Kroneckers sats

För satsen om den verkliga analytiska Eisenstein-serien, se Kronecker-gränsformeln .

För satsen om polynoms rötter, se fältförlängning .

Inom matematiken är Kroneckers sats en sats om diofantapproximation, införd av Leopold Kronecker ( 1884 ).

Kroneckers approximationssats hade först bevisats av L. Kronecker i slutet av 1800-talet. Det har nu visat sig relatera till idén om n-torus och Mahler-mått sedan senare hälften av 1900-talet. När det gäller fysiska system har det till följd att planeter i cirkulära banor som rör sig likformigt runt en stjärna med tiden kommer att anta alla inriktningar, om det inte finns ett exakt beroende mellan deras omloppsperioder.

Påstående

Kroneckers teorem är ett resultat av diofantiska approximationer som gäller för flera reella tal x _i , för 1 ≤ i ≤ n , som generaliserar Dirichlets approximationssats till flera variabler.

Den klassiska Kronecker-approximationssatsen är formulerad enligt följande.

Givet verkliga n - tupler ${\displaystyle \alpha _{i}=(\alpha _{i1},\cdots ,\alpha _{in})\in \mathbb {R} ^{n},i=1,\cdots ,m} och β = ( β$ 1 $= (\beta _{1},\cdots ,\beta _{n})\i \mathbb {R} ^{n}} , villkoret$ :

${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\exists q_{i},p_{j}\in \mathbb {Z} :{\biggl |}\sum _{i=1 }^{m}q_{i}\alpha _{ij}-p_{j}-\beta _{j}{\biggr |}<\epsilon ,1\leq j\leq n} gäller om och endast om$

för någon $r_{1},\dots ,r_{n}\in \mathbb {Z} ,\ i=1,\dots ,m$ med

$\sum _{j=1}^{n}\alpha _{ij}r_{j}\in \mathbb {Z} ,\ \ i=1,\dots ,m\ ,$

talet $\sum _{j=1}^{n}\beta _{j }r_{j}$ är också ett heltal.

I enklare språk anger det första villkoret att tupeln $\beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})$ kan approximeras godtyckligt väl genom linjära kombinationer av $\alpha _{i}$ s (med heltalskoefficienter) och heltalsvektorer.

För fallet med a $m=1$ och $n=1$ kan Kroneckers approximationssats anges på följande sätt. För alla $\alpha ,\beta ,\epsilon \in \mathbb {R}$ med $\alpha$ irrationell och $\epsilon >0$ finns det heltal $p$ och $q$ med $q>0$ , så att

$|\alpha qp-\beta |<\epsilon .$

Relation till tori

När det gäller N tal, taget som en enda N - tuppel och punkt P i torus

T = ^_ RN / ^ZN ,

stängningen av undergruppen < P > som genereras av P kommer att vara ändlig, eller någon torus T′ som finns i T . Den ursprungliga Kroneckers teorem ( Leopold Kronecker , 1884) angav att det nödvändiga villkoret för

T′ = T ,

vilket är att talen x _i tillsammans med 1 ska vara linjärt oberoende av de rationella talen räcker också . Här är det lätt att se att om någon linjär kombination av x _i och 1 med rationella talkoefficienter som inte är noll är noll, så kan koefficienterna tas som heltal, och ett tecken χ i gruppen T annat än trivialtecknet tar värdet 1 på P . Genom Pontryagin-dualitet har vi T′ i kärnan av χ, och därför inte lika med T .

Faktum är att en grundlig användning av Pontryagin-dualitet här visar att hela Kronecker-satsen beskriver stängningen av < P > som skärningspunkten mellan kärnorna i χ med

χ( P ) = 1.

Detta ger en ( antiton ) Galois-koppling mellan monogena slutna undergrupper av T (de med en enda generator, i topologisk mening), och uppsättningar av tecken med kärna som innehåller en given punkt. Inte alla slutna undergrupper förekommer som monogena; till exempel kan en undergrupp som har en torus med dimensionen ≥ 1 som ansluten komponent i identitetselementet, och som inte är ansluten, inte vara en sådan undergrupp.

Satsen lämnar öppen frågan om hur väl (likformigt) multiplerna mP av P fyller upp stängningen. I det endimensionella fallet är fördelningen enhetlig genom ekvifördelningssatsen .

Se även

• Weyls kriterium
• Dirichlets approximationssats

• Kronecker, L. (1884), "Näherungsweise ganzzahlige Auflösung linearer Gleichungen" , Berl . Ber. : 1179–1193, 1271–1299
• Onishchik, AL (2001) [1994], "Kronecker's theorem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press