Graderad Lie-algebra

I matematik är en graderad Lie-algebra en Lie-algebra utrustad med en gradering som är kompatibel med Lie-parentesen . Med andra ord, en graderad Lie-algebra är en Lie-algebra som också är en icke-associativ graderad algebra under parentesoperationen. Ett val av Cartan-nedbrytning ger vilken semi-enkel Lie-algebra som helst strukturen av en graderad Lie-algebra. Varje parabolisk Lie-algebra är också en graderad Lie-algebra.

En graderad Lie-superalgebra utökar begreppet en graderad Lie-algebra på ett sådant sätt att Lie-parentesen inte längre antas vara nödvändigtvis antikommutativ . Dessa uppstår i studiet av härledningar på graderade algebror , i deformationsteorin av Murray Gerstenhaber , Kunihiko Kodaira och Donald C. Spencer , och i teorin om Lie-derivator .

En supergraderad Lie-superalgebra är en ytterligare generalisering av detta begrepp till kategorin superalgebra där en graderad Lie-superalgebra är utrustad med ytterligare en super $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ -gradering . Dessa uppstår när man bildar en graderad Lie superalgebra i en klassisk (icke-supersymmetrisk) miljö och sedan tensoriserar för att erhålla den supersymmetriska analogen.

Ännu större generaliseringar är möjliga att ligga algebror över en klass av flätade monoidala kategorier utrustade med en biprodukt och någon föreställning om en gradering som är kompatibel med flätningen i kategorin . För tips i denna riktning, se Lie superalgebra#Category-theoretic definition .

Graderade Lie-algebror

I sin mest grundläggande form är en graderad Lie-algebra en vanlig Lie-algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}} ,$ tillsammans med en gradering av vektorrymder

{\mathfrak {g}}=\bigoplus _{i\in {\mathbb {Z} }}{\mathfrak {g}}_{i},

så att Lie-parentesen respekterar denna gradering:

[{\mathfrak {g}}_{i},{\mathfrak {g}}_{j}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{i+j}.

Den universella omslutande algebra för en graderad Lie-algebra ärver graderingen.

Exempel

sl(2)

Till exempel, Lie-algebra ${\mathfrak {sl}}(2)$ av spårfria 2 × 2- matriser graderas av generatorerna:

X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\textrm {och }}\quad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.

Dessa uppfyller relationerna $[X,Y]=H$ , $[H,X]=2X$ och $[H,Y]=-2Y$ . Därför med ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-1}={\textrm {span}}(X)} ,$ g $\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\textrm {span}}(H)}$ och ${\mathfrak {g}}_{1}={\textrm {span} }(Y)$ , sönderdelningen ${\mathfrak {sl}}(2)={\mathfrak {g}}_{-1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$ presenterar ${\mathfrak {sl}}(2)$ som en graderad Lie-algebra .

Gratis lögnalgebra

Den fria Lie-algebra på en mängd X har naturligtvis en gradering, som ges av det minsta antal termer som behövs för att generera gruppelementet. Detta uppstår till exempel som den associerade graderade Lie-algebra till den lägre centrala serien av en fri grupp .

Generaliseringar

Om $\Gamma$ är någon kommutativ monoid , så generaliserar begreppet en $\Gamma$ -graderad Lie-algebra den för en vanlig ( ${\displaystyle \mathbb {Z} } -)$ graderad Lie-algebra så att de definierande relationerna håller med heltalen $\mathbb {Z}$ ersatt av $\Gamma$ . I synnerhet graderas varje halvenkel Lie-algebra av rotutrymmena i dess angränsande representation .

Betygsatt Lie superalgebra

En graderad Lie superalgebra över ett fält k ( inte av egenskap 2) består av ett graderat vektorrum E över k , tillsammans med en bilinjär parentesoperation

[-,-]:E\otimes _{k}E\to E

så att följande axiom är uppfyllda.

[-, -] respekterar graderingen av E : $[E_{i},E_{j}]\subseteq E_{i+j}.$
( Symmetri ) För alla x i E _i och y i E _j , $[x,y]=-(-1)^{ij}\,[y,x]$
( Jacobi identitet ) För alla x i E _i , y i E _j och z i Ek _, $(-1)^{ik}[x,[y,z]]+(-1)^{ij}[y,[z,x]]+(-1)^{jk}[z,[x,y]]=0.$ (Om k har egenskap 3, så måste Jacobi-identiteten kompletteras med villkoret $[x,[x,x]]=0$ för alla x i E _udda .)

Notera till exempel att när E bär den triviala graderingen är en graderad Lie-superalgebra över k bara en vanlig Lie-algebra. När graderingen av E är koncentrerad till jämna grader, återställer man definitionen av en ( Z -)graderad Lie-algebra.

Exempel och tillämpningar

Det mest grundläggande exemplet på en graderad Lie-superalgebra förekommer i studiet av härledningar av graderade algebror. Om A är en graderad k -algebra med gradering

A=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }A_{i},

definieras en graderad k -härledning d på A av grad l av

$dx=0$ för $x\in k$ ,
${\displaystyle d\colon A_{i}\to A_{i+l}} ,$ och
$d(xy)=(dx)y+(-1)^{il}x(dy)$ för $x\in A_{i}$ .

Mellanrummet för alla graderade härledningar av grad l betecknas med ${\displaystyle \operatorname {Der} _{l}(A)} ,$ och den direkta summan av dessa mellanslag,

\operatorname {Der} (A)=\bigoplus _{l}\operatörsnamn {Der} _{l}(A),

bär strukturen av en A - modul . Detta generaliserar begreppet en härledning av kommutativa algebror till den graderade kategorin.

På Der( A ) kan man definiera en parentes via:

[ d , δ ] = dδ − (−1) ^ij δd , för d ∈ Der _i ( A ) och δ ∈ Der _j ( A ).

Utrustad med denna struktur ärver Der( A ) strukturen av en graderad Lie superalgebra över k .

Ytterligare exempel:

Frölicher –Nijenhuis-fästet är ett exempel på en graderad Lie-algebra som uppstår naturligt i studiet av samband i differentialgeometri .
Nijenhuis –Richardson-fästet uppstår i samband med deformationerna av Lie-algebra.

Generaliseringar

Uppfattningen om en graderad Lie-superalgebra kan generaliseras så att deras gradering inte bara är heltal. Specifikt består en signerad semiring av ett par $(\Gamma ,\epsilon )$ , där $\Gamma$ är en semiring och $\ epsilon \colon \Gamma \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ är en homomorfism av additivgrupper . Sedan består en graderad Lie supalgebra över en signerad semiring av ett vektorrum E graderat med avseende på additivstrukturen på ${\displaystyle \Gamma } ,$ och en bilinjär parentes [-, -] som respekterar graderingen på E och dessutom uppfyller :

$[x,y]=-(-1)^{\epsilon (\deg x )\epsilon (\deg y)}[y,x]$ för alla homogena element x och y , och
$(-1)^{\epsilon (\deg x)\epsilon (\ grader z)}[x,[y,z]]+(-1)^{\epsilon (\deg y)\epsilon (\deg x)}[y,[z,x]]+(-1)^ {\epsilon (\deg z)\epsilon (\deg y)}[z,[x,y]]=0.$

Ytterligare exempel:

En Lie superalgebra är en graderad Lie superalgebra över den signerade semiringen ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,\epsilon )} ,$ där $\epsilon$ är identitetskartan för additivstrukturen på ringen $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ .

Anteckningar

^ "Super"-prefixet för detta är inte helt standard, och vissa författare kan välja att utelämna det helt till förmån för att kalla en graderad Lie-superalgebra bara för en graderad Lie-algebra . Denna dodge är inte helt utan berättigande, eftersom graderade Lie superalgebras kanske inte har något att göra med supersymmetrins algebror . De är bara super i den mån de har en $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ -gradering. Denna gradering sker naturligt och inte på grund av några underliggande superrymd. Således i betydelsen kategoriteori betraktas de korrekt som vanliga icke-superobjekt.
^ I samband med supersymmetri kallas dessa ofta för just graderade Lie-superalgebra , men detta strider mot den tidigare definitionen i denna artikel.
^ Sålunda har övergraderade Lie-superalgebror ett par Z $\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ -graderingar: varav den ena är supersymmetrisk och den andra är klassisk. Pierre Deligne kallar den supersymmetriska för supergraderingen och den klassiska den kohomologiska graderingen . Dessa två graderingar måste vara kompatibla, och det råder ofta oenighet om hur de ska betraktas. Se Delignes diskussion om denna svårighet.

Nijenhuis, Albert ; Richardson Jr., Roger W. (1966). "Kohomologi och deformationer i graderade Lie-algebror" . Bulletin från American Mathematical Society . 72 (1): 1–29. doi : 10.1090/s0002-9904-1966-11401-5 . MR 0195995 .

Se även

[1] "Super"-prefixet för detta är inte helt standard, och vissa författare kan välja att utelämna det helt till förmån för att kalla en graderad Lie-superalgebra bara för en graderad Lie-algebra . Denna dodge är inte helt utan berättigande, eftersom graderade Lie superalgebras kanske inte har något att göra med supersymmetrins algebror . De är bara super i den mån de har en $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ -gradering. Denna gradering sker naturligt och inte på grund av några underliggande superrymd. Således i betydelsen kategoriteori betraktas de korrekt som vanliga icke-superobjekt.

[2] I samband med supersymmetri kallas dessa ofta för just graderade Lie-superalgebra , men detta strider mot den tidigare definitionen i denna artikel.

[3] Sålunda har övergraderade Lie-superalgebror ett par Z $\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ -graderingar: varav den ena är supersymmetrisk och den andra är klassisk. Pierre Deligne kallar den supersymmetriska för supergraderingen och den klassiska den kohomologiska graderingen . Dessa två graderingar måste vara kompatibla, och det råder ofta oenighet om hur de ska betraktas. Se Delignes diskussion om denna svårighet.