Multiplikatorer och centraliserare (Banach-mellanslag)

Inom matematiken är multiplikatorer och centraliserare algebraiska objekt i studiet av Banach- rum . De används till exempel i generaliseringar av Banach-Stone-satsen .

Definitioner

Låt ( X , ‖·‖) vara ett Banach-mellanrum över ett fält K (antingen de reella eller komplexa talen ), och låt Ext( X ) vara uppsättningen av extrempunkter för den slutna enhetskulan i det kontinuerliga dubbla utrymmet X ^∗ .

En kontinuerlig linjär operator T : X → X sägs vara en multiplikator om varje punkt p i Ext( X ) är en egenvektor för adjointoperatorn T ^∗ : X ^∗ → X ^∗ . Det vill säga, det finns en funktion a _T : Ext( X ) → K sådan att

$p\circ T=a_{T}(p)p\;{\mbox{ för alla }}p\in \mathrm {Ext} (X),$

gör ${\displaystyle a_{T}(p)} till$ egenvärdet som motsvarar p . Givet två multiplikatorer S och T på X sägs S vara en adjoint för T if

$a_{S}={\overline {a_{T}}},$

dvs ett _S överensstämmer med ett _T i det verkliga fallet, och med det komplexa konjugatet av ett _T i det komplexa fallet.

Centraliseraren (eller kommutanten ) för X , betecknad Z ( X ) , är mängden av alla multiplikatorer på X för vilka en adjoint existerar.

Egenskaper

• Multiplikatoradjointen för en multiplikator T , om den finns, är unik; den unika adjunkten av T betecknas T ^∗ .
• Om fältet K är de reella talen, så ligger varje multiplikator på X i centraliseraren av X .

Se även

• Centraliserare och normaliserare

•   Araujo, Jesús (2006). "Den icke-kompakta Banach-Stone-satsen". J. Operatörsteori . 55 (2): 285–294. ISSN 0379-4024 . MR 2242851