Nästan periodisk funktion

Ej att förväxla med kvasiperiodisk funktion .

Inom matematiken är en nästan periodisk funktion , löst sett, en funktion av ett reellt tal som är periodiskt till inom varje önskad nivå av noggrannhet, givet lämpligt långa, välfördelade "nästan-perioder". Konceptet studerades först av Harald Bohr och generaliserades senare av Vyacheslav Stepanov , Hermann Weyl och Abram Samoilovitch Besicovitch, bland andra. Det finns också en föreställning om nästan periodiska funktioner på lokalt kompakta abelska grupper, först studerade av John von Neumann .

Nästan periodicitet är en egenskap hos dynamiska system som verkar spåra sina banor genom fasrymden , men inte exakt. Ett exempel skulle vara ett planetsystem , med planeter i omloppsbanor som rör sig med perioder som inte är jämförbara (dvs med en periodvektor som inte är proportionell mot en vektor av heltal ). Ett teorem av Kronecker från diofantapproximation kan användas för att visa att varje speciell konfiguration som inträffar en gång, kommer att återkomma med en viss noggrannhet: om vi väntar tillräckligt länge kan vi observera att planeterna alla återvänder till inom en bågsekund till positionerna de en gång var inne.

Motivering

Det finns flera likvärdiga definitioner av nästan periodiska funktioner. Den första gavs av Harald Bohr . Hans intresse var till en början i ändliga Dirichlet-serier . Genom att trunkera serien för Riemann zeta-funktionen ζ ( s ) för att göra den finit, får man ändliga summor av termer av typen

$e^{(\sigma +it)\log n}\,$

med s skrivet som ( σ + it ) – summan av dess reella del σ och imaginära del it . Att fixera σ , så att vi begränsar uppmärksamheten till en enda vertikal linje i det komplexa planet, kan vi se detta också som

$n^{\sigma }e^{(\log n)it}.\,$

Att ta en ändlig summa av sådana termer undviker svårigheter med analytisk fortsättning till regionen σ < 1. Här kommer inte alla 'frekvenserna' log n att vara kommensurerbara (de är lika linjärt oberoende av de rationella talen som heltalen n är multiplikativt oberoende – vilket kommer ner till deras primtalsfaktoriseringar).

Med denna initiala motivation att överväga typer av trigonometriska polynom med oberoende frekvenser, användes matematisk analys för att diskutera stängningen av denna uppsättning grundläggande funktioner, i olika normer .

Teorin utvecklades med hjälp av andra normer av Besicovitch , Stepanov , Weyl , von Neumann , Turing , Bochner och andra på 1920- och 1930-talen.

Uniform eller Bohr eller Bochner nästan periodiska funktioner

Bohr (1925) definierade de enhetligt nästan periodiska funktionerna som stängningen av de trigonometriska polynomen med avseende på den enhetliga normen

$\|f\|_{\infty }=\sup _{x}|f(x)|$

(på begränsade funktioner f på R ). Med andra ord är en funktion f enhetligt nästan periodisk om det för varje ε > 0 finns en finit linjär kombination av sinus- och cosinusvågor som har ett avstånd mindre än ε från f med avseende på den enhetliga normen. Bohr bevisade att denna definition var ekvivalent med förekomsten av en relativt tät uppsättning ε översättningar nästan-perioder , för alla ε > 0: det vill säga T ( ε ) = T av variabeln t gör

$\left|f(t+T)-f(t)\right|<\varepsilon .$

En alternativ definition på grund av Bochner (1926) är likvärdig med Bohrs och är relativt enkel att ange:

En funktion f är nästan periodisk om varje sekvens { ƒ ( t + T _n )} av translationer av f har en undersekvens som konvergerar enhetligt för t in (−∞, +∞).

Bohrs nästan periodiska funktioner är i huvudsak desamma som kontinuerliga funktioner på Bohrs kompaktering av realerna.

Stepanov nästan periodiska funktioner

Utrymmet Sp för ^Stepanov nästan periodiska funktioner (för p ≥ 1) introducerades av VV Stepanov (1925). Den innehåller utrymmet för Bohrs nästan periodiska funktioner. Det är stängningen av de trigonometriska polynomen under normen

$\|f\|_{S,r,p}=\ sup _{x}\left({1 \över r}\int _{x}^{x+r}|f(s)|^{p}\,ds\right)^{1/p}$

för varje fast positivt värde av r ; för olika värden på r ger dessa normer samma topologi och därmed samma utrymme av nästan periodiska funktioner (även om normen på detta utrymme beror på valet av r ).

Vi har nästan periodiska funktioner

Utrymmet W ^p av Weyl nästan periodiska funktioner (för p ≥ 1) introducerades av Weyl (1927). Den innehåller utrymmet S ^p av Stepanov nästan periodiska funktioner. Det är stängningen av de trigonometriska polynomen under seminormen

$\|f\|_{W,p}=\lim _{r\to \infty }\|f\|_ {S,r,p}$

Varning: det finns funktioner som inte är noll ƒ med || ƒ || _{W , p} = 0, såsom vilken som helst begränsad funktion av kompakt stöd, så för att få ett Banach-mellanslag måste man kvotera ut dessa funktioner.

Besicovitch nästan periodiska funktioner

Utrymmet B ^p av Besicovitch nästan periodiska funktioner introducerades av Besicovitch (1926). Det är stängningen av de trigonometriska polynomen under seminormen

$\|f\|_{B,p}=\limsup _{x\to \infty }\left({1 \over 2x}\int _{-x}^{x}|f(s)|^{p}\,ds\right)^{1/p}$

Varning: det finns funktioner som inte är noll ƒ med || ƒ || _{B, p} = 0, såsom vilken som helst begränsad funktion av kompakt stöd, så för att få ett Banach-mellanslag måste man kvotera ut dessa funktioner.

Besicovitch nästan periodiska funktioner i B ² har en expansion (inte nödvändigtvis konvergent) som

$\sum a_{n}e^{i\lambda _{n}t}$

med Σ a
² _n ändlig och λ _n reell. Omvänt är varje sådan serie en expansion av någon periodisk funktion i Besicovitch (vilket inte är unikt).

Utrymmet B ^p för Besicovitch nästan periodiska funktioner (för p ≥ 1) innehåller rymden W ^p för Weyl nästan periodiska funktioner. Om man kvoterar ut ett delrum av "noll"-funktioner, kan det identifieras med utrymmet för L ^p -funktioner på Bohr-komprimeringen av realerna.

Nästan periodiska funktioner på en lokalt kompakt abelsk grupp

Med dessa teoretiska utvecklingar och tillkomsten av abstrakta metoder ( Peter–Weyl-satsen , Pontryagin-dualitet och Banach-algebras ) blev en allmän teori möjlig. Den allmänna idén om nästan periodicitet i förhållande till en lokalt kompakt abelsk grupp G blir den för en funktion F i L ^{∞ (} G ), så att den översätts med G bildar en relativt kompakt mängd. På motsvarande sätt är utrymmet för nästan periodiska funktioner normstängningen av de finita linjära kombinationerna av tecken i G . Om G är kompakt är de nästan periodiska funktionerna desamma som de kontinuerliga funktionerna.

Bohr -komprimeringen av G är den kompakta abelska gruppen av alla möjligen diskontinuerliga tecken i den dubbla gruppen av G , och är en kompakt grupp som innehåller G som en tät undergrupp. Utrymmet för enhetliga nästan periodiska funktioner på G kan identifieras med utrymmet för alla kontinuerliga funktioner på Bohr-komprimeringen av G . Mer allmänt kan Bohr-komprimeringen definieras för vilken topologisk grupp G som helst , och utrymmena för kontinuerliga eller Lp ^{- funktioner} på Bohr-komprimeringen kan betraktas som nästan periodiska funktioner på G. För lokalt kompakta sammankopplade grupper G är kartan från G till dess Bohr-komprimering injektiv om och endast om G är en central förlängning av en kompakt grupp, eller ekvivalent produkten av en kompakt grupp och ett ändligt dimensionellt vektorrum.

Kvasiperiodiska signaler i ljud- och musiksyntes

Inom talbearbetning , ljudsignalbehandling och musiksyntes är en kvasiperiodisk signal, ibland kallad en kvasiharmonisk signal, en vågform som är praktiskt taget periodisk mikroskopiskt, men inte nödvändigtvis periodisk makroskopiskt. Detta ger inte en kvasiperiodisk funktion i betydelsen av Wikipedia-artikeln med det namnet, utan något mer likt en nästan periodisk funktion, som är en nästan periodisk funktion där en period är praktiskt taget identisk med dess angränsande perioder men inte nödvändigtvis liknar perioder mycket längre bort i tiden. Detta är fallet för musikaliska toner (efter den initiala attacktransienten) där alla partialer eller övertoner är harmoniska (det vill säga alla övertoner är vid frekvenser som är en heltalsmultipel av en grundfrekvens för tonen).

När en signal $x(t)\$ är helt periodisk med perioden $P\$ , så uppfyller signalen exakt

$x(t)=x(t+P)\qquad \forall t\in \mathbb {R}$

eller

${\Big |}x(t)-x(t+P){\Big |}=0\qquad \forall t\in \mathbb {R} .\$

Fourierseriens representation skulle vara

$x(t)=a_{0}+ \sum _{n=1}^{\infty }{\big [}a_{n}\cos(2\pi nf_{0}t)-b_{n}\sin(2\pi nf_{0}t ){\big ]}$

eller

$x(t)=a_{0}+\summa _{n=1}^{\ infty }r_{n}\cos(2\pi nf_{0}t+\varphi _{n})$

där $f_{0}={\frac {1}{P}}$ är grundfrekvensen och Fourierkoefficienterna är

$a_{0}={\frac {1}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+P }x(t)\,dt\$

$a_{n}=r_{n}\cos \left(\varphi _{n}\right)={\frac {2}{P}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+ P}x(t)\cos(2\pi nf_{0}t)\,dt\qquad n\geq 1$

${\displaystyle b_{n}=r_{n}\sin \left(\varphi _{n}\right)=-{\frac {2}{P} }\int _{t_{0}}^{t_{0}+P}x(t)\sin(2\pi nf_{0}t)\,dt\ } där t {\displaystyle$

t_ $\ }$ kan vara när som helst: $-\infty <t_{0}<+\infty \$ .

Grundfrekvensen $f_{0}\$ och Fourierkoefficienterna a $\displaystyle a_{n}\ }$ , $\displaystyle b_{n}\ }$ { , $r_{n} \$ , eller ${\displaystyle \varphi _{n}\ } ,$ är konstanter, dvs de är inte funktioner av tiden. De harmoniska frekvenserna är exakta heltalsmultiplar av grundfrekvensen.

När $x(t)\$ är kvasiperiodisk då

$x(t)\approx x{\big (}t+P(t){\big )}\$

eller

${\Big |}x(t)-x{\big (}t+P(t){\big )}{\Big |}<\varepsilon \$

var

$0<\epsilon \ll {\big \Vert }x{\big \Vert }={\sqrt {\overline {x^{2}}}}={\sqrt {\lim _{\tau \ till \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{-\tau /2}^{\tau /2}x^{2}(t)\,dt}}.\$

Nu skulle Fourierseriens representation vara

$x(t)=a_{0}(t)\ +\ \summa _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}(t)\ cos \left(2\pi n\int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau \right)-b_{n}(t)\sin \left(2\pi n\int _{0}^{t}f_{0}(\tau )\,d\tau \right)\right]$

eller

$x(t)=a_ {0}(t)\ +\ \sum _{n=1}^{\infty }r_{n}(t)\cos \left(2\pi n\int _{0}^{t}f_{ 0}(\tau )\,d\tau +\varphi _{n}(t)\right)$

eller

$x(t)=a_{ 0}(t)+\summa _{n=1}^{\infty }r_{n}(t)\cos \left(2\pi \int _{0}^{t}f_{n}(\ tau )\,d\tau +\varphi _{n}(0)\right)$

där $f_{0}(t)={\frac {1}{P(t)}}$ är den möjligen tidsvarierande grundfrekvensen och den tidsvarierande Fouriern koefficienter är

$a_{0}(t)={\frac {1} {P(t)}}\int _{tP(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\,d\tau \$

$a_{n}(t)=r_{n}(t)\cos {\big (}\varphi _{n}(t){\big )}={\frac {2 }{P(t)}}\int _{tP(t)/2}^{t+P(t)/2}x(\tau )\cos {\big (}2\pi nf_{0}( t)\tau {\big )}\,d\tau \qquad n\geq 1$

$b_{n}(t)=r_{n}(t) )\sin {\big (}\varphi _{n}(t){\big )}=-{\frac {2}{P(t)}}\int _{tP(t)/2}^{ t+P(t)/2}x(\tau )\sin {\big (}2\pi nf_{0}(t)\tau {\big )}\,d\tau \$

och den momentana frekvensen för varje partiell är

$f_{n}(t)=nf_{0}(t)+{\frac {1}{2\pi }}\varphi _{n}^{\prime }(t).\,$

Medan i detta kvasiperiodiska fall grundfrekvensen $f_{0}(t)\$ , de harmoniska frekvenserna $f_{n}(t)\$ och Fourier koefficienter $a_{n}(t)\$ , $b_{n}(t)\$ , $r_{n}( t)\$ , eller $\varphi _{n}(t)\$ är inte nödvändigtvis konstanta, och är funktioner av tiden om än långsamt varierande funktioner av tiden. Uttryckt annorlunda är dessa tidsfunktioner bandbegränsade till mycket mindre än grundfrekvensen för att $x(t)\$ ska anses vara kvasiperiodisk.

Partialfrekvenserna $f_{n}(t)\$ är nästan harmoniska men inte nödvändigtvis exakt så. Tidsderivatan av $\varphi _{n}(t)\$ , det vill säga $\varphi _{n}^{\prime }(t) \$ , har effekten att avstämma partialerna från deras exakta heltals övertonsvärde $nf_{0}(t)\$ . En snabbt föränderlig $\varphi _{n}(t)\$ betyder att den momentana frekvensen för den partialen är kraftigt avstämd från heltalsövertonsvärdet, vilket skulle innebära att $x (t)\$ är inte kvasiperiodisk.

Se även

• Kvasiperiodisk funktion
• Aperiodisk funktion
• Kvasiperiodisk plattsättning
• Fourier-serier
• Additiv syntes
• Harmonisk serie (musik)
• Datormusik

Bibliografi

•     Amerio, Luigi ; Prouse, Giovanni (1971), Almost-periodic functions and functional equations , The University Series in Higher Mathematics, New York–Cincinnati–Toronto–London–Melbourne: Van Nostrand Reinhold , s. viii+184, ISBN 0-442-20295- 4 , MR 0275061 , Zbl 0215.15701 .
• AS Besicovitch, "Nästan periodiska funktioner", Cambridge Univ. Press (1932)
• Bochner, S. (1926), "Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funktionen", Math. Annalen , 96 : 119–147, doi : 10.1007/BF01209156
• S. Bochner och J. von Neumann, "Nästan periodisk funktion i en grupp II", Trans. Amer. Matematik. Soc., 37 nr. 1 (1935) s. 21–50
• H. Bohr, "Almost-periodic functions", Chelsea, nytryck (1947)
• Bredikhina, EA (2001) [1994], "Nästan periodiska funktioner" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Bredikhina, EA (2001) [1994], "Besicovitch nästan periodiska funktioner" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Bredikhina, EA (2001) [1994], "Bohr nästan periodiska funktioner" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Bredikhina, EA (2001) [1994], "Stepanov nästan periodiska funktioner" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Bredikhina, EA (2001) [1994], "Weyl nästan periodiska funktioner" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• J. von Neumann, "Nästan periodiska funktioner i en grupp I", Trans. Amer. Matematik. Soc., 36 nr. 3 (1934) s. 445–492

externa länkar

• "Nästan periodisk funktion (motsvarande definition)" . PlanetMath .