Negativ frekvens

Den moturs roterande vektorn (cos t , sin t ) har en positiv frekvens på +1 radian per tidsenhet . Inte visad är en medurs roterande vektor (cos − t , sin − t ) som har en negativ frekvens på -1 radian per tidsenhet. Båda går runt enhetscirkeln varannan . π tidsenhet, men i motsatta riktningar

I matematik expanderar teckenfrekvens ( negativ och positiv frekvens ) på begreppet frekvens , från bara ett absolut värde som representerar hur ofta någon upprepande händelse inträffar, till att också ha ett positivt eller negativt tecken som representerar en av två motsatta orienteringar för förekomsten av dessa händelser . Följande exempel hjälper till att illustrera konceptet:

• För ett roterande objekt indikerar det absoluta värdet av dess rotationsfrekvens hur många rotationer objektet genomför per tidsenhet , medan tecknet kan indikera om det roterar medurs eller moturs .
  • Matematiskt sett har vektorn $(\cos(t),\sin(t))$ en positiv frekvens på +1 radian per tidsenhet och roterar moturs runt enhetscirkeln , medan vektorn $(\cos(-t),\sin(-t))$ har en negativ frekvens på -1 radian per tidsenhet, som istället roterar medurs.
• För en harmonisk oscillator som en pendel indikerar det absoluta värdet av dess frekvens hur många gånger den svänger fram och tillbaka per tidsenhet, medan tecknet kan indikera i vilken av de två motsatta riktningarna den började röra sig.
• För en periodisk funktion som representeras i ett kartesiskt koordinatsystem indikerar det absoluta värdet av dess frekvens hur ofta i dess domän den upprepar sina värden, medan en ändring av tecknet för dess frekvens kan representera en reflektion runt dess y-axel .

Sinusoider

Låt $\omega$ vara en icke-negativ vinkelfrekvens med enheter av radianer per tidsenhet och låt $\varphi$ vara en fas i radianer. En funktion $\theta (t)=-\omega t+\varphi$ har lutning $-\omega .$ När det används som argument för en sinusform , $-\omega$ kan representera en negativ frekvens .

Eftersom cosinus är en jämn funktion kan den negativa frekvensen sinusformade $\cos(-\omega t+\varphi )$ inte särskiljas från den positiva frekvensen sinusformade $\cos(\omega t-\varphi ).$

På liknande sätt, eftersom sinus är en udda funktion , är den negativa frekvensen sinusoid $\sin(-\omega t+\varphi )$ omöjlig att skilja från den positiva frekvensen sinusoid ${\text{-}}\sin(\omega t-\varphi )$ eller $\sin(\omega t-\varphi +\pi ).$

Således kan vilken sinusform som helst representeras endast i termer av positiva frekvenser.

En negativ frekvens får sin funktion (violett) att leda cos (röd) med 1/4 cykel.

Tecknet på den underliggande faslutningen är tvetydig. Eftersom $\cos(\omega t+\varphi )$ leder $\sin(\omega t+\varphi )$ med ${\tfrac {\pi }{2}}$ radianer (eller 1/4 sinusoperator samtidigt cykel) för positiva frekvenser och fördröjer lika mycket för negativa frekvenser, tvetydigheten om faslutningen löses helt enkelt genom att observera en cosinus- och och se vilken som leder den andra.

Tecknet för $\omega$ finns också bevarat i den komplexa funktionen :

$e^{i\omega t}=\underbrace {\cos(\ omega t)} _{R(t)}+i\cdot \underbrace {\sin(\omega t)} _{I(t)},$

 

 

 

 

(Ekv.1)

eftersom $R(t)$ och $I(t)$ kan observeras separat och jämföras. En vanlig tolkning är att $e^{i\omega t}$ är en enklare funktion än någon av dess komponenter, eftersom den förenklar multiplikativa trigonometriska beräkningar, vilket leder till dess formella beskrivning som den analytiska representationen av $\cos(\omega t)$ .

Summan av en analytisk representation med dess komplexa konjugat extraherar den faktiska verkliga funktionen som de representerar. Till exempel:

$\cos(\omega t)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\ end{matris}}\left(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}\right),$

 

 

 

 

(Ekv.2)

vilket ger upphov till den något missvisande tolkningen att $\cos(\omega t)$ omfattar både en positiv och en negativ frekvens. Men "summan" innebär en annullering av alla imaginära komponenter $({\tfrac {1}{2}}i\sin (\omega t)-{\tfrac {1}{2}}i\sin(\omega t))$ . Denna annullering resulterar bara i en tvetydighet om frekvensens tecken. Att använda endera tecknet ger en ekvivalent representation av samma cosinusvåg.

I vilket mått som helst som indikerar båda frekvenserna är en av de två frekvenserna en falsk positiv eller alias för den andra, eftersom $\omega$ bara kan ha ett tecken. Fouriertransformen , till exempel, berättar bara att $\cos(\omega t)$ korskorrelerar lika bra med ${\ displaystyle \cos(\omega t)+i\sin(\omega t)}$ som med $\cos(\omega t)-i\sin(\omega t).$ Icke desto mindre är det ibland användbart (och matematiskt giltigt) att behandla en riktig sinusform som kombinationen av en positiv och en negativ frekvens.

Ansökningar

Förenkla Fouriertransformen

Den kanske mest kända tillämpningen av negativ frekvens är formeln:

${\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty } f(t)e^{-i\omega t}dt,$

vilket är ett mått på energin i funktionen $f(t)$ vid frekvensen $\omega .$ När det utvärderas för ett kontinuum av argumentet $\omega ,$ kallas resultatet Fouriertransformen .

Tänk till exempel på funktionen:

$f(t)=A_{1}e^{ i\omega _{1}t}+A_{2}e^{i\omega _{2}t},\ \forall \ t\in \mathbb {R} ,\ \omega _{1}>0, \ \omega _{2}>0.$

Och:

${\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }[A_{1}e^ {i\omega _{1}t}+A_{2}e^{i\omega _{2}t}]e^{-i\omega t}dt\\&=\int _{-\infty } ^{\infty }A_{1}e^{i\omega _{1}t}e^{-i\omega t}dt+\int _{-\infty }^{\infty }A_{2}e^ {i\omega _{2}t}e^{-i\omega t}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }A_{1}e^{i(\omega _{ 1}-\omega )t}dt+\int _{-\infty }^{\infty }A_{2}e^{i(\omega _{2}-\omega )t}dt\end{aligned}}$

Observera att även om de flesta funktioner inte omfattar sinusoider med oändlig varaktighet, är den idealiseringen en vanlig förenkling som underlättar förståelsen.

Om man tittar på den första termen av detta resultat, när ${\displaystyle \omega =\omega _{1},} avbryter$ den negativa frekvensen $-\omega _{1}$ den positiva frekvensen , lämnar bara den konstanta koefficienten $A_{1}$ (eftersom $e^{i0t}=e^{0}=1$ ), vilket gör att den oändliga integralen avvika. Vid andra värden på $\omega$ orsakar restsvängningarna att integralen konvergerar till noll. Denna idealiserade Fourier-transform skrivs vanligtvis som:

${\hat {f}}(\omega )=2\pi A_{1}\delta (\omega -\omega _{1})+2\pi A_{2}\delta (\omega -\ omega _{2}).$

För realistiska varaktigheter är divergenserna och konvergenserna mindre extrema, och mindre konvergenser som inte är noll ( spektralt läckage ) uppträder vid många andra frekvenser, men konceptet med negativ frekvens gäller fortfarande. Fouriers ursprungliga formulering ( sinustransformen och cosinustransformen ) kräver en integral för cosinus och en annan för sinus. Och de resulterande trigonometriska uttrycken är ofta mindre hanteringsbara än komplexa exponentiella uttryck. (se Analytisk signal , Eulers formel § Relation till trigonometri och Phasor )

Sampling av positiva och negativa frekvenser och aliasing

Huvudartikel: Aliasing § Komplexa sinusoider

Denna figur visar två komplexa sinusoider, färgat guld och cyan, som passar samma uppsättning verkliga och imaginära provpunkter. De fs _är således alias för varandra när de samplas med den hastighet ( ) som anges av rutnätslinjerna. Den guldfärgade funktionen visar en positiv frekvens, eftersom dess verkliga del (cos-funktionen) leder sin imaginära del med 1/4 av en cykel. Cyanfunktionen visar en negativ frekvens, eftersom dess verkliga del släpar efter den imaginära delen.

Se även

• Vinkel#Tecken

Vidare läsning

• Positiva och negativa frekvenser
•   Lyons, Richard G. (11 november 2010). Kapitel 8.4. Förstå digital signalbehandling (3:e upplagan). Prentice Hall. 944 sid. ISBN 0137027419 .
• Lyons, Richard G. (november 2001). "Förstå digital signalbehandlings frekvensdomän" . RF Design tidningen . Hämtad 29 december 2022 . {{ citera webben }} : CS1 underhåll: url-status ( länk )