Symmetriserbar kompakt operatör

Inom matematik är en symmetriserbar kompaktoperator en kompaktoperator på ett Hilbert-utrymme som kan sammansättas med en positiv operator med trivial kärna för att producera en självadjoint operator. Sådana operatörer uppstod naturligt i arbetet med integraloperatörer av Hilbert, Korn, Lichtenstein och Marty som krävs för att lösa elliptiska gränsvärdeproblem på avgränsade domäner i det euklidiska rymden . Mellan slutet av 1940-talet och början av 1960-talet abstraherades teknikerna, som tidigare utvecklats som en del av klassisk potentialteori , inom operatorteorin av olika matematiker, inklusive MG Kerin , William T. Reid, Peter Lax och Jean Dieudonné . Fredholms teori antyder redan att vilket element som helst i spektrumet är ett egenvärde . Huvudresultaten hävdar att spektralteorin för dessa operatorer liknar den för kompakta själv-adjoint-operatorer: vilket spektralvärde som helst är verkligt; de bildar en sekvens som tenderar mot noll; vilken generaliserad egenvektor som helst är en egenvektor ; och egenvektorerna spänner över ett tätt delrum av Hilbertrummet.

Diskussion

Låt H vara ett Hilbert-utrymme. En kompakt operator K på H är symmetriserbar om det finns en avgränsad självadjoint operator S på H så att S är positiv med trivial kärna, dvs ( Sx , x ) > 0 för alla icke-noll x , och SK är självadjoint :

$\displaystyle {SK=K^{*}S.}$

I många applikationer är S också kompakt. Operatören S definierar en ny inre produkt på H

$\displaystyle {(x,y)_{S}=(Sx,y)}.$

Låt H _S vara Hilbert-rymdkompletteringen av H med avseende på denna inre produkt.

Operatören K definierar en formellt självtillslutande operatör på det täta underrummet H av Hs _. Som Kerin (1947) och Reid (1951) noterade har operatören samma operatörsnorm som K . I själva verket innebär självtillståndsvillkoret

$\displaystyle {SK^{n}=(K^{*})^{n}S.}$

Det följer av induktion att, om ( x , x ) _S = 1, då

$\displaystyle {\|Kx\|_{S}|^{2^{n}}\leq \|K^{2^{n}}x\|_{S}.}$

Därav

$\displaystyle {\|Kx\|_{S}\leq \lim _{n\högerpil \infty }\|K\|(\|S\|\|x\|^{2})^{1/2^{n}}=\|K\|}$

Om K bara är kompakt, gav Kerin ett argument, som åberopade Fredholms teori, för att visa att K definierar en kompakt operator på H _S . Ett kortare argument är tillgängligt om K tillhör en Schatten-klass .

När K är en Hilbert-Schmidt-operator fortsätter argumentationen enligt följande. Låt R vara den unika positiva kvadratroten av S och för ε > 0 definiera

$\displaystyle {A_{\varepsilon }=(R+\varepsilon I)^{-1}SK(R+\varepsilon I)^{-1}.}$

Dessa är självtillslutande Hilbert–Schmidt-operatör på H som är enhetligt avgränsade i Hilbert–Schmidt-normen:

$\displaystyle {\|A_{ \varepsilon }\|_{2}^{2}=(R^{2}(R+\varepsilon I)^{-2}K,KR^{2}(R+\varepsilon I)^{-2}) _{2}\leq \|K\|_{2}^{2},}$

Eftersom Hilbert-Schmidt-operatorerna bildar ett Hilbert-utrymme, finns det en undersekvens som konvergerar svagt till s själv-adjoint Hilbert-Schmidt-operator A . Eftersom A _ε R tenderar till RK i Hilbert–Schmidt-normen följer det

$\displaystyle {RK=AR.}$

Så om U är den enhetliga inducerade av R mellan H _S och H , så motsvarar operatorn K _S inducerad av begränsningen av K A på H :

$\displaystyle {UK_{S}U^{*}=A.}$

Operatörerna K − λI och K * − λI är Fredholm-operatorer med index 0 för λ ≠ 0, så vilket spektralvärde som helst av K eller K * är ett egenvärde och motsvarande egenutrymmen är ändligdimensionella. Å andra sidan, enligt den speciella satsen för kompakta operatorer, H den ortogonala direkta summan av egenrymden för A , alla finita dimensionella utom möjligen för egenrymden 0. Eftersom RA = K * R , ligger bilden under R av λ-egenutrymmet för A i λ-egenutrymmet för K *. På liknande sätt R λ-egenutrymmet för K till λ-egenutrymmet för A . Det följer att egenvärdena för K och K * alla är reella. Eftersom R är injektiv och har tät räckvidd inducerar den isomorfismer mellan λ-egenrymden för A , K och K *. Detsamma gäller för generaliserade egenvärden eftersom potenserna K − λI och K * − λI också är Fredholm av index 0. Eftersom varje generaliserad λ-egenvektor till A redan är en egenvektor, gäller detsamma för K och K *. För λ = 0 visar detta argument att K ^m x = 0 innebär Kx = 0.

Slutligen spänner egenutrymmena för K * över ett tätt delrum av H , eftersom det innehåller bilden under R av motsvarande utrymme för A . Ovanstående argument antyder också att egenvektorerna för egenvärden som inte är noll för K _S i H _S alla ligger i delrummet H .

Hilbert–Schmidt-operatorer K med reella egenvärden som inte är noll λ _n uppfyller följande identiteter bevisade av Carleman (1921) :

$\displaystyle {\mathrm {tr} \,K^{2}=\sum \lambda _{n}^{2},\,\,\,\det(I-zK^{2})= \prod _{n=1}^{\infty }(1-z\lambda _{n}^{2}).}$

₀ Här är tr spåret på spårklassoperatörer och det är Fredholm-determinanten . För symmetriserbara Hilbert–Schmidt-operatorer anger resultatet att spåret eller determinanten för K eller K * är lika med spåret eller determinanten för A . För symmetriserbara operatorer kan identiteterna för K * bevisas genom att ta H som kärnan av K * och H _m de finita dimensionella egenrymden för egenvärdena λm som inte är _noll . Låt P _N vara den ortogonala projektionen på den direkta summan av H _m med 0 ≤ m ≤ N . Detta delrum lämnas invariant av K *. Även om summan inte är ortogonal, liknar begränsningen P _N K * P _N för K * med en begränsad operator med begränsad invers till diagonaloperatorn på den ortogonala direkta summan med samma egenvärden. Således

$\displaystyle {\mathrm {tr} \,(P_{N}K^{*}P_{N})^{2}=\summa _{m=1}^{N}\lambda _{m }^{2}\cdot \mathrm {dim} \,H_{m},\,\,\,\mathrm {det} \,[P_{N}-z(P_{N}K^{*}P_ {N})^{2}]=\prod _{m=1}^{N}(1-z\lambda _{m}^{2})^{\mathrm {dim} \,H_{m} }.}$

Eftersom P _N K * P _N tenderar till K * i Hilbert–Schmidt-normen, följer identiteterna för K * genom att passera till gränsen eftersom N tenderar till oändligheten.

Anteckningar

•   Carleman, T. (1921), "Zur Theorie der linearen Integralgleichungen" , Math . Z. , 9 (3–4): 196–217, doi : 10.1007/bf01279029 , S2CID 122412155
• Dieudonné, J. (1969), Grunder för modern analys , Pure and Applied Mathematics, Academic Press
•   Halmos, PR (1974), A Hilbert space problem book , Graduate Texts in Mathematics, vol. 19, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90090-2 , Problem 82
• Kellogg, Oliver Dimon (1929), Foundations of potential theory , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 31, Springer-Verlag
•    Khavinson, D.; Putinar, M.; Shapiro, HS (2007), "Poincarés variationsproblem i potentiell teori", Arch. Ransonera. Mech. Anal. , 185 (1): 143–184, Bibcode : 2007ArRMA.185..143K , CiteSeerX 10.1.1.569.7145 , doi : 10.1007/s00205-006-0045-1 , 5 S S7C7 8
• ( 1998), "Compact linear operators on functional spaces with two norms (översatt från 1947 ukrainska artikeln)", Integral Equations Operator Theory , 30 (2): 140–162, doi : 10.1007/bf01238216 320238216 140238216 , S  
• Landkof, NS (1972), Grunder för modern potentialteori , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 180, Springer-Verlag
• Lax, Peter D. (1954), "Symmetrisable linear transformations", Comm. Ren appl. Matematik. , 7 (4): 633–647, doi : 10.1002/cpa.3160070403
• Reid, William T. (1951), "Symmetriserbara helt kontinuerliga linjära transformationer i Hilberts rymd", Duke Math. J. , 18 : 41–56, doi : 10.1215/s0012-7094-51-01805-4
• Zaanen, Adriaan Cornelis (1953), Linjär analys; Mått och integral, Banach och Hilberts rymd, linjära integralekvationer, Interscience