Trigonometriskt polynom

Inom de matematiska delområdena numerisk analys och matematisk analys är ett trigonometriskt polynom en finit linjär kombination av funktionerna sin( nx ) och cos( nx ) där n tar på sig värdena av ett eller flera naturliga tal . Koefficienterna kan tas som reella tal, för funktioner med verkligt värde. För komplexa koefficienter finns det ingen skillnad mellan en sådan funktion och en finit Fourierserie .

Trigonometriska polynom används ofta, till exempel i trigonometrisk interpolation som tillämpas på interpolation av periodiska funktioner . De används också i den diskreta Fouriertransformen .

Termen trigonometriskt polynom för det reella fallet kan ses som att använda analogin : funktionerna sin( nx ) och cos( nx ) liknar den monomala basen för polynom . I det komplexa fallet spänns de trigonometriska polynomen av de positiva och negativa potenserna av e ^ix , Laurents polynom i z under förändringen av variablerna z = e ^ix .

Formell definition

Vilken funktion T som helst i formuläret

$T(x)=a_{0 }+\summa _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\summa _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\ i \mathbb {R} )$

med $a_{n},b_{n}\in \mathbb {C}$ för $0\leq n\leq N$ , kallas en komplex trigonometrisk polynom av grad N ( Rudin 1987 , s. 88). Med Eulers formel kan polynomet skrivas om som

$T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx}\qquad (x\in \mathbb {R} ).$

Analogt låter man $a_{n},b_{n}\in \mathbb {R} ,\quad 0\leq n\leq N$ och ${ \displaystyle a_{N}\neq 0}$ eller $b_{N}\neq 0$ , sedan

$t(x)=a_{0 }+\summa _{n=1}^{N}a_{n}\cos(nx)+\summa _{n=1}^{N}b_{n}\sin(nx)\qquad (x\ i \mathbb {R} )$

kallas ett verkligt trigonometriskt polynom av grad N ( Powell 1981 , s. 150).

Egenskaper

Ett trigonometriskt polynom kan betraktas som en periodisk funktion på den reella linjen , med period någon multipel av 2 π , eller som en funktion på enhetscirkeln .

Ett grundläggande resultat är att de trigonometriska polynomen är täta i utrymmet av kontinuerliga funktioner på enhetscirkeln, med den enhetliga normen ( Rudin 1987 , Thm 4.25); detta är ett specialfall av Stone–Weierstrass-satsen . Mer konkret, för varje kontinuerlig funktion f och varje ε > 0, finns det ett trigonometriskt polynom T så att | f ( z ) − T( z )| < ε för alla z . Fejérs teorem säger att de aritmetiska medelvärdena för partialsummorna av Fourierserien av f konvergerar likformigt till f , förutsatt att f är kontinuerlig på cirkeln, vilket ger ett explicit sätt att hitta ett approximativt trigonometriskt polynom T .

Ett trigonometriskt polynom av grad N har maximalt 2 N rötter i valfritt intervall [ a , a + 2 π ) med a i R , såvida det inte är nollfunktionen ( Powell 1981 , s. 150).

•   Powell, Michael JD (1981), Approximation Theory and Methods , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-29514-7
•    Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3:e upplagan), New York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-054234-1 , MR 0924157 .