Associator

I abstrakt algebra används termen associator på olika sätt som ett mått på icke-associativiteten hos en algebraisk struktur . Associatorer studeras vanligtvis som trippelsystem .

Ringteori

För en icke-associativ ring eller algebra ${\displaystyle R} är$ associatorn den multilinjära kartan $R\ gånger R\ gånger R\ till R}$${\displaystyle [\cdot ,\cdot ,\cdot ]$ : ges av

$[x,y,z]=(xy)zx(yz).$

Precis som kommutatorn

$[x,y]=xy-yx$

mäter graden av icke-kommutativitet , associatorn mäter graden av icke-associativitet för $R$ . För en associativ ring eller algebra är associatorn identiskt noll.

Medhjälparen i valfri ring lyder identiteten

$w[x,y,z]+[w,x,y]z=[wx,y,z]-[w,xy,z]+[w,x,yz].$

Associatorn växlar exakt när $R$ är en alternativ ring .

Associatorn är symmetrisk i sina två argument längst till höger när $R$ är en pre-Lie-algebra .

Kärnan är den uppsättning element som associerar med alla andra: det vill säga n i R så att

$[n,R,R]=[R,n,R]=[R,R,n]=\{0\}\ .$

Kärnan är en associativ subring av R .

Kvasigruppteori

En kvasigrupp Q är en mängd med en binär operation $\cdot :Q\ gånger Q\to Q$ så att för varje a , b i Q , ekvationerna ${\ displaystyle a\cdot x=b}$ och $y\cdot a=b$ har unika lösningar x , y i Q . I en kvasigrupp Q är associatorn kartan $(\cdot ,\cdot ,\cdot ):Q\times Q\times Q\to Q$ definieras av ekvationen

$(a\cdot b)\cdot c=(a\cdot (b\cdot c))\ cdot (a,b,c)$

för alla a , b , c i Q . Liksom med sin ringteorianalog är kvasigruppassociatorn ett mått på ickeassociativitet hos Q.

Högdimensionell algebra

I högredimensionell algebra , där det kan finnas icke-identitetsmorfismer mellan algebraiska uttryck, är en associator en isomorfism

$a_{x,y,z}:(xy)z\mapsto x(yz).$

Kategoriteori

I kategoriteorin uttrycker associatorn de associativa egenskaperna hos den interna produktfunktionen i monoida kategorier .

Se även

• Kommutator
• Icke-associativ algebra
• Quasi-bialgebra – diskuterar Drinfeld-associatorn

•   Bremner, M.; Hentzel, I. (mars 2002). "Identiteter för Associator i alternativa algebras". Journal of Symbolic Computation . 33 (3): 255–273. CiteSeerX 10.1.1.85.1905 . doi : 10.1006/jsco.2001.0510 .
•   Schafer, Richard D. (1995) [1966]. En introduktion till icke-associativa algebror . Dover. ISBN 0-486-68813-5 .