anta faktiskt att |φ( w )| ≤ ε om | w - z | ≤ δ. Att ta z _n mot z

$|D(\varphi _{n})(z_{n})-D(\varphi )(z)|\leq \int _{|wz|\geq \delta}|K(z_{n} ,w)-K(z,w)||\varphi (w)|\,|dw|+\int _{|wz|\leq \delta}(|K(z_{n},w)|+| K(z,w)|)\cdot |\varphi (w)|\,|dw|$

$+\int _{\partial \Omega }|K(z_{n},w)|\cdot |\varphi _{n}(w)-\varphi (w)|\,|dw|.$

Den första integranden tenderar likformigt till 0 så integralen tenderar till 0. Den andra integralen är ovanför begränsad av 2ε C . Den tredje integralen begränsas av C gånger högsta normen för φ _n − φ. Därför tenderar D (φ)( zn _{) till} D (φ)( z ).

HOPPA FORMLER. Om φ är en kontinuerlig funktion på ∂Ω, sträcker sig begränsningarna av dess dubbelskiktspotential u = D φ till Ω och Ω ^c unikt till kontinuerliga funktioner på deras stängningar. Låt u ₋ och u ₊ vara de resulterande kontinuerliga funktionerna på ∂Ω. Sedan

$\displaystyle {u_{-}(z)={1 \över 2}\varphi (z)+T_{K}\varphi (z),\,\,\,\,\,u_{+} (z)=-{1 \över 2}\varphi (z)+T_{K}\varphi (z).}$

Särskilt

$\displaystyle {\varphi =u_{-}-u_{+}.}$

Faktum är att uttrycken för u _± är kontinuerliga, så det räcker att visa att om z _n tenderar till en gränspunkt z med z _n i Ω eller Ω ^c så tenderar u ( z _n ) till uttrycket för u _± ( z ). Om z _n ligger i Ω eller Ω ^c då

$\displaystyle {u(z_{n})\mp {1 \over 2}\varphi (z)-T_{K}\ varphi (z)=\int _{\partial \Omega }(K(z_{n},w)-K(z,w))(\varphi (w)-\varphi (z))\,|dw| =D(\psi )(z_{n})-D(\psi )(z),}$

där ψ( w ) = φ( w ) − φ( z ). Den högra sidan tenderar till noll eftersom ψ försvinner vid z .

Enskiktspotentialer

Enkelskiktspotentialen med momentet φ i C(∂Ω ) definieras på C som

$\displaystyle {S(\varphi )(z)=\int _{\partial \Omega }N(zw)\varphi (w)\,|dw|,}$

där N är den Newtonska potentialen

$\displaystyle {N(z)={1 \över 2\pi }\log |z|.}$

Enkelskiktspotentialen är harmonisk från ∂Ω. Eftersom

$\displaystyle {S(\varphi )(z)={1 \över 2\pi }\int _{\partial }(\log |zw|-\log |z|)\varphi (w)\ ,|dw|+{\log |z| \över 2\pi }\int \varphi (w)\,|dw|,}$

och den första integranden tenderar likformigt till 0 som | z | tenderar till oändligheten är enkelskiktspotentialen harmonisk vid oändligheten om och endast om ∫ φ = 0.

Enkelskiktspotentialen är kontinuerlig på C . Faktum är att kontinuiteten av ∂Ω är tydlig. Om z _n tenderar till z med z i ∂Ω, då

$|S(\varphi )(z)-S(\varphi )(z_{n})|\leq {1 \over 2\pi }\int _{|wz|\geq \varepsilon }|\log |zw|-\log |z_{n}-w||\,|\varphi (w)|\,|dw|+\|\varphi \|_{\infty }\int _{|wz|\leq \varepsilon }(|\log |zw||+|\log |z_{n}-w||)\,|dw|.$

Den första integranden tenderar likformigt till 0 på | w - z | ≥ ε. För n tillräckligt stor begränsas den sista integralen av

$\displaystyle {2\int _{|wz|\leq 2\varepsilon }|\log |zw||\,\,|dw|,}$

som tenderar till 0 som ε tenderar till 0, av Cauchy–Schwarz-olikheten eftersom integranden är kvadratintegrerbar.

Samma argument visar att S = T _N definierar en begränsad operator på C(∂Ω):

$\displaystyle {\|S\varphi \|_{\infty }\leq C^{\prime }\|\varphi \|_{\infty } ,}$

för φ i C(∂Ω).

Även om enkelskiktspotentialerna är kontinuerliga, har deras första derivator en hoppdiskontinuitet över ∂Ω. På det rörformiga området ∂Ω definieras normalderivatan av

$\displaystyle {\partial _{n}u(z+a\mathbf {n} _{z})={d \over dt}a(z+t\mathbf {n} _{z})| _{t=a}.}$

Det följer att

$\displaystyle {\partial _{n}S(\varphi )(z)=\int _{\partial \Omega }K(w,z)\varphi (w)\,|dw|,}$

så det ges av den angränsande kärnan till K :

$\displaystyle {K^{*}(z,w)=K(w,z).}$

Kärnan K * sträcker sig naturligt till en jämn funktion på ∂Ω × ∂Ω och operatorn T _{K *} är adjointen till T _K på L ² (∂Ω).

HOPPA FORMLER. Om φ är en kontinuerlig funktion på ∂Ω, sträcker sig normalderivatorna av enkelskiktspotentialen u = S (φ) på Ω och Ω ^c nära ∂Ω kontinuerligt till stängningen av båda regionerna, vilket definierar kontinuerliga funktioner ∂ _{n -} u och ∂ _{n +} u på ∂Ω. Sedan

$\displaystyle {\partial _{n-}u(z)=-{1 \över 2}\varphi (z)+T_{K}^{*}\varphi (z),\,\,\ ,\,\,\partial _{n+}u(z)={1 \över 2}\varphi (z)+T_{K}^{*}\varphi (z).}$

Särskilt

$\displaystyle {\varphi =\partial _{n+}u-\partial _{n-}u.}$

Låt i själva verket v = D (φ) vara dubbelskiktspotentialen med momentet φ. På ∂Ω inställd

$\displaystyle {f=T_{K}\varphi +T_{K}^{*}\varphi }$

och på komplementet av ∂Ω i en rörformig grannskapsuppsättning

$\displaystyle {f=v+\partial _{n}u.}$

Då är f kontinuerlig på det rörformade kvarteret. Faktum är att per definition är kontinuerlig på ∂Ω och dess komplement, så det räcker med att f ( z _n ) tenderar till f ( z ) närhelst z _n är en sekvens av punkter i komplementet som tenderar mot en gränspunkt z . I detta fall

$\displaystyle {f(z_{n})-f(z)=\int _{\partial \Omega }(K(w,z_{n})+K(z_{n},w)-K (w,z)-K(z,w))\varphi (w)\,|dw|=\int _{|wz|\geq \delta }+\int _{|wz|\leq \delta }. }$

Integranden tenderar likformigt till 0 för | w − z | ≥ δ, så den första integralen tenderar till 0. För att visa att den andra integralen är liten för δ liten, räcker det att visa att integraden är likformigt avgränsad. Detta följer eftersom, om ζ _n är punkten på ∂Ω med normal som innehåller z _n , då

$\displaystyle {2\pi |K(z_{n},w)+K(w,z_{n})|={|(z_{n}-w)\cdot (\mathbf {n} _ {\zeta _{n}}-\mathbf {n} _{w})| \over |z_{n}-w|^{2}}\leq {|\mathbf {n} _{\zeta _{n}}-\mathbf {n} _{w}| \over |z_{n}-w|}={|\mathbf {n} _{\zeta _{n}}-\mathbf {n} _{w}| \over |\zeta _{n}-w|}\cdot {|\zeta _{n}-w| \over |z_{n}-w|}.}$

Den första termen den sista produkten likformigt avgränsad på grund av jämnheten hos Gauss-kartan n ( t ). Den andra är enhetligt begränsad på grund av den ungefärliga versionen av Pythagoras sats:

$\displaystyle {|z_{n}-w|^{2}\geq (|z_{n}- \zeta _{n}|^{2}+|\zeta _{n}-w|^{2})/2.}$

Kontinuitet för f innebär att på ∂Ω

$\displaystyle {T_{K}\varphi +T_{K}^{ *}\varphi =v_{\pm }+\partial _{n\pm }u=\mp \varphi /2+T_{K}\varphi +\partial _{n\pm }u,}$

vilket ger hoppformlerna.

Derivater av lagerpotentialer

Om momentet φ är jämnt, sträcker sig derivatorna av enkel- och dubbelskiktspotentialerna på Ω och Ω c ^{kontinuerligt} till deras stängningar.

Som vanligt definieras gradienten för en funktion f definierad på en öppen mängd i R ^{2 av}

$\displaystyle {\nabla f=(\partial _{x}f,\partial _{y}f).}$

Uppsättning

$\displaystyle {{\widetilde {\nabla }}f=(\partial _{y}f,-\partial _{x}f).}$

Om ögonblicket φ är jämnt, då

$\displaystyle {\nabla S(\varphi )=-D(\varphi \mathbf {n} )+S(\partial _{t}(\varphi \mathbf {t} )),\,\,\ ,\nabla D(\varphi )={\widetilde {\nabla }}S({\dot {\varphi }}).}$

Faktiskt

$\displaystyle {\nabla _{z}N(zw)=-\nabla _{w}N(zw)=-\partial _{n,w}N(zw)\mathbf {n} _{w }-\partial _{t}N(zw)\mathbf {t} _{w},}$

så att

$\displaystyle {\nabla S(\varphi )=-D(\varphi \mathbf {n} )-\int _{\partial \Omega }(\partial _{t}N(z-\mathbf {v } (t)))\varphi (t)\mathbf {t} (t)\,dt=-D(\varphi \mathbf {n} )+S(\partial _{t}(\varphi \mathbf {t } )).}$

Dessutom

$\displaystyle {\nabla D(\varphi )=\int _{\partial \Omega }\Delta _{z}N(zw)\mathbf {n} \varphi -{\widetilde {\nabla }}\ int _{\partial \Omega }\partial _{t}N(z-\mathbf {v} (t))\,\varphi \,dt={\widetilde {\nabla }}S({\dot {\ varphi }}).}$

Den andra relationen kan skrivas om genom att ersätta från den första relationen:

$\displaystyle {\nabla D(\varphi )=D({\dot {\varphi }}\mathbf {t} )+S(\partial _{t}({\dot {\varphi }}\mathbf {n} )),}$

Regelbundenhet hos lagerpotentialer. Som en konsekvens av dessa relationer kan successiva derivator alla uttryckas i termer av enkel- och dubbelskiktspotentialer av jämna moment på gränsen. Eftersom skiktpotentialerna på Ω och Ω ^c har kontinuerliga gränser på gränsen följer det att de definierar jämna funktioner på stängningarna av Ω och Ω ^c .

Kontinuitet för normalderivator av dubbelskiktspotentialer. Precis som enkelskiktspotentialerna är kontinuerliga vid gränsen med ett hopp i normalderivatan, så har dubbelskiktspotentialerna ett hopp över gränsen medan deras normalderivator är kontinuerliga. Faktiskt från formeln ovan

$\displaystyle {\partial _{n}D(\varphi )(\mathbf {v} (s)+\lambda \mathbf {n} (s))=D({\dot {\varphi }}\ mathbf {t} \cdot \mathbf {n} (s))+S(\partial _{t}({\dot {\varphi }}\mathbf {n} )\cdot \mathbf {n} (s)) .}$

Om s _n tenderar till s och λ _n tenderar till 0, tenderar den första termen till T _K ( v (s)) eftersom momenten tenderar enhetligt till att ett moment försvinner vid t = s ; den andra termen är kontinuerlig eftersom den är en enskiktspotential.

Lösning av Dirichlet och Neumann problem

Se även: Sobolev-utrymmen för plana domäner § Tillämpning på Neumann-problem

Följande egenskaper för T = T _K krävs för att lösa gränsvärdesproblemet:

• 1/2 är inte ett generaliserat egenvärde för T _K eller T _K *; den har en mångfald.
• −1/2 är inte ett egenvärde för T _K eller T _K *.

Eftersom en I + T är en Fredholm-operator av index 0, har den och dess adjoint kärnor av samma dimension. Detsamma gäller för denna operatörs alla befogenheter. Så det räcker med att verifiera vart och ett av påståendena för antingen T eller T *. För att kontrollera att T inte har några generaliserade egenvektorer med egenvärde 1/2 räcker det att visa att

$\displaystyle {T_{K}\varphi -{1 \over 2}\varphi =1}$

har inga lösningar. Definitionen av dubbellagerpotentialen visar att den försvinner vid ∞, så att den är harmonisk vid ∞. Ekvationen ovan visar att om u = D (φ) så är u ₊ = 1. Å andra sidan ger det en motsägelse att tillämpa inversionskartan; för det skulle producera en övertonskarta i ett begränsat område som försvinner vid en inre punkt med gränsvärde 1, vilket motsäger det faktum att 1 är den enda övertonskarta med gränsvärde 1. Om egenvärdet 1/2 har multiplicitet större än 1, finns det ett moment φ så att T *φ = φ/2 och ∫ φ = 0. Det följer att om u = S (φ) då är ∂ _{n −} u = 0. Genom unikhet är u konstant på Ω. Eftersom u är kontinuerlig på R ² ∪ ∞ och är harmonisk vid ∞ (eftersom ∫ φ = 0) och konstant på ∂Ω, måste den vara noll. Därför är φ = ∂ _{n +} u − ∂ _{n −} u = 0. Egenrummet är alltså endimensionellt och egenfunktionen ψ kan normaliseras så att S (ψ) = 1 på ∂Ω.

I allmänhet om

$\displaystyle {T_{K}^{*}\varphi +{1 \over 2}\varphi =f,}$

sedan

$\displaystyle {\int \varphi =\int f,}$

eftersom

$\int f=(f,1)=((T_{K}^{*}+{1 \över 2})\varphi ,1)=(\varphi ,(T_{K}+{1 \ över 2})1)=(\varphi ,1)=\int \varphi .$

Om φ uppfyller

$\displaystyle {T_{K}^{*}\varphi +{1 \over 2}\varphi =0,}$

det följer att ∫ φ = 0 och därför är u = S (φ) harmonisk i oändligheten. Med hoppformlerna är ∂ _{n -} u = 0. Genom unikhet är u konstant på Ω. Genom kontinuitet är den konstant på ∂Ω. Eftersom den är harmonisk på Ω ^c och försvinner i oändligheten, måste den försvinna på samma sätt. Som ovan tvingar detta φ = 0.

Dessa resultat på egenvärdena för T _K leder till följande slutsatser om de fyra gränsvärdesproblemen:

• det finns alltid en unik lösning på de inre och yttre problemen med Dirichlet;
• det finns en lösning på de inre och yttre Neumann-problemen om och endast om ∫ f = 0; lösningen är unik upp till en konstant för det inre Neumann-problemet och unikt för det yttre problemet;
• lösningen är smidig vid stängning av domänen om gränsdata är jämn.

Lösningen erhålls enligt följande:

• Inredning Dirichlet problem. Låt φ vara den unika lösningen av T _K φ + φ/2 = f . Då u = D (φ) lösningen av Dirichlet-problemet i Ω genom hoppformeln.
• Exteriör Dirichlet problem. Eftersom 1 inte ligger inom området T _K − ½ I , kan f skrivas unikt som f = T _K φ − φ/2 + λ där φ är unik upp till en konstant. Då u = D (φ) + λ S (ψ) lösningen av Dirichlet-problemet i Ω ^c genom hoppformeln.
• Interiör Neumann problem. Villkoret ( f ,1) = 0 innebär att f = T _K *φ − φ/2 kan lösas. Då u = S (φ) lösningen av Neumann-problemet i Ω genom hoppformeln.
• Exteriört Neumann problem. Låt φ vara den unika lösningen av T _K *φ + φ/2 = f . Då u = S (φ) lösningen av Neumann-problemet i Ω genom hoppformeln.

Lösningens jämnhet följer av regelbundenhet hos enkel- och dubbelskiktspotentialer.

Calderón projektor

Huvudartikel: Calderón-projektor

Det finns en annan konsekvens av de lagar som styr derivatorna, som fullbordar symmetrin av hopprelationerna, är att normalderivatan av dubbellagerpotentialen inte har något hopp över gränsen, dvs den har en kontinuerlig förlängning till ett rörformigt område av den givna gränsen. förbi

$\displaystyle {H(\varphi )=-\partial _{n}D(\varphi )|_{\partial \Omega }=-\partial _{t}(S(\partial _{t}\ varphi )|_{\partial \Omega }).}$

H kallas en hypersingularoperator . Även om det krävs jämna funktioner för att jämna ut funktioner, är det inte en begränsad operator på L ² (∂Ω). I själva verket är det en pseudodifferentiell operator av ordning 1, så definierar den också en begränsad operator mellan Sobolev-utrymmen på ∂Ω, vilket minskar ordningen med 1. Den tillåter att en 2 × 2-matris av operatorer definieras av

$\displaystyle {C={\begin{pmatrix}{1 \over 2}I+T_{K}&S\\H&{1 \over 2}I-T_{K}^{*}\end{pmatrix }}.}$

Matrisen uppfyller C ² = C , så är en idempotent , kallad Calderón-projektorn. Denna identitet motsvarar följande klassiska relationer, varav den första är Plemeljs symmetriseringsrelation:

$\displaystyle {ST^{*}=TS,\,\,\,SH={1 \över 4}IT^{2},\,\,\,HS={1 \over 4}I- (T^{*})^{2},\,\,\,HT=T^{*}H.}$

Operatörerna T och S är pseudodifferentiella operatorer av ordningen −1. Relationerna ovan följer genom att betrakta u = S (φ). Den har gränsvärdet S φ) och normalderivatan T * φ − φ/2. Alltså i Ω

$\displaystyle {u=D(S\varphi )-S(T^{*}\varphi )+S( \varphi )/2.}$

Att ta gränsvärdena för båda sidorna och deras normala derivata ger 2 ekvationer. Ytterligare två resultat genom att betrakta D (Ψ); dessa antyder relationerna för Calderón-projektorn.

Fredholms egenvärden

Se även: Symmetriserbar kompaktoperator och Grunsky-matris § Grunsky-operator och Fredholm_determinant

Egenvärdena som inte är noll för Neumann–Poincaré-operatorn T _K kallas Fredholms egenvärden för regionen Ω. Eftersom T _K är en kompakt operator , faktiskt en Hilbert-Schmidt-operator , är alla icke-noll-element i dess spektrum egenvärden av finit multiplicitet enligt Fredholms-operatorernas allmänna teori . Lösningen av gränsvärdet kräver kunskap om spektrumet vid ± 1/2, nämligen att konstantfunktionen ger en egenfunktion med egenvärde 1/2 och multiplicitet ett; att det inte finns några motsvarande generaliserade egenfunktioner med egenvärde 1/2; och att -1/2 inte är ett egenvärde. Plemelj (1911) bevisade att alla egenvärden som inte är noll är reella och ingår i intervallet (-1/2,1/2] Blumenfeld & Mayer (1914) bevisade att de andra egenvärdena som inte är noll har en viktig symmetriegenskap, nämligen att om λ är ett egenvärde med 0 < |λ| < 1/2, så är det –λ, med samma multiplicitet, Plemelj visade också att T = T _K är en symmetriserbar kompaktoperator , så att den, även om den inte är självadjoint, delar många av egenskaperna hos självadjoint operatörer. I synnerhet finns det inga generaliserade egenfunktioner för egenvärden som inte är noll och det finns en variationsprincip som liknar minimaxprincipen för att bestämma egenvärden som inte är noll.

Om λ ≠ 1/2 är ett egenvärde av T _K * så är λ reell, med λ ≠ ± 1/2. Låt φ vara en motsvarande egenfunktion och sätt efter Plemelj u = S (φ). Då innebär hoppformlerna det

$\displaystyle {\partial _{n\pm }u=(\lambda \mp {1 \over 2})\varphi ,}$

och därav det

$\displaystyle {(\lambda +{1 \över 2})\int _{\partial \Omega }\partial _{n+}u\,{\overline {u}}=(\lambda -{1 \ över 2})\int _{\partial \Omega }\partial _{n-}u\,{\overline {u}}.}$

Eftersom ∫ φ = 0 är u harmonisk vid ∞. Alltså enligt Greens teorem

$\displaystyle {(\lambda +{1 \över 2})\iint _{\Omega }|u_{x}|^{2}+|u_{y}|^{2}=(\lambda - {1 \över 2})\iint _{\Omega ^{c}}|u_{x}|^{2}+|u_{y}|^{2}.}$

Om båda integralerna försvinner är u konstant på Ω och Ω ^c . Eftersom det är kontinuerligt och försvinner vid ∞ måste det därför vara identiskt 0, vilket motsäger φ = ∂ _{n +} - ∂ _{n −} . Så båda integralerna är strikt positiva och därför måste λ ligga i (−½,½).

Låt φ vara en egenfunktion till T _K * med reellt egenvärde λ som uppfyller 0 < |λ| < 1/2. Om u = S (φ), då på ∂Ω

$\displaystyle {u_{+}=u_{-},\,\,\,{\partial _{n+}u \over \lambda +{1 \over 2}}={\partial _{n_{ -}}u \over \lambda -{1 \over 2}}=\varphi .}$

Denna process kan vändas. Låt u vara en kontinuerlig funktion på R ² ∪ ∞ som är harmonisk på Ω och Ω ^c ∪ ∞ och sådan att derivatorna av u på Ω och Ω ^c sträcker sig kontinuerligt till deras stängningar. Anta att

$\displaystyle {{\partial _{n+}u \over \lambda +{1 \over 2}}={\partial _{n_{-}}u \over \lambda -{1 \over 2}} =\varphi .}$

Låt ψ vara begränsningen av u till ∂Ω. Sedan

$\displaystyle {u|_{\Omega }=D(\psi )-(\lambda -{1 \over 2})S(\varphi ),\,\,\,u|_{\Omega ^ {c}}=-D(\psi )+(\lambda +{1 \över 2})S(\varphi ).}$

Hoppformlerna för gränsvärdena och normalderivatan ger

$\displaystyle {\psi =T\psi +{ 1 \över 2}\psi -(\lambda -{1 \över 2})S\varphi =-(T\psi -{1 \över 2}\psi )+(\lambda +{1 \över 2}) S\varphi }$

och

$\displaystyle {(\lambda -{1 \over 2})\varphi =\partial _{n}D(\psi )|_{\partial \Omega }-(\lambda -{1 \over 2} )(T^{*}\varphi -{1 \over 2}\varphi ),\,\,\,\,(\lambda +{1 \over 2})\varphi =-\partial _{n}D (\psi )|_{\partial \Omega }+(\lambda +{1 \over 2})(T^{*}\varphi +{1 \over 2}\varphi ).}$

Det följer att

$\displaystyle {T\psi =\lambda \psi ,\,\,\,T^{*}\varphi =\lambda \varphi ,\,\, \,S\varphi =\psi ,\,\,\,\partial _{n}D(\psi )|_{\partial \Omega }=(\lambda ^{2}-{1 \över 4}) \varphi ,}$

så att ψ och φ är egenfunktioner till T och T * med egenvärde λ.

Låt u vara en verklig harmonisk funktion på Ω som sträcker sig till en jämn funktion vid dess stängning. Det harmoniska konjugatet v av u är den unika reella funktionen på Ω så att u + i v är holomorft. Som sådan måste den uppfylla Cauchy-Riemanns ekvationer :

$\displaystyle {u_{x}=-v_{y},\,\,u_{y}=v_{x}.}$

Om a är en punkt i Ω ges en lösning av

$\displaystyle {v(z)=\int _{a}^{z}-u_{y}dx+u_{x }dy,}$

där integralen tas över vilken bana som helst i stängningen av Ω. Det är lätt att verifiera att v _x och v _y existerar och ges av motsvarande derivator av u . Sålunda v en jämn funktion vid stängningen av Ω, som försvinner vid 0. Enligt Cauchy-Riemann-ekvationerna är f = u + i v jämn vid stängningen av Ω, holomorft på Ω och f (a) = 0. Använda inversionskarta, samma resultat gäller för en övertonsfunktion i Ω ^c harmonisk vid ∞. Den har ett harmoniskt konjugat v så att f = u + i v sträcker sig jämnt till gränsen och f är holomorft på Ω ∪ ∞. Justerar man v med en konstant kan man anta att f (∞) = 0.

Efter Schiffer (2011) , låt φ vara en egenfunktion till T _K * med ett reellt egenvärde λ som uppfyller 0 < |λ| < 1/2. Låt u = S (φ) och låt v _± vara de harmoniska konjugaten av u _± i Ω och Ω ^c . Sedan den ∂Ω

$\displaystyle {u_{+}=u_{-},\,\,\,{\ partiell _{n+}u \over \lambda -{1 \over 2}}={\partial _{n_{-}}u \over \lambda +{1 \over 2}}=\varphi ,}$

Cauchy-Riemann-ekvationerna ger på ∂Ω

$\displaystyle {\partial _{n+}v=\partial _{n_{-}}v,\,\,\,\,v_{+}={\lambda +{1 \over 2} \over \lambda -{1 \over 2}}\cdot v_{-}.}$

Definiera nu

$\displaystyle {U_{-}=v_{-},\,\,\,\,U_{+}={\lambda +{1 \over 2} \over \lambda -{1 \over 2} }\cdot v_{+}.}$

Således är U kontinuerlig på R ² och

$\displaystyle {\partial _{n+}U={\lambda -{1 \over 2} \over \lambda +{1 \over 2}}\cdot \partial _{n_{-}}U.}$

Det följer att −λ är ett egenvärde till T . Eftersom − u är det harmoniska konjugatet av v , är processen att ta harmoniska konjugat en-ett, så multipliciteten av −λ som ett egenvärde är densamma som för λ.

Enligt Greens teorem

$\displaystyle {\iint _{\Omega }S(\varphi _{1})_{x}S(\varphi _{2})_{x}+S(\varphi _{1})_ {y}S(\varphi _{2})_{y}=\int _{\partial \Omega }S(\varphi _{1})\partial _{n-}S(\varphi _{2} ),\,\,\,\iint _{\Omega ^{c}}S(\varphi _{1})_{x}S(\varphi _{2})_{x}+S(\varphi _{1})_{y}S(\varphi _{2})_{y}=\int _{\partial \Omega }S(\varphi _{1})\partial _{n-}S( \varphi _{2}).}$

Lägger man till de två integralerna och använder hopprelationerna för enskiktspotentialen, följer det

$\displaystyle {\iint S(\varphi _{1})_{x}S(\varphi _{2})_{x}+S(\varphi _{1})_{y}S( \varphi _{2})_{y}=\int _{\partial \Omega }S(\varphi _{1})\varphi _{2}.}$

Således

$\displaystyle {(S\varphi ,\varphi )=\int \|\nabla S(\phi )\|^{2},\,\,\,(S\varphi _{1},\varphi _{2})=\int \nabla S(\varphi _{1})\cdot {\overline {\nabla S(\varphi _{2})}}.}$

Detta visar att operatorn S är självadjoint och icke-negativ på L ² (∂Ω).

Bilden av S är tät (eller motsvarande har den noll kärna). Faktum är att förhållandet SH = ¼ I - T ² =(½ I – T ) (½ I + T ) visar att stängningen av bilden av S innehåller bilden av ½ I – T , som har kodimension 1. Dess ortogonala komplement ges av kärnan av T – ½ I , dvs egenfunktionen ψ så att T *ψ = ½ ψ. Å andra sidan ST = T * S . Om stängningen av bilden inte är hela L ² (∂Ω) så är nödvändigtvis S ψ = 0. Därför är S {ψ) konstant. Men då är ψ = ∂ _{n +} S (ψ) – ∂ _{n −} S (ψ) = 0, en motsägelse.

Eftersom S är strikt positiv och T uppfyller Plemelj-symmetriseringsrelationen ST *= TS , är operatorn T * en symmetriserbar kompaktoperator . Operatören S definierar en ny inre produkt på L ² (∂Ω):

$\displaystyle {(f,g)_{S}=(Sf,g).}$

Operatören T * är formellt självadjoint med avseende på denna inre produkt och enligt allmän teori är dess begränsning begränsad och den definierar en självadjoint Hilbert–Schmidt-operator på Hilbert-rymden. Eftersom T * formellt är självadjoint på detta inre produktutrymme, följer det omedelbart att varje generaliserad egenfunktion av T * redan måste vara en egenfunktion. Enligt Fredholms teori gäller samma sak för T . Enligt allmän teori spänner kärnan av T och dess egenrum som inte är noll ett tätt delrum av L ² (∂Ω). De Fredholm determinant definieras av

$\displaystyle {\Delta (z)=\det(I-zT^{2}).}$

Det kan uttryckas i termer av Fredholms egenvärden λ _n med modul mindre än 1/2, räknat med multiplicitet, som

$\displaystyle {\Delta (z)=(1-z/4)\cdot \prod _{n\geq 1}(1-z\lambda _{n}^{2}).}$

Komplex Hilbert-transform

Se även: Beurling-transform och Grunsky-matris

Definiera nu den komplexa Hilbert-transformen eller konjugera Beurling-transformen T _c på L ² ( C ) med

$\displaystyle {T_{c}f(w)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}-{1 \over \pi }\iint _{|zw|\geq \varepsilon }{{\overline { f(z)}} \over (zw)^{2}}\,dx\,dy.}$

Detta är en konjugat-linjär isometrisk involution.

Den pendlar med ∂ _z så bär A ² (Ω) ⊕ A ² (Ω ^c ) på sig själv. Kompressionen av Tc till A2 ⁽ Ω ) betecknas T _{Ω .}

Om F är en holomorf univalent karta från enhetsskivan D till Ω så kan Bergmanutrymmet för Ω och dess konjugat identifieras med det för D och T _Ω blir den konjugat-linjära singulära integraloperatorn med kärna

$K_{F}(z,w)={F^{\prime }(z)F^{\prime }(w) \over (F(z)-F(w))^{2}} .$

Det definierar en sammandragning . Å andra sidan kan det kontrolleras att T _D = 0 genom att direkt beräkna potenserna z ⁿ med Stokes sats för att överföra integralen till gränsen.

Det följer att den konjugat-linjära operatorn med kärna

$\displaystyle {{F^{\prime }(z)F^{\ primtal }(w) \över (F(z)-F(w))^{2}}\,-\,{1 \över (zw)^{2}}}$

fungerar som en sammandragning på Bergmanrummet av D . Det är alltså en Hilbert–Schmidt-operatör .

Den konjugerade-linjära operatorn T = T _Ω uppfyller självadjointnessrelationen

$\displaystyle {(Tu,v)=(Tv,u)}$

för u , v i A2 ⁽ Ω).

Således är A = T ² en kompakt självtillpassande linjär operator på H med

$Au,u)=(Tu,Tu)=\|Tu\|^{2}$

så att A är en positiv operator. Genom spektralsatsen för kompakta självadjointoperatorer finns det en ortonormal bas u _n av H som består av egenvektorer för A :

$\displaystyle {Au_{n}=\mu _{n}u_{n},}$

där μ _n är icke-negativ av positiviteten hos A . Därav

$\displaystyle {\mu _{n}=\lambda _{n}^{2}}$

med λ _n ≥ 0. Eftersom T pendlar med A lämnar den sina egenrum invarianta. Positivitetsrelationen visar att den verkar trivialt på nollegenrymden. De andra egenrymden som inte är noll är alla ändligdimensionella och ömsesidigt ortogonala. Således kan en ortonormal bas väljas på varje egenrum så att:

$\displaystyle {Tu_{n}=\lambda _{n}u_{n}.},$

och

$\displaystyle {T(iu_{n})=-\lambda _{n}iu_{n}}$

genom konjugat-linearitet av T .

Anslutning med Hilbert-transform på en sluten kurva

Se även: Singular integraloperatorer på slutna kurvor

Neumann–Poincaré-operatorn definieras på verkliga funktioner f as

$\displaystyle {Tf(w)= {1 \over 2\pi }\int _{\partial \Omega }\partial _{n}(\log |zw|)f(z)={1 \over 2}\Re (Hf)(w), }$

där H är Hilbert-transformen på ∂Ω. Låt J beteckna komplex konjugation. Skriver h = f + ig ,

$\displaystyle {2Th=\Re (Hf)+i\Re (Hg)={1 \över 2}(Hf+JHf+iHg+iJHg)={1 \över 2}(H+JHJ)h}$

så att

$\displaystyle {T={1 \over 4}(H+JHJ),}$

Den imaginära delen av Hilberttransformen kan användas för att fastställa symmetriegenskaperna för egenvärdena för T _K . Låta

$\displaystyle {A={1 \over 2}(H+JHJ),\,\,\ ,\,B={1 \over 2i}(H-JHJ),}$

så att

$\displaystyle {H=A+iB.}$

Sedan

$\displaystyle {AB=-BA,\,\,\,\,A^{2}-B^{2}=I.}$

₀ Den Cauchy idempotenta E uppfyller E1 = 1 = E *1. Eftersom J 1 = 1, följer att E och E * lämnar invariant L ² (∂Ω), funktionerna ortogonala mot konstanta funktioner. Detsamma gäller för A = 2 T _K och B . Låt A ₁ och B ₁ vara deras begränsningar. Eftersom 1 är en egenvektor till T _K med egenvärde 1/2 och multiplicitet ett och T _K + ½ I är inverterbar,

$\displaystyle {A_{1}^{2}-I=B_{1}^{2}}$

är inverterbar, så att B1 är inverterbar _. Ekvationen A ₁ B ₁ = − B ₁ A ₁ innebär att om λ är ett egenvärde till A ₁ så är det −λ och de har samma multiplicitet.

Egenfunktioner av komplex Hilbert-transform

Kopplingarna mellan Neumann-Poincaré-operatorn och geometrisk funktionsteori dök upp först i Bergman & Schiffer (1951) . Det exakta sambandet mellan enkel- och dubbelskiktspotentialer, Fredholms egenvärden och den komplexa Hilbert-transformen förklaras i detalj i Schiffer (1981) . Kortfattat givet en jämn Jordan-kurva, är de komplexa derivatorna av dess enkel- och dubbelskiktspotentialer −1 och +1 egenfunktioner för den komplexa Hilbert-transformen.

Låt 𝕳 vara den direkta summan

$\displaystyle {{\mathfrak {H}}={\mathfrak {H}}({\overline {\Omega }})\oplus {\ mathfrak {H}}({\overline {\Omega ^{c}}}),}$

där det första utrymmet består av funktioner som är jämna vid stängningen av Ω och övertoner på Ω; och den andra består av funktioner jämna vid stängningen av Ω ^c , harmonisk på Ω ^c och vid ≈. Utrymmet 𝕳 är naturligtvis ett inre produktrum med motsvarande norm given av

$\displaystyle {\|f_{-}\oplus f_{+}\|_{\mathfrak {H}}^{2}=\iint _{\Omega }|\nabla f_{-}|^{ 2}+\iint _{\Omega ^{c}}|\nabla f_{+}|^{2}.}$

Varje element i 𝕳 kan skrivas unikt som begränsningen av summan av ett dubbellager och enkellagerpotential, förutsatt att momenten är normaliserade till att ha 0 integral på ∂Ω. Således för f ₋ ⊕ f ₊ i 𝕳, finns det unika φ, ψ i C ^∞ (∂Ω) med integral 0 så att

$\displaystyle {f_{-}=D(\varphi )|_{\Omega }+S(\psi )|_{\Omega },\,\,\,\,\,f_{+}= D(\varphi )|_{\Omega ^{c}}+S(\psi )|_{\Omega ^{c}}.}$

Under denna korrespondens

$\displaystyle {\varphi =f_{-}|_{\partial \Omega }-f_{+}|_{\partial \Omega },\,\,\,\,\psi =\partial _{ n}f_{-}|_{\partial \Omega }-\partial _{n}f_{+}|_{\partial \Omega }.}$

Lagerpotentialerna kan identifieras med deras bilder i 𝕳:

$\displaystyle {D(\varphi )=D(\varphi )|_{\Omega }\oplus D(\varphi )|_{\Omega ^{c}},\,\,\,\,S (\psi )=S(\psi )|_{\Omega }\oplus S(\psi )_{\Omega ^{c}}.}$

Utrymmet av dubbellagerpotentialer är ortogonalt mot rymden av enkellagerpotentialer för den inre produkten. Faktiskt enligt Greens sats

$\displaystyle {(S,D)= _{\Omega \cup \Omega ^{c}}\nabla S\cdot \nabla D=-\int _{\partial \Omega }S\partial _{n}D+\int _{\partial \Omega }S \partial _{n}D=0.}$

Definiera en isometrisk inbäddning av 𝕳 _R i L ² ( C ) genom

$\displaystyle {U(f_{-}\oplus f_{+})=(\partial _{z}f_{-})\chi _{\Omega }+(\partial _{z}f_{- })\chi _{\Omega ^{c}}.}$

Bilden ligger i A ² (Ω) ⊕ A ² (Ω ^c ), den direkta summan av Bergman-rummen av kvadratintegrerbara holomorfa funktioner på Ω och Ω ^c . Eftersom polynom i z är täta i A ² (Ω) och polynom i z ⁻¹ utan konstant term är täta i A ² (Ω ^c ), är bilden av U tät i A ² (Ω) ⊕ A ² (Ω ^c ) .

Det kan verifieras direkt att för φ, ψ real

$\displaystyle {T_{c}(U(D(\varphi )+S(\psi )))=U(D(\varphi )-S(\psi )).}$

Faktum är att för enskiktspotentialer, applicering av Greens sats på domänen Ω ∪ Ω ^c med en liten sluten skiva med radien ε borttagen runt en punkt w i domänen, följer det att

$\displaystyle {\iint _{\Omega \cup \Omega ^{c},\,\,|zw|>\varepsilon }\nabla N (wz)\cdot \nabla S(\psi )(z)\,dx\,dy=-\int _{|zw|=\varepsilon }\partial _{n}N(zw)\,S(\psi )(z)=-S(\psi )(z),}$

eftersom medelvärdet av en harmonisk funktion över en cirkel är dess värde i centrum. Genom att använda det faktum att π z ⁻¹ är den grundläggande lösningen för ∂ _w , kan detta skrivas om som

$\displaystyle {{1 \over \pi }\,\iint _{\Omega \cup \Omega ^{c}}{{\overline {\partial _{z}S(\psi )(z)} } \over zw}\,dx\,dy=-S(\psi )(w).}$

Att applicera ∂ _w på båda sidor ger

$\displaystyle {T_{c}(\partial _{z}S(\psi ))=-\partial _{z}S(\psi ).}$

På samma sätt för en dubbellagerpotential

$\displaystyle {\iint _{\Omega \cup \Omega ^{c},\,\,|zw|>\varepsilon }\nabla N(wz)\cdot \nabla D( \varphi )(z)\,dx\,dy=\int _{|zw|=\varepsilon }N(zw)\,\partial _{n}D(\varphi )(z)=0,}$

eftersom medelvärdet av normalderivatan av en övertonsfunktion över en cirkel är noll. Som ovan, med det faktum att π z ⁻¹ är den grundläggande lösningen för ∂ _w , kan detta skrivas om i termer av komplexa derivator som

$\displaystyle {{1 \over \pi }\,\iint _{\Omega \cup \Omega ^{c}}{{\overline {\partial _{z}D(\varphi )(z)} } \over zw}\,dx\,dy=D(\varphi )(w).}$

Applicera ∂ _w på båda sidor,

$\displaystyle {T_{c}(\partial _{z}D(\varphi ))=\partial _{z}D(\varphi ).}$

Anslutning med Hilbert transform på en domän

₀₀₀ Låt L ² (∂Ω) vara det slutna underrummet av L ² (∂Ω) ortogonalt mot konstantfunktionerna. Låt P den ortogonala projektionen på L ² (∂Ω) och ställ in

$\displaystyle {T_{K,0}=P_{0}T_{K}P_{0}.}$

Med avseende på den nya inre produkten på L ² (∂Ω) ₀

$\displaystyle {(f,g)_{0}=((1/2-T_{K})^ {-1}Sf,g)}$

operatören T _{K ,0} är formellt självadjoint.

₀ Låt H vara Hilbert-rymdkompletteringen.

₀ Definiera en enhetlig operator V från H till A ² (Ω) med

$\displaystyle {V(\psi )=U(D(\varphi )+S(\psi ))|_{\Omega },}$

var

$\displaystyle {({1 \over 2}I-T_{K})\varphi =-S\psi .}$

Sedan

$\displaystyle {VT_{K,0}V^{*}=T_{\Omega }.}$

Fredholm egenfunktioner

Om φ är en egenfunktion till T _K på ∂Ω motsvarande ett egenvärde λ med |λ| < 1/2, då är φ ortogonal mot konstanterna och kan tas med reellt värde. Låta

$\displaystyle {\Phi _{-}=\partial _{z}D(\varphi )|_{\Omega }\in A^{2}(\Omega ),\,\,\,\Phi _{+}=\partial _{z}D(\varphi )|_{\Omega ^{c}}\in A^{2}(\Omega ^{c}).}$

Eftersom dubbla potentialer är harmoniska, givna som den reella delen av en holomorf funktion,

$\displaystyle {\Phi _{\pm }(w)={1 \over 2\pi i}\int _{\partial \Omega }{\varphi (z) \over (zw)^{2} }\,dz.}$

Sedan

$\displaystyle {T_{\Omega }\Phi _{-}=\lambda \Phi _{-},\,\,\,T_{\Omega ^{c}}\Phi _{+}=\ lambda \Phi _{+}.}$

Dessutom

$\displaystyle {(T_{c}\Phi _{-})|_{\Omega ^{c}}=(\lambda +{1 \över 2})\Phi _{+},\,\ ,\,(T_{c}\Phi _{+})|_{\Omega }=(\lambda -{1 \över 2})\Phi _{-}.}$

Om två egenfunktioner φ och ψ är ortogonala för den inre produkten definierad av S , så är deras transformationer Φ _± och Ψ _± ortogonala i A ² (Ω) och A ² (Ω ^c ).

Egenfunktioner i Hardy space

Se även: Singular integraloperatorer på slutna kurvor

Hardy-utrymmet H ² (∂Ω) kan definieras som stängningen av de komplexa polynomen i z i L ² (∂Ω). Cauchy-transformen av f i H ² (∂Ω)

$\displaystyle {F(w)={1 \over 2\pi i}\int _{\partial \Omega } {f(z) \over zw}\,dz}$

definierar en holomorf funktion F i Ω så att dess begränsningar till nivåkurvorna ∂Ωs ⁱ ett rörformigt område av ∂Ω har likformigt avgränsade L ² -normer. Den klassiska definitionen av Hardy space är holomorfa funktioner på Ω med denna egenskap. Genom att identifiera nivåkurvorna med ∂Ω, följer det att begränsningarna för F tenderar att f i L ² norm. Skriva H ² (Ω) för det klassiska Hardy-utrymmet, identifierat med H ² (∂Ω) genom att ta L ² gränsvärden, följer att Hardy space H ² (Ω) är ett tätt delrum av Bergman space A ² (Ω).

Definiera den konjugerade Cauchy-transformen av f med

$\displaystyle {Cf(w)={1 \over 2\pi i}\int _{\partial \Omega }{{\overline {f(z)}} \over zw}\,d{\overline {z}}.}$

Den ligger i H ² (Ω). Dessutom för w i Ω

$\displaystyle {Cf(w)=T_{\Omega }F(w),}$

sedan av Greens teorem

$\displaystyle {{1 \over \pi }\iint _{\Omega ,\,\,\,|zw|>\varepsilon }{{\overline {F(z)}} \over (zw)^ {2}}\,dx\,dy=Cf(w)-{1 \over 2\pi i}\int _{|zw|=\varepsilon }{{\overline {F(z)}} \over zw }\,d{\overline {z}}=Cf(w).}$

ligger Fredholms egenfunktioner för T _{Ω alla i H} ² (Ω).

Se även

• Grunsky matris
• Plan Riemann yta

Anteckningar

• Ahlfors, Lars V. (1952), "Remarks on the Neumann–Poincaré integral equation", Pacific J. Math. , 2 (3): 271–280, doi : 10.2140/pjm.1952.2.271
• Bergman, S. ; Schiffer, M. (1951), "Kernel functions and conformal mapping", Compositio Mathematica , 8 : 205–249
• Blumenfeld, J.; Mayer, W. (1914), "Über Poincaresche fundamentalfunktionen", Sitz. Wien. Akad. Wiss., Math.-Nat. Klasse , 122 : 2011–2047
• Burbea, Jacob (1986), "Fredholm spectrum and Grunsky inequalities in general domains", Studia Math. , 83 (2): 167–200, doi : 10.4064/sm-83-2-167-200
•   Folland, Gerald B. (1995), Introduktion till partiella differentialekvationer (2:a upplagan), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04361-6
•   Hackbusch, Wolfgang (1995), Integral Equations: Theory and Numerical Treatment , International Series of Numerical Mathematics, vol. 120, Springer, ISBN 978-3764328719
•   Hsiao, George C.; Wendland, Wolfgang L. (2008), Boundary integral equations , Applied Mathematical Sciences, vol. 164, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-15284-2
• Kellogg, Oliver Dimon (1929), Foundations of potential theory , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 31, Springer-Verlag
•    Khavinson, D.; Putinar, M.; Shapiro, HS (2007), "Poincarés variationsproblem i potentiell teori", Arch. Ransonera. Mech. Anal. , 185 (1): 143–184, Bibcode : 2007ArRMA.185..143K , CiteSeerX 10.1.1.569.7145 , doi : 10.1007/s00205-006-0045-1 , 5 S S7C7 8
•   Kress, Rainer (1999), Linear Integral Equations , Applied Mathematical Sciences, vol. 82 (andra upplagan), Springer, ISBN 978-0387987002
• Krzyż, Jan G.; Partyka, Dariusz (1993), "Generaliserad Neumann–Poincaré-operator, ackord-bågekurvor och Fredholms egenvärden", Complex Variables Theory Appl. , 21 (3–4): 253–263, doi : 10.1080/17476939308814634
• Landkof, NS (1972), Grunder för modern potentialteori , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 180, Springer-Verlag
• Mikhlin, SG (1971), Matematisk fysik: en avancerad kurs , North Holland
• Neumann, Carl (1877), Untersuchungen über das logaritmische und Newton'sche Potential , Leipzig: Teubner
• Partyka, Dariusz (1997), The generalized Neumann-Poincaré operator and its spectrum , Dissertationes Math, vol. 366
• Plemelj, J. (1911), Potentialtheoretische Untersuchungen , Teubner
• Poincaré, H. (1897), "La méthode de Neumann et le problème de Dirichlet", Acta Math. , 20 : 59–152, doi : 10.1007/bf02418028
•   Saranen, Jukka; Vainikko, Gennadi (2001), periodiska integraler och pseudodifferentialekvationer med numerisk approximation , Springer, ISBN 978-3540418788
• Schiffer, M. (1957), "The Fredholm eigenvalues ​​of plane domains", Pacific J. Math. , 7 (2): 1187–1225, doi : 10.2140/pjm.1957.7.1187
• Schiffer, M. (1959), "Fredholm eigenvärden för multipla anslutna domäner", Pacific J. Math. , 9 : 211–269, doi : 10.2140/pjm.1959.9.211
• Schiffer, M.; Hawley, NS (1962), "Connections and conformal mapping", Acta Math. , 107 (3–4): 175–274, doi : 10.1007/bf02545790
• Schiffer, M. (1981), "Fredholm eigenvärden och Grunsky matriser", Ann. Polon. Matematik. , 39 : 149–164, doi : 10.4064/ap-39-1-149-164
• Schiffer, Menahem (2011), Fredholm Eigenvalues ​​and Conformal Mapping , Autovalori e autosoluzioni, CIME Summer Schools, vol. 27, Springer, s. 203–234
•   Shapiro, HS (1992), Schwarz-funktionen och dess generalisering till högre dimensioner , University of Arkansas Lecture Notes in the Mathematical Sciences, vol. 9, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-57127-8
•   Taylor, Michael E. (2011), Partiella differentialekvationer II: Qualitative studies of linear equations , Applied Mathematical Sciences, vol. 116 (andra upplagan), Springer, ISBN 978-1-4419-7051-0