Spektralt läckage

Fouriertransformen av en funktion av tiden, s(t), är en komplext värderad funktion av frekvens, S(f) , ofta kallad ett frekvensspektrum . Varje linjär tidsinvariant operation på s(t) producerar ett nytt spektrum av formen H(f)•S(f), som ändrar de relativa magnituderna och/eller vinklarna ( fas ) för värden som inte är noll för S(f) ). Varje annan typ av operation skapar nya frekvenskomponenter som kan kallas spektralläckage i vid bemärkelse. Sampling , till exempel, producerar läckage, som vi kallar alias för den ursprungliga spektrala komponenten. För Fourier-transformationsändamål modelleras sampling som en produkt mellan s(t) och en Dirac -kamfunktion . Spektrum för en produkt är faltningen mellan S(f) och en annan funktion, som oundvikligen skapar de nya frekvenskomponenterna. Men termen "läckage" syftar vanligtvis på effekten av fönster , som är produkten av s(t) med en annan typ av funktion, fönsterfunktionen . Fönsterfunktioner råkar ha begränsad varaktighet, men det är inte nödvändigt för att skapa läckage. Multiplikation med en tidsvariant funktion räcker.

Spektralanalys

Fouriertransformen av funktionen cos( ωt ) är noll , förutom vid frekvensen ± ω . Emellertid har många andra funktioner och vågformer inte bekväma slutna transformer. Alternativt kan man vara intresserad av deras spektrala innehåll endast under en viss tidsperiod. I båda fallen kan Fouriertransformen (eller en liknande transformation) appliceras på ett eller flera ändliga intervall av vågformen. I allmänhet appliceras transformationen på produkten av vågformen och en fönsterfunktion. Alla fönster (inklusive rektangulära) påverkar den spektraluppskattning som beräknas med denna metod.

Effekterna karakteriseras enklast av sin effekt på en sinusformad s(t)-funktion, vars ofönstererade Fouriertransform är noll för alla utom en frekvens. Den vanliga frekvensen är 0 Hz, eftersom den fönsterförsedda Fouriertransformen helt enkelt är Fouriertransformen av själva fönsterfunktionen (se § En lista över fönsterfunktioner ) :

${\mathcal {F}}\{w(t)\cdot \underbrace {\cos(2\pi 0t)} _{1}\}={\mathcal {F}}\{w(t) \}.$

När både sampling och windowing appliceras på s(t), i endera ordningen, är läckaget orsakat av windowing en relativt lokal spridning av frekvenskomponenter, med ofta en suddighetseffekt, medan aliasing orsakad av sampling är en periodisk upprepning av hela suddigt spektrum.

Figur 1: Jämförelse av två fönsterfunktioner i termer av deras effekter på lika starka sinusoider med additivt brus. Sinusformen vid bin −20 lider inte av någon skalning och den vid bin +20,5 uppvisar värsta fall. Det rektangulära fönstret ger de mest böjda men också smalare toppar och lägre ljudgolv. En tredje sinusform med amplitud −16 dB skulle märkas i det övre spektrumet, men inte i det nedre spektrumet.

Figur 2: Fönster av en sinusform orsakar spektralläckage, även om sinusformen har ett heltal av cykler inom ett rektangulärt fönster. Läckaget är tydligt i 2:a raden, blått spår. Det är samma mängd som det röda spåret, som representerar en något högre frekvens som inte har ett heltal av cykler. När sinusoiden samplas och fönsterbildas uppvisar dess diskreta-tids Fourier-transform också samma läckagemönster (rad 3 och 4). Men när DTFT endast är sparsamt samplade, vid ett visst intervall, är det möjligt (beroende på din synvinkel) att: (1) undvika läckaget, eller (2) skapa en illusion av att inget läckage inte finns. För fallet med den blå sinusformade DTFT (3:e raden av diagram, höger sida), är dessa sampel utsignalerna från den diskreta Fouriertransformen (DFT). Den röda sinusformade DTFT (4:e raden) har samma intervall av nollgenomgångar, men DFT-proverna faller emellan dem och läckaget avslöjas.

Val av fönsterfunktion

Fönster av en enkel vågform som cos( ωt ) gör att dess Fouriertransform utvecklar värden som inte är noll (vanligen kallat spektralläckage) vid andra frekvenser än ω . Läckaget tenderar att vara värst (högst) nära ω och minst vid frekvenser längst bort från ω .

Om vågformen som analyseras består av två sinusoider med olika frekvenser, kan läckage störa vår förmåga att särskilja dem spektralt. Möjliga typer av störningar delas ofta upp i två motstående klasser enligt följande: Om komponentfrekvenserna är olika och en komponent är svagare, kan läckage från den starkare komponenten skymma den svagares närvaro. Men om frekvenserna är för lika kan läckage göra dem olösliga även när sinusformarna är lika starka. Fönster som är effektiva mot den första typen av störningar, nämligen där komponenter har olika frekvenser och amplituder, kallas högt dynamiskt omfång . Omvänt kallas fönster som kan särskilja komponenter med liknande frekvenser och amplituder hög upplösning .

Det rektangulära fönstret är ett exempel på ett fönster som har hög upplösning men lågt dynamiskt omfång , vilket betyder att det är bra för att särskilja komponenter med liknande amplitud även när frekvenserna också är nära, men dåligt på att särskilja komponenter med olika amplitud även när frekvenserna är långt bort. Högupplösta fönster med lågt dynamiskt område, såsom det rektangulära fönstret, har också egenskapen hög känslighet , vilket är förmågan att avslöja relativt svaga sinusoider i närvaro av additivt slumpmässigt brus. Det beror på att bruset ger en starkare respons med högdynamiska fönster än med högupplösta fönster.

I den andra ytterligheten av utbudet av fönstertyper finns fönster med högt dynamiskt omfång men låg upplösning och känslighet. Fönster med högt dynamiskt intervall är oftast motiverade i bredbandsapplikationer , där spektrumet som analyseras förväntas innehålla många olika komponenter med olika amplituder.

Mellan ytterligheterna finns måttliga fönster, som Hann och Hamming . De används ofta i smalbandstillämpningar , såsom spektrumet av en telefonkanal.

Sammanfattningsvis innebär spektralanalys en avvägning mellan att lösa upp jämförbara hållfasthetskomponenter med liknande frekvenser ( hög upplösning/känslighet ) och att lösa olika hållfasthetskomponenter med olika frekvenser ( högt dynamiskt omfång ). Den avvägningen sker när fönsterfunktionen väljs.

Diskreta tidssignaler

När ingångsvågformen är tidssamplad, istället för kontinuerlig, görs analysen vanligtvis genom att applicera en fönsterfunktion och sedan en diskret Fouriertransform (DFT). Men DFT tillhandahåller endast ett sparsamt urval av det faktiska diskreta-tids-Fourier-transformeringsspektrumet ( DTFT). Figur 2, rad 3 visar en DTFT för en sinusform med rektangulärt fönster. Den faktiska frekvensen för sinusformen indikeras som "13" på den horisontella axeln. Allt annat är läckage, överdrivet av användningen av en logaritmisk presentation. Enheten för frekvens är "DFT bins"; det vill säga heltalsvärdena på frekvensaxeln motsvarar frekvenserna samplade av DFT. Så figuren visar ett fall där den faktiska frekvensen av sinusoiden sammanfaller med ett DFT-prov, och det maximala värdet för spektrumet mäts noggrant av det provet. På rad 4 missar den maxvärdet med ½ bin, och det resulterande mätfelet hänvisas till som scalloping loss (inspirerad av formen på toppen). För en känd frekvens, såsom en musiknot eller en sinusformad testsignal, kan matchning av frekvensen till ett DFT-fack förordnas genom val av en samplingshastighet och en fönsterlängd som resulterar i ett heltal av cykler inom fönstret.

Figur 3: Denna figur jämför bearbetningsförlusterna för tre fönsterfunktioner för sinusformade ingångar, med både minimala och maximala scalloping-förluster.

Brusbandbredd

Begreppen upplösning och dynamiskt omfång tenderar att vara något subjektivt, beroende på vad användaren faktiskt försöker göra. Men de tenderar också att vara starkt korrelerade med det totala läckaget, vilket är kvantifierbart. Det uttrycks vanligtvis som en ekvivalent bandbredd, B. Det kan ses som att omfördela DTFT till en rektangulär form med höjd lika med spektralmaximum och bredd B. Ju mer läckage, desto större bandbredd. Det kallas ibland brusekvivalent bandbredd eller ekvivalent brusbandbredd , eftersom den är proportionell mot den genomsnittliga effekten som kommer att registreras av varje DFT-fack när insignalen innehåller en slumpmässig bruskomponent (eller bara är slumpmässigt brus). En graf över effektspektrumet , i genomsnitt över tiden, avslöjar vanligtvis ett platt brusgolv orsakat av denna effekt. Höjden på bullergolvet är proportionell mot B. Så två olika fönsterfunktioner kan ge olika bullergolv, som ses i figur 1 och 3.

Bearbetning av vinster och förluster

Vid signalbehandling väljs operationer för att förbättra någon aspekt av kvaliteten på en signal genom att utnyttja skillnaderna mellan signalen och de korrumperande influenserna. När signalen är en sinusform som skadats av additivt slumpmässigt brus, fördelar spektralanalys signal- och bruskomponenterna annorlunda, vilket ofta gör det lättare att upptäcka signalens närvaro eller mäta vissa egenskaper, såsom amplitud och frekvens. Effektivt förbättras signal-brusförhållandet (SNR) genom att fördela bruset enhetligt, samtidigt som det mesta av sinusoidens energi koncentreras kring en frekvens. Processing gain är en term som ofta används för att beskriva en SNR-förbättring. Bearbetningsvinsten för spektralanalys beror på fönsterfunktionen, både dess brusbandbredd (B) och dess potentiella scalloping-förlust. Dessa effekter kompenseras delvis, eftersom fönster med minst bågar naturligtvis har mest läckage.

Figur 3 visar effekterna av tre olika fönsterfunktioner på samma datauppsättning, innefattande två lika starka sinusoider i additivt brus. Frekvenserna för sinusoiderna väljs så att den ena inte stöter på någon scalloping och den andra möter maximal scalloping. Båda sinusoiderna lider mindre SNR-förlust under Hann- fönstret än under Blackman-Harris- fönstret. I allmänhet (som nämnts tidigare) är detta en avskräckande effekt på att använda fönster med högt dynamiskt intervall i applikationer med lågt dynamiskt intervall.

Figur 4: Två olika sätt att generera en 8-punkts Gaussisk fönstersekvens ( σ = 0,4) för spektralanalystillämpningar. MATLAB kallar dem "symmetriska" och "periodiska". Den senare kallas också historiskt för DFT-even .

Figur 5: Spectrala läckageegenskaper för funktionerna i figur 4

Symmetri

Formlerna i § En lista över fönsterfunktioner producerar diskreta sekvenser, som om en kontinuerlig fönsterfunktion har "samplats". (Se ett exempel i Kaiser-fönstret .) Fönstersekvenser för spektralanalys är antingen symmetriska eller 1-prov mindre än symmetriska (kallas periodisk , DFT-jämn eller DFT-symmetrisk ). Till exempel genereras en sann symmetrisk sekvens, med sitt maximum vid en enda mittpunkt, av MATLAB -funktionen hann(9,'symmetrisk') . Att ta bort det sista provet producerar en sekvens som är identisk med hann(8,'periodisk') . På samma sätt har sekvensen hann(8,'symmetrisk') två lika stora mittpunkter.

Vissa funktioner har en eller två slutpunkter med nollvärde, vilket är onödigt i de flesta applikationer. Att ta bort en slutpunkt med nollvärde har ingen effekt på dess DTFT (spektralläckage). Men funktionen designad för N + 1 eller N + 2 sampel, i väntan på att ta bort en eller båda ändpunkterna, har vanligtvis en något smalare huvudlob, något högre sidolober och en något mindre brusbandbredd.

DFT-symmetri

Föregångaren till DFT är den finita Fourier-transformen , och fönsterfunktioner var "alltid ett udda antal punkter och uppvisar jämn symmetri om ursprunget". I så fall är DTFT helt och hållet värderad. När samma sekvens skiftas in i ett DFT-datafönster , $[0\leq n\leq N],$ blir DTFT-värdet komplext utom vid frekvenser fördelade med regelbundna intervall på $1/N.$ Sålunda, när de samplas med en $N$ -längd DFT, är samplen (kallade DFT-koefficienter ) fortfarande verkliga. En approximation är att trunkera N +1-längdssekvensen (effektivt $w[N]=0$ ), och beräkna en $N$ -längd DFT. DTFT (spektralt läckage) påverkas något, men proverna förblir verkligt värderade. Termerna DFT-jämn och periodisk hänvisar till idén att om den trunkerade sekvensen upprepades periodiskt, skulle den vara jämn-symmetrisk om $n=0,$ och dess DTFT skulle vara helt och hållet verkligt värderad. Men den faktiska DTFT är i allmänhet komplext värderad, förutom $N$ DFT-koefficienterna. Spektraldiagram som de i § A lista över fönsterfunktioner produceras genom att sampla DTFT med mycket mindre intervall än $1/N$ och endast visa magnitudkomponenten av de komplexa talen.

Periodisk summering

En exakt metod för att sampla DTFT för en N +1-längdssekvens med intervaller på $1/N$ beskrivs i DTFT § L=N+1 . I huvudsak kombineras ${\displaystyle w[N]} med$$w[0]$ (genom tillägg), och en $N$ -punkts DFT görs på den trunkerade sekvensen . På liknande sätt skulle spektralanalys göras genom att kombinera $n=0$ och $n=N$ dataproverna innan det trunkerade symmetriska fönstret tillämpas. Det är inte vanligt, även om trunkerade fönster är mycket populära.

Veck

Attraktionskraften hos DFT-symmetriska fönster förklaras av populariteten hos algoritmen för snabb Fouriertransform (FFT) för implementering av DFT, eftersom trunkering av en sekvens med udda längd resulterar i en sekvens med jämn längd. Deras reellt värderade DFT-koefficienter är också en fördel i vissa esoteriska tillämpningar där fönsterbildning uppnås med hjälp av faltning mellan DFT-koefficienterna och en fristående DFT av data. I dessa applikationer föredras DFT-symmetriska fönster (jämn eller udda längd) från Cosinus-summa -familjen, eftersom de flesta av deras DFT-koefficienter har nollvärde, vilket gör faltningen mycket effektiv.

Vissa fönstermått

Jämförelse av spektralläckage av flera fönsterfunktioner

När du väljer en lämplig fönsterfunktion för en applikation kan denna jämförelsegraf vara användbar. Frekvensaxeln har enheter av FFT "bins" när fönstret med längden N appliceras på data och en transformation av längden N beräknas. Till exempel är värdet vid frekvensen ½ "bin" svaret som skulle mätas i fack k och k + 1 på en sinusformad signal vid frekvensen k + ½. Det är relativt det maximala möjliga svaret, som inträffar när signalfrekvensen är ett heltal av bins. Värdet vid frekvensen ½ hänvisas till som den maximala scalloping-förlusten för fönstret, vilket är ett mått som används för att jämföra fönster. Det rektangulära fönstret är märkbart sämre än de andra när det gäller det måttet.

Andra mätvärden som kan ses är huvudlobens bredd och sidolobernas toppnivå, som bestämmer förmågan att lösa upp jämförbara styrkasignaler och olika styrkasignaler. Det rektangulära fönstret (till exempel) är det bästa valet för det förra och det sämsta valet för det senare. Det som inte går att se av graferna är att det rektangulära fönstret har den bästa brusbandbredden, vilket gör det till en bra kandidat för att detektera lågnivåsinusoider i en annars vitbrusmiljö . Interpolationstekniker, såsom nollutfyllnad och frekvensförskjutning, är tillgängliga för att mildra dess potentiella scalloping-förlust.

Se även

• § Sampling av DTFT
• Knivspetseffekt , rumslig analog av trunkering
• Gibbs fenomen